數(shù)學(xué)歸納法(1)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第4章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法*4.4.1數(shù)學(xué)歸納法(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟．3.通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，體會(huì)用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明規(guī)律的途徑．活動(dòng)方案情境1：有一種多米諾骨牌游戲，在一個(gè)平面上擺一排骨牌(每塊骨牌都豎起)，假定這排骨牌有無(wú)數(shù)塊，我們要使所有的骨牌都倒下，只要做兩件事就行了．第一，使第一塊骨牌倒下；第二，保證前一塊骨牌倒下后一定能擊倒下一塊骨牌．活動(dòng)一了解數(shù)學(xué)歸納法的背景思考1???這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？【解析】①第一張骨牌倒下；②任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下．要證明這個(gè)猜想，同學(xué)們自然就會(huì)想到從n＝5開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證，當(dāng)n較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n較大時(shí)，逐個(gè)驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩，特別是證明n取所有正整數(shù)時(shí)，逐個(gè)驗(yàn)證是不可能的．故需要尋求一種方法，通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立．思考2???【解析】相似．①易知，當(dāng)n＝1時(shí)，猜想成立；即n＝k＋1時(shí)，猜想也成立．綜合①②知，猜想成立．一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法原理：(1)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．根據(jù)(1)(2)就可以斷定命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．活動(dòng)二了解數(shù)學(xué)歸納法的原理用框圖表示為：思考3???用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)的注意點(diǎn)有哪些？【解析】要分兩個(gè)步驟，兩者缺一不可．(1)證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)，但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的正確性．在這一步中，只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了，沒(méi)有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立．(2)證明了第二步，就獲得了推理的依據(jù)．僅有第二步而沒(méi)有第一步，則失去了遞推的基礎(chǔ)，而只有第一步卻沒(méi)有第二步，就可能得出不正確的結(jié)論，因?yàn)閱慰康谝徊?，我們無(wú)法遞推下去，所以我們無(wú)法判斷命題對(duì)n＝k＋1，n＝k＋2，…，是否正確．在第二步中，n＝k時(shí)命題成立，可以作為條件加以運(yùn)用，而

n＝k＋1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件，公理，定理，定義加以證明．完成一、二步后，最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論．例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：若等差數(shù)列{an}中，a1為首項(xiàng)，d為公差，則通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.活動(dòng)三掌握數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用——證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題【解析】①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a1＋0×d＝a1，結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即

ak＝a1＋(k－1)d，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝ak＋d＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．綜上，an＝a1＋(n－1)d，對(duì)任意n∈N*都成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．綜上，對(duì)任意n∈N*，等式都成立．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn－1)＝1－xn.【解析】①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－x，右邊＝1－x＝左邊，等式成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，即(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk－1)＝1－xk，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk)＝(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk－1)＋(1－x)xk＝1－xk＋(1－x)xk＝1－xk＋1，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立，由①②可知，原等式對(duì)于任意n∈N*都成立．思考4???用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)有哪些？【解析】①明確初始值

n0并驗(yàn)證真假．(必不可少)；②“假設(shè)當(dāng)n＝k

時(shí)命題成立”并寫(xiě)出命題形式；③分析當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題是什么，并找出與當(dāng)n＝k時(shí)命題形式的差別．弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)；④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)．活動(dòng)四用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．綜合①②可知，原不等式對(duì)所有的n∈N*都成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵：(1)驗(yàn)證第一個(gè)n的值時(shí)，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1；(2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過(guò)程中，一定要用歸納假設(shè)，不運(yùn)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙贇w納假設(shè)；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大?。畬?duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前k個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)k值開(kāi)始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明；(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)成立，得n＝k＋1時(shí)成立，主要方法有比較法、放縮法等．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，該不等式也成立．檢測(cè)反饋24513【答案】C24513A.f(k＋1)＝f(k)＋3k－5 B.f(k＋1)＝f(k)＋3k－2C.f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1 D.f(k＋1)＝f(k)＋3k＋4【解析】由題意，得當(dāng)n＝k時(shí)，f(k)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]，則f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1.【答案】C2453A.若a1＝1，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列

1C.若a1＝2，則數(shù)列{an}中存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)

D.若1<a1<2，則1<an＋1<an<2245312453124531【答案】ABD2453【答案】2k124531【解析】設(shè)f(n)＝