2021-2022學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．（2分）如圖，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．55° D．80°2．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2分）將拋物線y＝﹣2x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+34．（2分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°得到△DEC，邊DE，AC相交于點(diǎn)F，若∠A＝35°，則∠EFC的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．120°5．（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2的說法正確的是（）A．它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣3） B．它的圖象的對稱軸是直線x＝3 C．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值為0 D．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小6．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．27．（2分）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（）A．∠ACB＝90° B．∠BDC＝∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°8．（2分）如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，當(dāng)線段OD取得最大值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（0，） B．（1，） C．（2，2） D．（2，4）二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）寫出一個(gè)二次函數(shù)，使得它有最大值，這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是．10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么b0，c0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．11．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)，若AB＝1，則BD＝．12．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長為．13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，PA＝6，則BC的長為．14．（2分）點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個(gè)圖案繞點(diǎn)O至少旋轉(zhuǎn)°后能與原來的圖案互相重合．15．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圓，則圓心M的坐標(biāo)為，⊙M的半徑為．16．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三點(diǎn)，其中y2＞y1＞﹣1．下面四個(gè)結(jié)論中：①拋物線開口向下；②當(dāng)x＝2時(shí)，y取最小值﹣1；③當(dāng)m＞﹣1時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④直線y＝kx+c（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，C，當(dāng)kx+c＜ax2+bx+c時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞4．正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）下面是小華設(shè)計(jì)的“作∠AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程，請幫助小華完成尺規(guī)作圖并填空（保留作圖痕跡）．步驟作法推斷第一步在OB上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，OC為半徑作半圓，分別交射線OA，OB于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，連接PQ．∠OPQ＝°，理由是．第二步過點(diǎn)C作PQ的垂線，交于點(diǎn)D．＝，理由是．第三步作射線OD．射線OD平分∠AOB．射線OD為所求作．18．（5分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2x2+bx+c，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3）和（2，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象沿x軸平移，使其頂點(diǎn)恰好落在y軸上，請直接寫出平移后的函數(shù)表達(dá)式．19．（5分）如圖，AB是⊙O的一條弦，過點(diǎn)O作OC⊥AB于D，交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)E在⊙O上，且∠AEC＝30°，連接OB．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）若CD＝4，求AB的長．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝x2﹣4x+3的圖象．（3）當(dāng)1＜x＜4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．21．（5分）如圖，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于點(diǎn)D，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段BE，連接AE．求證：BE⊥AE．22．（5分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．（1）請畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱的△A1BC1，并寫出點(diǎn)A1，C1的坐標(biāo)；（2）四邊形AC1A1C的面積為．23．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于D，過點(diǎn)B作BE∥CD交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半徑．24．（6分）材料1：昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu)．此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖1所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線．材料2：如圖2，某一同類型懸索橋，兩橋塔AD＝BC＝10m，間距AB為32m，橋面AB水平，主索最低點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P距離橋面為2m．（1）請你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出主索拋物線的表達(dá)式；（2）距離點(diǎn)P水平距離為4m和8m處的吊索共四條需要更換，求四條吊索的總長度．25．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）若AF＝6，⊙O的半徑為5，求BE的長．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）當(dāng)m＝3時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；②若當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y的最小值是0，請直接寫出m的值；（3）直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作垂直于y軸的直線l與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1有兩個(gè)交點(diǎn)，在拋物線對稱軸左側(cè)的點(diǎn)記為P，當(dāng)△OAP為鈍角三角形時(shí)，求m的取值范圍．27．（7分）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A在邊OM上，點(diǎn)P是邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，∠OAP＝α，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AB，連接OB，再將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OC，作CH⊥ON于點(diǎn)H．（1）如圖1，α＝60°．①依題意補(bǔ)全圖形；②連接BP，求∠BPH的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段OA與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）對于平面內(nèi)點(diǎn)P和⊙G，給出如下定義：T是⊙G上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P繞點(diǎn)T旋轉(zhuǎn)180°后得到點(diǎn)P'，則稱點(diǎn)P'為點(diǎn)P關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)P'的示意圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P（0，﹣2）．（1）在點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2）中，是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是；（2）若在直線y＝x+b上存在點(diǎn)P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求b的取值范圍；（3）若點(diǎn)D在⊙O上，⊙D的半徑為1，點(diǎn)P關(guān)于⊙D的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為點(diǎn)P'，請直接寫出點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)xP′的取值范圍．

2021-2022學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．（2分）如圖，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．55° D．80°【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠C與∠AOB是同弧所對的圓周角與圓心角，∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．2．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形．3．（2分）將拋物線y＝﹣2x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3【分析】由拋物線平移不改變二次項(xiàng)系數(shù)a的值，根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”可知移動(dòng)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由頂點(diǎn)式可求移動(dòng)后的函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后，那么新拋物線的頂點(diǎn)為：（1，3）．可設(shè)新拋物線的解析式為y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．4．（2分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°得到△DEC，邊DE，AC相交于點(diǎn)F，若∠A＝35°，則∠EFC的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．120°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，由三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°得到△DEC，∴∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2的說法正確的是（）A．它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣3） B．它的圖象的對稱軸是直線x＝3 C．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值為0 D．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以求出當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y的值，從而可以判斷A；寫出該函數(shù)的對稱軸，即可判斷B；當(dāng)x＝0時(shí)該函數(shù)取得最小值，即可判斷C；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大如何變化，即可判斷D．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝3x2，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝3，故選項(xiàng)A不符合題意；它的圖象的對稱軸是直線x＝0，故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值為0，故選項(xiàng)C不符合題意；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．6．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【分析】利用拋物線的對稱性確定（0，2）的對稱點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y＝2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1.5，∴點(diǎn)（0，2）關(guān)于直線x＝﹣1.5的對稱點(diǎn)為（﹣3，2），當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，y＞2，即當(dāng)函數(shù)值y＞2時(shí)，自變量x的取值范圍是﹣3＜x＜0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（）A．∠ACB＝90° B．∠BDC＝∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°【分析】先利用圓的定義可判斷點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，如圖，然后根據(jù)圓周角定理對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，∴點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；∵∠BDC和∠BAC都對，∴∠BDC＝∠BAC，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；只有當(dāng)CD＝CB時(shí)，∠BAC＝∠DAC，所以C選項(xiàng)的結(jié)論不正確；∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．8．（2分）如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，當(dāng)線段OD取得最大值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（0，） B．（1，） C．（2，2） D．（2，4）【分析】根據(jù)垂徑定理得到OA＝OB，然后根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥BC，OD＝BC，即當(dāng)BC取得最大值時(shí)，線段OD取得最大值，根據(jù)圓周角定理得到CA⊥x軸，進(jìn)而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐標(biāo)為（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，∴OA＝OB，∵AD＝CD，∴OD∥BC，OD＝BC，∴當(dāng)BC取得最大值時(shí)，線段OD取得最大值，如圖，∵BC為直徑，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x軸，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AD＝OA＝2，∴D的坐標(biāo)為（2，2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，垂徑定理、圓周角定理以及三角形中位線定理，明確當(dāng)BC為直徑時(shí)，線段OD取得最大值是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）寫出一個(gè)二次函數(shù)，使得它有最大值，這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2（答案不唯一）．．【分析】根據(jù)二次函數(shù)有最大值，即可得出a＜0，據(jù)此寫出一個(gè)二次函數(shù)即可．【解答】解：∵二次函數(shù)有最大值，∴a＜0，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2，故答案為：y＝﹣x2（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．此題是一道開放型的題目10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么b＜0，c＜0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】拋物線開口方向，對稱軸，與y軸交點(diǎn)的位置確定a、b、c的符號(hào)，從而做出判斷．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸左側(cè)，∴﹣＜0，∴b＜0，∵拋物線與y軸交在負(fù)半軸，∴c＜0，故答案為：＜，＜．【點(diǎn)評(píng)】考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸交點(diǎn)確定a、b、c的值，是二次函數(shù)性質(zhì)的集中體現(xiàn)．11．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)，若AB＝1，則BD＝．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，由勾股定理可求BD的長．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，∴BD＝＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．12．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長為2π．【分析】如圖，連接OA，OB．利用弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OA，OB．由題意OA＝B＝6，∠AOB＝60°，∴的長＝＝2π．故答案為：2π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，PA＝6，則BC的長為2．【分析】連接AB，根據(jù)切線長定理得到PA＝PB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAC＝90°，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【解答】解：連接AB，∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB為等邊三角形，∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAC＝90°，∴∠CAB＝30°，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AB?tan∠CAB＝6×＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．14．（2分）點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個(gè)圖案繞點(diǎn)O至少旋轉(zhuǎn)72°后能與原來的圖案互相重合．【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)角．【解答】解：連接OA，OE，則這個(gè)圖形至少旋轉(zhuǎn)∠AOE才能與原圖象重合，∠AOE＝＝72°．故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形，正確掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圓，則圓心M的坐標(biāo)為（3，3），⊙M的半徑為．【分析】M點(diǎn)為BC和AB的垂直平分線的交點(diǎn)，利用點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)易得BC的垂直平分線為直線x＝3，AB的垂直平分線為直線y＝x，從而得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算MB得到⊙M的半徑．【解答】解：∵點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC的垂直平分線為直線x＝3，∵OA＝OB，∴△OAB為等腰直角三角形，∴AB的垂直平分線為第一、三象限的角平分線，即直線y＝x，∵直線x＝3與直線y＝x的交點(diǎn)為M點(diǎn)，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），∵M(jìn)B＝＝，∴⊙M的半徑為．故答案為（3，3），．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．16．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三點(diǎn)，其中y2＞y1＞﹣1．下面四個(gè)結(jié)論中：①拋物線開口向下；②當(dāng)x＝2時(shí)，y取最小值﹣1；③當(dāng)m＞﹣1時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④直線y＝kx+c（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，C，當(dāng)kx+c＜ax2+bx+c時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞4．正確的結(jié)論有③④．（填序號(hào)）【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖象，進(jìn)而求解．【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三點(diǎn)，其中y2＞y1＞﹣1．∴拋物線開口向上，故錯(cuò)誤；②由題意可知x＝﹣＜2時(shí)，∴函數(shù)的最小值小于﹣1，故錯(cuò)誤；③由B知，函數(shù)的最小值為小于﹣1，故m＞﹣1時(shí)，直線y＝m和y＝ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，故一元二次方程ax2+bx+c＝m必有兩個(gè)不相等實(shí)根，故正確；④觀察函數(shù)圖象，直線y＝kx+c（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，C，當(dāng)kx+c＜ax2+bx+c時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞4，故正確；故答案為：③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)與不等式（組）和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)處圖象之間的位置關(guān)系，確定不等式的解．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）下面是小華設(shè)計(jì)的“作∠AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程，請幫助小華完成尺規(guī)作圖并填空（保留作圖痕跡）．步驟作法推斷第一步在OB上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，OC為半徑作半圓，分別交射線OA，OB于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，連接PQ．∠OPQ＝90°，理由是直徑所對的圓周角是直角．第二步過點(diǎn)C作PQ的垂線，交于點(diǎn)D．＝，理由是垂徑定理．第三步作射線OD．射線OD平分∠AOB．射線OD為所求作．【分析】利用圓周角定理，垂徑定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，射線OD即為所求．∵OQ是直徑，∴∠OPQ＝90°（直徑所對的圓周角是直角）．∵CD⊥PQ，∴＝（垂徑定理），∴∠AOD＝∠BOD．故答案為：90°，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓周角定理，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．18．（5分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2x2+bx+c，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3）和（2，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象沿x軸平移，使其頂點(diǎn)恰好落在y軸上，請直接寫出平移后的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）把（0，﹣3）和（2，﹣3）代入y＝2x2+bx+c，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)頂點(diǎn)恰好落在y軸上，于是得到該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣）．即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝2x2+bx+c，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3）和（2，﹣3）．∴﹣3＝2×22+2b﹣3，解得b＝﹣4．∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2﹣4x﹣3．∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x﹣1）2﹣5，∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣5）；（2）∵y＝2（x﹣1）2﹣5，∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣5）；∵頂點(diǎn)恰好落在y軸上，∴該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5）．∴平移后的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x2﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．19．（5分）如圖，AB是⊙O的一條弦，過點(diǎn)O作OC⊥AB于D，交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)E在⊙O上，且∠AEC＝30°，連接OB．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）若CD＝4，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，根據(jù)圓周角定理即可得到答案；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠OBD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OB＝OC＝2OD，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴＝，∵∠AEC＝30°，∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；（2）∵OC⊥AB，∴∠BDO＝90°，∵∠BOC＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OB＝OC＝2OD，∴OD＝CD＝4，∴OB＝8，∴BD＝＝＝4，∴AB＝ABD＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝x2﹣4x+3的圖象．（3）當(dāng)1＜x＜4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．【分析】（1）用配方法把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，從而可得出答案；（2）根據(jù)題意畫出圖象即可；（3）由圖象可得出答案．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1；（2）令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0）和（3，0），令x＝0，則y＝3，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，3），對稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），圖象如圖所示：（3）有圖象可得：當(dāng)1＜x＜4時(shí)，y的取值范圍為﹣1≤y＜3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x國的交點(diǎn)，配方法，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（5分）如圖，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于點(diǎn)D，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段BE，連接AE．求證：BE⊥AE．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE＝BD，∠ABE＝α＝∠ABC，由“SAS”可證△ABE≌△CBD，可得結(jié)論．【解答】證明：∵將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段BE，∴BE＝BD，∠ABE＝α，∴∠ABC＝∠ABE，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠CDB＝∠AEB＝90°，∴AE⊥BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（5分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．（1）請畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱的△A1BC1，并寫出點(diǎn)A1，C1的坐標(biāo)；（2）四邊形AC1A1C的面積為16．【分析】（1）延長AB到A1使BA1＝AB，延長CB到C1，使BC1＝BC；（2）利用平行四邊形的面積公式．【解答】解：（1）如圖，△A1BC1為所作，點(diǎn)A1，C1的坐標(biāo)分別為（3，﹣1），（1，3）；（2）∵AB＝A1B，CB＝C1B，∴四邊形AC1A1C為平行四邊形，∴四邊形AC1A1C的面積＝4×4＝16．故答案為16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．23．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于D，過點(diǎn)B作BE∥CD交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半徑．【分析】連接OD，交BE于點(diǎn)F，利用切線的性質(zhì)和垂徑定理求得＝，進(jìn)而可求出∠EAB的度數(shù)，利用條件易證△ABE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OD，交BE于點(diǎn)F，如圖，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵BE∥CD，∴∠OFB＝90°，∴OD⊥BE，∴＝，∴∠EAD＝∠DAB，∵∠EAD＝22.5°，∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝45°，∴∠ABE＝∠EAB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵BE＝4，∴AB＝BE＝4，∴⊙O的半徑為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（6分）材料1：昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu)．此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖1所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線．材料2：如圖2，某一同類型懸索橋，兩橋塔AD＝BC＝10m，間距AB為32m，橋面AB水平，主索最低點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P距離橋面為2m．（1）請你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出主索拋物線的表達(dá)式；（2）距離點(diǎn)P水平距離為4m和8m處的吊索共四條需要更換，求四條吊索的總長度．【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可以直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)出主索拋物線的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)P都在拋物線上，即可求得主索拋物線的表達(dá)式；（2）根據(jù)求出的拋物線解析式，將x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的長度，從而可以求得四根吊索總長度為多少米．【解答】解：以DC中點(diǎn)為原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：由圖可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，0），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+c（a≠0），由題意可知，C點(diǎn)坐標(biāo)為（16，0），P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣8），則，解得：，∴主索拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣8；（2）x＝4時(shí)，y＝×42﹣8＝，此時(shí)吊索的長度為10﹣＝（m），由拋物線的對稱性可得，x＝﹣4時(shí)，此時(shí)吊索的長度也為m，同理，x＝8時(shí)，y＝×82﹣8＝﹣6，此時(shí)吊索的長度為10﹣6＝4（m），x＝﹣8時(shí)，此時(shí)吊索的長度也為4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的總長度為13米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）若AF＝6，⊙O的半徑為5，求BE的長．【分析】（1）先判斷出EF是⊙O的直徑，進(jìn)而判斷出OE∥BC，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)勾股定理求出AE，再判斷出BE＝AE，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，連接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直徑，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵點(diǎn)E在⊙O上，∴EG是⊙O的切線；（2）∵⊙O的半徑為5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根據(jù)勾股定理得，AE＝＝8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，切線的判定，直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，勾股定理，判斷出EF∥BC是解本題的關(guān)鍵．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）當(dāng)m＝3時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；②若當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y的最小值是0，請直接寫出m的值；（3）直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作垂直于y軸的直線l與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1有兩個(gè)交點(diǎn)，在拋物線對稱軸左側(cè)的點(diǎn)記為P，當(dāng)△OAP為鈍角三角形時(shí)，求m的取值范圍．【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；（2）①由拋物線的解析式可得出答案；②分三種情況，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函數(shù)的性質(zhì)分別列方程求解即可．（3）當(dāng)△OAP為鈍角三角形時(shí)，則0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分別求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)m＝3時(shí)，拋物線的解析式為：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）；（2）①∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝m；②∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣1），∴m的取值范圍應(yīng)分三種情況，m≤1，1≤m≤2或m≥2．若m≤1，x＝1時(shí)函數(shù)取得最小值，∴（1﹣m）2﹣1＝0，解得m＝0或m＝2（舍去），若1≤m≤2，x＝m函數(shù)取得最小值為﹣1，不合題意．若m≥2，x＝2函數(shù)取得最小值，∴（2﹣m）2﹣1＝0，解得m＝3或m＝1（舍去），綜上所述，m的值為0或3．（3）把點(diǎn)A（﹣3，0）代入y＝x+b的表達(dá)式并解得：b＝3，則B（0，3），直線AB的表達(dá)式為：y＝x+3，如圖，在直線y＝3上，當(dāng)∠AOP＝90°時(shí)，點(diǎn)P與B重合，當(dāng)y＝3時(shí)，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，則x＝m±2，∵點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)，∴x＝m+2＞m不符合題意，舍去，則點(diǎn)P（m﹣2，3），當(dāng)△OAP為鈍角三角形時(shí)，則0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，解得：m＞2或m＜﹣1，∴m的取值范圍是：m＞2或m＜﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)，解不等式，一元二次方程根的判別式，鈍角三角形判斷的方法等知識(shí)點(diǎn)，第三問有難度，確定∠AOP為直角時(shí)點(diǎn)P的位置最關(guān)鍵．27．（7分）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A在邊OM上，點(diǎn)P是邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，∠OAP＝α，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AB，連接OB，再將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OC，作CH⊥ON于點(diǎn)H．（1）如圖1，α＝60°．①依題意補(bǔ)全圖形；②連接BP，求∠BPH的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段OA與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②證明△APB是等邊三角形，推出∠APB＝60°，再證明∠APO＝30°，可得結(jié)論．（2）結(jié)論：OA＝2CH．連接BP，BC，PC．利用全等三角形的性質(zhì)證明OA＝PC，再證明∠CPH＝30°可得結(jié)論．【解答】解：（1）①下圖即為所求：②∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AB，∴AB＝AP，且∠PAB＝60°．∴△ABP是等邊三角形，∴∠BPA＝60°，∵∠OAP＝60°，∴∠APO＝30°，∴∠BPO＝∠BPA+∠APO＝90°，∴∠BPH＝90°．（2）結(jié)論：OA＝2CH．理由：如圖2中，連接BP，BC，PC．由（2）可知，△ABP是等邊三角形，∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°．∵線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OC，∴OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴BO＝BC，∠OBC＝60°，∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，∴△ABO≌△PBC（SAS），∴AO＝