函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)思想題型歸納總結(jié) 講義-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)

同構(gòu)思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式(或不等式、方程)通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．此方法常用于求解具有對(duì)數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或不等式問題．同構(gòu)法在近幾年的?？贾蓄l繁出現(xiàn)，把等式或不等式變形為兩個(gè)形式上一樣的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成比較大小,或者解恒成立，求最值等問題.同構(gòu)法在使用時(shí)，考驗(yàn)“眼力”，面對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，仔細(xì)觀察靈活變形，使式子兩則的結(jié)構(gòu)一致.構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)一步求參數(shù)或證明不等式.題型1：指對(duì)跨階型解決指對(duì)混合不等式時(shí)，常規(guī)的方法計(jì)算復(fù)雜，則將不等式變形為的結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于研究.常見變形方式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤.答題思路；1.直接變形：（1）積型：（同左）；（同右）；（取對(duì)數(shù)）.說明：取對(duì)數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取對(duì)數(shù)）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先湊再變形：若式子無法直接進(jìn)行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；1.(2021重慶市市轄區(qū)模擬)若關(guān)于的不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.解：，，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增.故即，

即即設(shè)，則，

令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減故，故

故選2.不等式恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是________．解析．3．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析，由于lnx＋1≤x，ex≥ex，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立，則，所以．4.已知不等式，對(duì)任意的正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析，由于ex≥ex，lnex≤x，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立，所以，則，所以．5.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析，由于lnx＋1≤x，e2x≥2ex，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立，則，所以．6.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.【解析】由移項(xiàng)得：即，兩邊同時(shí)加（x－1）得即設(shè)，則，所以單增所以，即設(shè)，則，所以在單減，在單增，所以，所以.7.(2021山東省泰安市一模)已知.

（1）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.解：（1）由題意得，，，則，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，所以在，單調(diào)遞增，，故在，上無零點(diǎn)；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，，使得，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上無零點(diǎn)=1\*romani）當(dāng)即時(shí)，在，上無零點(diǎn)，=2\*romanii）當(dāng)即時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)，=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，在，上無零點(diǎn)，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)；（2）由得，即，則有，令，，，函數(shù)在上遞增，方程即為方程即有2個(gè)不同的正實(shí)根設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)不同的正實(shí)根綜上所述：.8.設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，若對(duì)任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx【答案】[【解析】由eλx-lnxλ≥0得e設(shè)f(t)=tet，則又f'∴當(dāng)t<-1時(shí)，f'(t)<0，f(t)單調(diào)遞減；當(dāng)①當(dāng)x≥1e時(shí)，t1=λx>0，t即f(λx)≥f(lnx)，所以λx≥lnx對(duì)任意的x∈(0，+設(shè)gx=lnxx，x>0，則g'x=1-lnxx②當(dāng)0<x<1e時(shí)，由f0=0?e0=0，結(jié)合函數(shù)f(t)綜上可得λ≥1e，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是【解析二】由eλx-lnxλ≥0得e當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，總有λxe只需考慮x>1的情形，亦即設(shè)f(t)=tet(t>0)，則ft由fλx≥flnx得，λ設(shè)gxmax=ge【解析三】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnx當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，總有λxe只需考慮x>1的情形，亦即設(shè)f(t)=tlnt(t>1)，則f'ft由feλx≥fx得，e設(shè)gxmax=ge【解析四】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnx當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，總有λxe只需考慮x>1的情形，得設(shè)ft=t+lnt(t>1)，則ft由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即設(shè)gxmax=ge9.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是.【答案】【解析一】將變形為，（說明：將參數(shù)移至一邊）兩邊同時(shí)乘x得（說明：目的是湊右邊的結(jié)構(gòu)）即（說明：目的是湊左右兩邊的結(jié)構(gòu)相同）（#）設(shè)，則，單增故由（#）得，再令，則，易知當(dāng)所以，即.【解析二】將變形為，即設(shè)，易知單增故（以下同解法一，從略）.10.（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，不等式成立，即成立，即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：A.11.（2020·安徽·高三月考（文））已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，若顯然不是恒大于零，故.（由4個(gè)選項(xiàng)也是顯然可得），則在上恒成立；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，?再設(shè)，令，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以.故選：D．12.（2020·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考（理））若，滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】首先對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論，分兩種情況，尤其是當(dāng)時(shí)，對(duì)式子進(jìn)行變形，構(gòu)造新函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值來處理，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，綜述求得最后的結(jié)果.【詳解】（1），顯然成立；（2）時(shí)，由，由在為增在恒成立，由在為增，，，綜上，，故答案為.13．（2020·全國(guó)·高三月考（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【詳解】顯然，由，得，則令，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以只需要即可，即，令，則，所以可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，即.故答案為：14.已知函數(shù)fx=（x+1x）lnx，gx【解析】2fx-gx≤0轉(zhuǎn)化為（x2+又f't=t所以lnx2≤mx，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[215.已知不等式，對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案解析(三種模式，只要寫一種)，由(3)得，，即，由導(dǎo)數(shù)法可得，從而所以．16.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．B．C．D．解析(同構(gòu))，令，由，且，知在為減函數(shù)，所以．故選C．17.對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．解析(積型同構(gòu)取對(duì)數(shù))，令，則為增函數(shù)，由，得，即恒成立，令，則，易得，所以實(shí)數(shù)a的最小值為．18.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．解析(和差型同構(gòu))，令，顯然為增函數(shù)，則原命題等價(jià)于，由于，所以，即得．19.（2021·湖北·漢陽(yáng)一中二模）若對(duì)任意，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，不等式變形為.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增.則在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最小值點(diǎn).所以，即在上單調(diào)遞增.若使得對(duì)任意，恒有成立.則需對(duì)任意，恒有成立.即對(duì)任意，恒有成立，則在恒成立.設(shè)則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減則在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最大值點(diǎn).所以，即，則實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D20.（2021·江蘇·公道中學(xué)高二月考）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】不等式對(duì)恒成立可變形為,即對(duì)恒成立設(shè)則當(dāng)時(shí),,即在時(shí)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),,即在時(shí)單調(diào)遞減因而在上恒成立即可當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí)(因四個(gè)選項(xiàng)都小于0,所以只需討論的情況)因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞減,若只需不等式兩邊同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù),可得當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)不等式可得只需令,則,令解得當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減所以在處取得最大值,故所以實(shí)數(shù)的最小值為故選:C21.已知函數(shù).(1)判斷在上的單調(diào)性；(2)若，證明：．解析(1)，令，，在上單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減．(2)要證，即證：即證：即證：，令，即證：，由(1)，在上單調(diào)遞減，即證：．令，，在上單調(diào)遞增，，，即．22.（2021·河南·高三月考（理））若關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立.則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】易知，將原不等式變形可得：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f增，設(shè)，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故答案為：23.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A．B．C． D．【答案】D【詳解】由可得，所以，設(shè)，則上式等價(jià)于對(duì)于恒成立，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，所以對(duì)于恒成立，即，因?yàn)?，所以?duì)于恒成立，令，則，，由可得，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，可得，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D.24.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．B．C．D．答案解析，即，令，則在單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，令，則，在上單調(diào)遞增，．故選B．25.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將條件變形為，然后由的單調(diào)性可得，然后可得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.【詳解】由得即，構(gòu)造，即因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以所以，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，所以，即又，即所以的取值范圍是故選：B26.（2021·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二月考（理））若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則，得；當(dāng)時(shí)，，恒成立；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性得在恒成立，通過分離參數(shù)即可求解參數(shù)范圍．【詳解】解：令，則，∴．不等式恒成立，①當(dāng)時(shí)，，恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，，在單調(diào)遞增，即等價(jià)于，在恒成立．即，在恒成立.令，則，可得，∴在遞增，在遞減，∴，∴，∴的取值范圍為．故選：B．27.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，不等式成立，即成立，即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.28.（2020·遼寧·模擬預(yù)測(cè)（理））若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式，化為，兩邊取對(duì)數(shù)得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，可得，①當(dāng)時(shí)，，則，不等式顯然成立；②當(dāng)時(shí)，不等式，可化為，兩邊取對(duì)數(shù)，可得，令，可得，又由函數(shù)單調(diào)遞增，所以只需，即在恒成立，令，有，，由，即，解得，由，即，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.29.（2021·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三月考（理））設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理易知使，此時(shí)，進(jìn)而討論的單調(diào)性可知，要使題設(shè)不等式恒成立，即成立，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性確定的區(qū)間，進(jìn)而求的范圍.【詳解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上單調(diào)遞增，∵，，∴，使，即，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；故只需，令，∴，故在上遞減，而，∴時(shí)，恒成立，可知.故選：C30.（2021·福建省泉州第一中學(xué)高二期末）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為___________.【答案】【詳解】由題意，不等式可變形為，得對(duì)任意恒成立.設(shè)，則對(duì)任意恒成立，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍髮?shí)數(shù)的最小值，所以考慮的情況，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以要使，只需，兩邊取對(duì)數(shù)，得上，由于，所以.令，則，令，得，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：32.（2021·河南鄭州·二模（理））已知，不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____．【答案】【詳解】不等式對(duì)任意的恒成立，令，則，所以不等式等價(jià)于對(duì)恒成立，變形可得不等式對(duì)恒成立，令，，則不等式等價(jià)于對(duì)恒成立，，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，所以不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．33.（2021·河南平頂山·高二期中）不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】，，令，易知在遞增，，∴，又∵，，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在遞減，在上遞增，，則故答案為：．34.（2020·全國(guó)·高三月考（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【詳解】顯然，由，得，則令，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以只需要即可，即，令，則，所以可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，即.故答案為：35.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【詳解】解：若，時(shí)，，，∴，此時(shí)不恒成立，∴，，令，，時(shí)，，，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，，時(shí)，，，原不等式恒成立；時(shí)，令，，，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：.36.（2021·河南南陽(yáng)·高二期末（理））若，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由已知得，因?yàn)?，，，所以，，，所以在上單調(diào)遞增，，由在單調(diào)遞增，得到，所以，因?yàn)椋?，令，則，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.故答案為：37.（2021·浙江·高二期中）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【詳解】，，，令，，即在上單調(diào)遞增，則，令，，時(shí)，時(shí)，在上遞增，在上遞減，時(shí)，即，正數(shù)k的取值范圍是.故答案為：38.（2021·天津·耀華中學(xué)高三月考）已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.【答案】【分析】將已知轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，恒成立，利用同構(gòu)思想，構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立，利用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)即可得解.【詳解】∵對(duì)于任意，，不等式恒成立∴對(duì)于任意，，即恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由，知，即，即設(shè)，，求導(dǎo)令，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴在處取得極大值，且為最大值，所以時(shí)，不等式恒成立故答案為：39.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若時(shí)，關(guān)于不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【詳解】當(dāng)，時(shí)，不等式顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，.由于，即.所以原不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.構(gòu)造函數(shù)，.易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則原不等式等價(jià)于要證.因?yàn)?，要使?shí)數(shù)的最大，則應(yīng).即.記函數(shù)，則.易知，.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.因此只需.綜上所述，實(shí)數(shù)的最大值是.故答案為：40.（2020·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（理））已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為__________.【答案】【詳解】可變?yōu)?，再變形可得，，設(shè)，原不等式等價(jià)于，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得，，因?yàn)?，所以．設(shè)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即．當(dāng)時(shí)，不等式在恒成立；當(dāng)時(shí)，，無論是否存在，使得在上恒成立，都可判斷實(shí)數(shù)m的最小值為．故答案為：．41.（2020·江蘇省濱海中學(xué)高三月考）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【詳解】由題設(shè)，有，則，令且，則，而，∴在上遞增，則，即，若，則，∴當(dāng)時(shí)，，即遞增；當(dāng)時(shí)，，即遞減；∴，故.故答案為：題型2：雙元同構(gòu)型【解題策略】含有同等地位的兩個(gè)變量的等式或不等式，同構(gòu)后使等式或不等式兩側(cè)具有一致的結(jié)構(gòu)，便于構(gòu)造函數(shù)解決問題.答題思路：常見的同構(gòu)類型有：（1）；（2）；（3）.1.若，則下列不等式正確的是（）A．B．C．D．解析設(shè)，則，故在上有一個(gè)極值點(diǎn)，即在上不是單調(diào)函數(shù)，無法判斷與的大小，故A、B錯(cuò)；構(gòu)造函數(shù)，，故在上單調(diào)遞減，所以，選C．2.若，都有成立，則a的最大值為()A．B．1C．eD．2e解析，即，令，則在上為增函數(shù)，在上恒成立，，令，解得x＝1，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，的最大值為1，選B．3.已知，在區(qū)間內(nèi)任取兩實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析①當(dāng)p>q時(shí)，即，令，則，在遞減，即，在遞減，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，．②當(dāng)p<q時(shí)，同理可得出，綜上所述4.已知a，b分別滿足，則ab＝________．解析同構(gòu)化處理，并利用函數(shù)的單調(diào)性．，，令，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即，即，則ab＝e3．5.(2021江西省萍鄉(xiāng)市聯(lián)考)已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的定義域；（2）對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，即，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?/p>

③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?；?）由題意得，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減設(shè)，

即函數(shù)在上是減函數(shù)，且，

，解得，

實(shí)數(shù)的取值范圍為6.(2021江蘇省蘇州市聯(lián)考)已知函數(shù)，若對(duì)任意，，存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.解：令，

由得

在遞增，

，即恒成立，設(shè)，，，

則在上單調(diào)遞增，

，故有，

，使得成立，

故，即

故選：.7.已知函數(shù)，若對(duì)任意正數(shù)x1，x2，當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案m≥0解析由得，，令，，在單調(diào)遞增，又，，在上恒成立，即，令，則，在單調(diào)遞減，(但取不到)．m≥0．8．已知函數(shù)，，當(dāng)x2＞x1時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．答案D解析由，得，令，則在上單調(diào)遞增，又，在上恒成立，即，令，則，令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，選D．題型3：朗博函數(shù)同構(gòu)型1.已知，則函數(shù)的最大值為________．解析．(當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＋1＝0取等號(hào))．2.函數(shù)的最小值是________．解析(當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0取等號(hào))．3.函數(shù)的最小值是________．解析(當(dāng)且僅當(dāng)x＋2lnx＝0取等號(hào))．4.不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是________．解析，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0等號(hào)成立．5.不等式恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是________．解析，當(dāng)x＋lnx＋1≤0時(shí)，原不等式恒成立，當(dāng)x＋lnx＋1＞0時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝1等號(hào)成立，所以，故．6.已知函數(shù)，其中b＞0，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是________．解析，由于，當(dāng)且僅當(dāng)x＋blnx＝0等號(hào)成立，所以7.已知不等式，對(duì)任意的正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析，當(dāng)且僅當(dāng)－ax＋lnx＝0，即時(shí)等號(hào)成立，由有解，易得．8.關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是_____.【答案】【提示】變形為，利用題型4：零點(diǎn)同構(gòu)型1.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析，令，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，令，在(－∞，1)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)單調(diào)遞增．，．2.已知x0是函數(shù)的零點(diǎn)，則________．解析，所以，即，或，則．3.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解答】解：方法一：由可得，設(shè)，，，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故（1）．①當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，（1），此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，（1），此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，解得或1或，且，此時(shí)在單減，，單增，單減，，單增，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜合①②③知在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)．方法二：由題意可得，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，，令，，易知在單減，在上單增，所以（1），又趨近于0和正無窮時(shí)，趨近于正無窮，所以．4.已知．（1）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值