2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-導(dǎo)數(shù)切線(xiàn)方程11種題型-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

第5講導(dǎo)數(shù)切線(xiàn)方程11類(lèi)【原卷版】【題型一】求切線(xiàn)基礎(chǔ)型：給切點(diǎn)求切線(xiàn)【典例分析】已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為_(kāi)_________.【變式演練】1.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.2.已知點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)________.3.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（）A．1 B． C． D．【題型二】求切線(xiàn)基礎(chǔ)型：有切線(xiàn)無(wú)切點(diǎn)求切點(diǎn)【典例分析】曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．和D．和【變式演練】1.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2.過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)且與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方程為（）A． B．C． D．3.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是____________.【題型三】求切線(xiàn)基礎(chǔ)：無(wú)切點(diǎn)求參【典例分析】已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的取值是（）A．-1 B． C．1 D．【變式演練】1.若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)是直線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)__________2.已知曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________.3.已知軸為曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則的值為_(kāi)_______.【題型四】無(wú)切點(diǎn)多參【典例分析】若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，且，則實(shí)數(shù)b的最小值是______.【變式演練】1已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線(xiàn)方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.2.若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，則__________3.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則（）A． B． C． D．【題型五】“過(guò)點(diǎn)”型切線(xiàn)【典例分析】過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________，切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_________.【變式演練】1.過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____________.2.過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)（）的切線(xiàn)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．3.已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．【題型六】判斷切線(xiàn)條數(shù)【典例分析】已知曲線(xiàn)，則過(guò)點(diǎn)可向引切線(xiàn)，其切線(xiàn)條數(shù)為（）A． B． C． D．【變式演練】1.已知過(guò)點(diǎn)A（a，0）作曲線(xiàn)C：y＝x?ex的切線(xiàn)有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）2.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，且的圖象在處的切線(xiàn)l與曲線(xiàn)相切，符合情況的切線(xiàn)l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在3.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在點(diǎn)與點(diǎn)處的切線(xiàn)總是平行時(shí)，則由點(diǎn)可作曲線(xiàn)的切線(xiàn)的條數(shù)為（）A． B． C． D．無(wú)法確定【題型七】多函數(shù)（多曲線(xiàn)）的公切線(xiàn)【典例分析】直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切也與曲線(xiàn)相切，則稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的公切線(xiàn)，已知函數(shù)，其中，若曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的公切線(xiàn)有兩條，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式演練】1.函數(shù)與有公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．4 B．2 C．1 D．2.曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有（）條公切線(xiàn).A．1 B．2 C．3 D．43.若函數(shù)與函數(shù)有公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【題型八】切線(xiàn)的應(yīng)用：距離最值【典例分析】點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，若滿(mǎn)足到直線(xiàn)的距離為1的點(diǎn)有且僅有1個(gè)，則（）A． B． C． D．【變式演練】1.點(diǎn)A在直線(xiàn)y＝x上，點(diǎn)B在曲線(xiàn)上，則的最小值為（）A． B．1 C． D．22.已知點(diǎn)M在函數(shù)圖象上，點(diǎn)N在函數(shù)圖象上，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．33.拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值是A． B． C． D．【題型九】切線(xiàn)的應(yīng)用：距離公式轉(zhuǎn)化型【典例分析】若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【變式演練】1.若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．42.設(shè)，當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的最小值為_(kāi)__________.3.已知，，則的最小值為_(kāi)_____．【題型十】切線(xiàn)的應(yīng)用：恒成立求參等應(yīng)用【典例分析】已知為實(shí)數(shù)，則“對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．2.若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則__________.3.已知函數(shù)，，若存在使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型十一】切線(xiàn)的應(yīng)用：零點(diǎn)等【典例分析】已知函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)恰有四個(gè)公共點(diǎn)，，，，其中，則=______.2.關(guān)于的方程在內(nèi)有且僅有個(gè)根，設(shè)最大的根是，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．以上都不對(duì)3.已知函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，，若時(shí)，方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【課后練習(xí)】1.已知函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，則滿(mǎn)足的的取值范圍為_(kāi)________.2.已知函數(shù)，若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則______.3.已知過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)有且僅有1條，則實(shí)數(shù)的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或44.已知直線(xiàn)是函數(shù)圖像的一條切線(xiàn)，且關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則（）A． B． C． D．5.．函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與函數(shù)的圖象也相切，則滿(mǎn)足條件的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)6.已知過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)：的切線(xiàn)有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.7.已知函數(shù)，則和的公切線(xiàn)的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條8.若兩曲線(xiàn)與存在公切線(xiàn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．9.已知函數(shù)，，若曲線(xiàn)與的公切線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)，則___________.10.已知，，求的最小值________.11.已知方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，則以下有關(guān)兩根關(guān)系的結(jié)論正確的是A． B． C． D．12.已知，則方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根，實(shí)數(shù)取值范圍__________________.13.已知函數(shù)（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）如果過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn),求實(shí)數(shù)的取值范圍第5講導(dǎo)數(shù)切線(xiàn)方程11類(lèi)【解析版】【題型一】求切線(xiàn)基礎(chǔ)型：給切點(diǎn)求切線(xiàn)【典例分析】已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，求得在切點(diǎn)處的直線(xiàn)斜率；再根據(jù)點(diǎn)斜率求得切線(xiàn)方程．【詳解】因?yàn)?，所以，則所求切線(xiàn)的方程為.故答案為：.【變式演練】1.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)所得的值就是切線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式可與出切線(xiàn)方程.解：由，得，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，所以所求的切線(xiàn)方程為，即，故答案為：，2.已知點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)________.【答案】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程，可求得的值，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在曲線(xiàn)上，，可得，所以，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，因此，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.3.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)f(x)在x=1處的傾斜角為得,由此可求a的值.解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)f(x)在x=1處的傾斜角為,,,故選B.【題型二】求切線(xiàn)基礎(chǔ)型：有切線(xiàn)無(wú)切點(diǎn)求切點(diǎn)【典例分析】曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．和D．和【答案】C【詳解】令，解得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題考查直線(xiàn)的斜率，考查導(dǎo)數(shù)與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式演練】1.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得斜率，最后根據(jù)直線(xiàn)垂直關(guān)系得結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，則，，設(shè)切點(diǎn)得橫坐標(biāo)為，則解得，（負(fù)值舍去）所以.故選：D2.過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)且與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得幾何意義即可求得切線(xiàn)得斜率，從而可求得與切線(xiàn)垂直得直線(xiàn)方程.【詳解】解：∵，∴，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率是，∴過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為，∴所求直線(xiàn)方程為，即．故選：A.3.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是____________.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，得到，求得，分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則斜率，所以，解得，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線(xiàn)方程為；當(dāng)，切點(diǎn)為，不滿(mǎn)足題意，綜上可得，切點(diǎn)為.故答案為：.【題型三】求切線(xiàn)基礎(chǔ)：無(wú)切點(diǎn)求參【典例分析】已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的取值是（）A．-1 B． C．1 D．【答案】B【分析】求導(dǎo)得到，根據(jù)垂直關(guān)系得到，解得答案.【詳解】，，直線(xiàn)，，故，解得.故選：.【變式演練】1.若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)是直線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】先設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)切線(xiàn)斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線(xiàn)方程，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，又曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)是直線(xiàn)，所以切線(xiàn)斜率為，∴，因此，即切點(diǎn)為，代入切線(xiàn)，可得.故答案為：.2.已知曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________.【答案】2【分析】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后由切點(diǎn)是公共點(diǎn)和切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切的斜率列方程組可求得結(jié)果.解：設(shè)切點(diǎn)為，由得，則由題意得，，解得，故答案為：23.已知軸為曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則的值為_(kāi)_______.【答案】【分析】設(shè)軸與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程即可得解.【詳解】由題意，設(shè)軸與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.【題型四】無(wú)切點(diǎn)多參【典例分析】若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，且，則實(shí)數(shù)b的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切線(xiàn)為，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線(xiàn)斜率求出，再由切點(diǎn)坐標(biāo)可把表示為的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，由于直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，∴，又，∴（），，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)b遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)b遞減，∴為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，∴b的最小值為.故答案為：．【變式演練】1已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線(xiàn)方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.【答案】0【分析】由題意，列方程組可求，即求.【詳解】∵在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，，代入得①.又②.聯(lián)立①②解得：..故答案為：0.2.若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，則__________【答案】解：將代入，得切點(diǎn)為，①，又，，②.聯(lián)立①②解得：，，故.故答案為：.3.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，將代入得，故選D．【題型五】“過(guò)點(diǎn)”型切線(xiàn)【典例分析】過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________，切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_________.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為；利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程并求切點(diǎn)坐標(biāo)．解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為；；故由題意得，；解得，；故切點(diǎn)坐標(biāo)為；切線(xiàn)的斜率為；故切線(xiàn)方程為，整理得．故答案為：；.【變式演練】1.過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____________.【答案】.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，切線(xiàn)方程為，切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，即，，即所求切線(xiàn)方程為.故答案為：.2.過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)（）的切線(xiàn)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【分析】先求出曲線(xiàn)的方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值為切線(xiàn)斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由（），則，化簡(jiǎn)得，則，設(shè)切點(diǎn)為，顯然不在曲線(xiàn)上，則，得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.3.已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求出切線(xiàn)方程，即得，解方程即得a的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∴切線(xiàn)方程是，∴，故答案為：C【題型六】判斷切線(xiàn)條數(shù)【典例分析】已知曲線(xiàn)，則過(guò)點(diǎn)可向引切線(xiàn)，其切線(xiàn)條數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線(xiàn)在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程，可得出關(guān)于的方程，解出該方程，得出該方程根的個(gè)數(shù)，即為所求.【詳解】設(shè)在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，，則，所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程得，即，解得，，.因此，過(guò)點(diǎn)可向引切線(xiàn)，有三條.故選：C.【變式演練】1.已知過(guò)點(diǎn)A（a，0）作曲線(xiàn)C：y＝x?ex的切線(xiàn)有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，則切線(xiàn)方程為：，切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)代入得：，即方程有兩個(gè)解，則有或.故答案為:A.2.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，且的圖象在處的切線(xiàn)l與曲線(xiàn)相切，符合情況的切線(xiàn)l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在【答案】D【解析】試題分析：，依題意，在上有解.當(dāng)時(shí)，在上無(wú)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意，故.易知曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)為.假設(shè)該直線(xiàn)與相切，設(shè)切點(diǎn)為，即有，消去化簡(jiǎn)得，分別畫(huà)出的圖像，觀(guān)察可知它們交點(diǎn)橫坐標(biāo)，，這與矛盾，故不存在.3.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在點(diǎn)與點(diǎn)處的切線(xiàn)總是平行時(shí)，則由點(diǎn)可作曲線(xiàn)的切線(xiàn)的條數(shù)為（）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【解析】分析：由曲線(xiàn)在點(diǎn)與點(diǎn)處的切線(xiàn)總是平行,可得導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，從而求出的值，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程有三個(gè)解，從而可得結(jié)果.詳解：由，得，曲線(xiàn)在點(diǎn)與點(diǎn)處的切線(xiàn)總是平行，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，點(diǎn)，即為，所以，，設(shè)切點(diǎn)為切線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程可得，化為，設(shè)令得或，令得，在上遞增，在上遞減，在處有極大值，在處有極小值，且，與有三個(gè)交點(diǎn)，方程有三個(gè)根，即過(guò)的切線(xiàn)有條，故答案為.【題型七】多函數(shù)（多曲線(xiàn)）的公切線(xiàn)【典例分析】直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切也與曲線(xiàn)相切，則稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的公切線(xiàn)，已知函數(shù)，其中，若曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的公切線(xiàn)有兩條，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)求出兩個(gè)函數(shù)的切線(xiàn)方程，根據(jù)這個(gè)兩個(gè)方程表示同一直線(xiàn)，可得方程組，化簡(jiǎn)方程組，可以得到變量關(guān)于其中一個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)形式，求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的正負(fù)性，畫(huà)出圖象圖形，最后利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】設(shè)曲線(xiàn)的切點(diǎn)為：，，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為，因此過(guò)該切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：；設(shè)曲線(xiàn)的切點(diǎn)為：，，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為，因此過(guò)該切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，則兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)應(yīng)該滿(mǎn)足：，構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最大值為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，函數(shù)的圖象大致如下圖所示：要想有若曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的公切線(xiàn)有兩條，則的取值范圍為.故選：C【變式演練】1.函數(shù)與有公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)A和B，然后求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由的導(dǎo)函數(shù)分析求解參數(shù)，再由的導(dǎo)函數(shù)和公切線(xiàn)分析得出關(guān)于的方程組，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)公切線(xiàn)與兩個(gè)函數(shù)與圖象的切點(diǎn)分別為A和B，由，，可得解得，所以有化簡(jiǎn)得，令，則恒成立，即得函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，又因，則可解得方程，，則由解得.故選：A.2.曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有（）條公切線(xiàn).A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】設(shè)是曲線(xiàn)圖像上任意一點(diǎn)，，所以，所以過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，整理得①.令，解得，則，所以曲線(xiàn)上過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，整理得②.由于切線(xiàn)①②重合，故，即③.構(gòu)造函數(shù)，則，，故當(dāng)時(shí)遞減、當(dāng)時(shí)遞增，注意到當(dāng)時(shí)，且，所以當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間各存在的一個(gè)零點(diǎn)，也即有兩個(gè)零點(diǎn)，也即方程③有兩個(gè)根，也即曲線(xiàn)和曲線(xiàn)有兩條公切線(xiàn).故選：B3.若函數(shù)與函數(shù)有公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線(xiàn)，將其與聯(lián)立，通過(guò)判別式為零，可得切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，整理得到關(guān)于一個(gè)坐標(biāo)變量的方程，借助于函數(shù)的極值和最值，即可得到的最小值.【詳解】解：，設(shè)公切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)為，

則公共切線(xiàn)為，即，其與相切，聯(lián)立消去得：，則有解，即有解，令，，則，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，則，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A.【題型八】切線(xiàn)的應(yīng)用：距離最值【典例分析】點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，若滿(mǎn)足到直線(xiàn)的距離為1的點(diǎn)有且僅有1個(gè)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)，設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和切點(diǎn)在曲線(xiàn)、直線(xiàn)上求得切點(diǎn)，再利用到直線(xiàn)的距離為1，結(jié)合圖象解得參數(shù)即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，則，解得切點(diǎn)為，由題可知到直線(xiàn)的距離為1，所以，解得，結(jié)合圖象可知，.故選：B.【變式演練】1.點(diǎn)A在直線(xiàn)y＝x上，點(diǎn)B在曲線(xiàn)上，則的最小值為（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】設(shè)平行于直線(xiàn)y＝x的直線(xiàn)y＝x＋b與曲線(xiàn)相切，將題意轉(zhuǎn)化為兩平行線(xiàn)間的距離，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)平行于直線(xiàn)y＝x的直線(xiàn)y＝x＋b與曲線(xiàn)相切，則兩平行線(xiàn)間的距離即為的最小值．設(shè)直線(xiàn)y＝x＋b與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，則由切點(diǎn)還在直線(xiàn)y＝x＋b上可得，由切線(xiàn)斜率等于切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可得，聯(lián)立解得m＝1，b＝－1，由平行線(xiàn)間的距離公式可得的最小值為，故選：A.2.已知點(diǎn)M在函數(shù)圖象上，點(diǎn)N在函數(shù)圖象上，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的圖象與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的兩倍，利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以的最小值為函數(shù)的圖象上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的2倍，即為函數(shù)的圖象與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的兩倍，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象上與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)的斜率，所以，所以切點(diǎn)為，它到直線(xiàn)的距離，所以的最小值為.故選：B.3.拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：對(duì)y=x2求導(dǎo)可求與直線(xiàn)x-y-1=0平行且與拋物線(xiàn)y=x2相切的切線(xiàn)方程，然后利用兩平行線(xiàn)的距離公司可得所求的最小距離d．解：（法一）對(duì)y=x2求導(dǎo)可得y′=2x，令y′=2x=1可得x=∴與直線(xiàn)x-y-1=0平行且與拋物線(xiàn)y=x2相切的切點(diǎn)（，），切線(xiàn)方程為y-=x-即x-y-=0由兩平行線(xiàn)的距離公司可得所求的最小距離d=，故選A.【題型九】切線(xiàn)的應(yīng)用：距離公式轉(zhuǎn)化型【典例分析】若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】原題等價(jià)于函數(shù)上的點(diǎn)與函數(shù)上的點(diǎn)間的距離最小值的平方，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程最后轉(zhuǎn)化求兩平行線(xiàn)間的距離平方即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離最小值的平方，點(diǎn)A在函數(shù)上，點(diǎn)B在函數(shù)上，這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，此時(shí)，∴斜率為1的切線(xiàn)方程為，它與的距離為.故原式的最小值為2.故選：B.【變式演練】1.若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】原題等價(jià)于函數(shù)上的點(diǎn)與函數(shù)上的點(diǎn)間的距離最小值的平方，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程最后轉(zhuǎn)化求兩平行線(xiàn)間的距離平方即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離最小值的平方，點(diǎn)A在函數(shù)上，點(diǎn)B在函數(shù)上，這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，此時(shí)，∴斜率為1的切線(xiàn)方程為，它與的距離為.故原式的最小值為2.故選：B.2.設(shè)，當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的最小值為_(kāi)__________.【答案】10【分析】表示點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方，而點(diǎn)是直線(xiàn)上任一點(diǎn)，點(diǎn)（）是反比例函數(shù)在第四象限上的點(diǎn)，然后由反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)可求得，從而得，再利用絕對(duì)值三角不等式可求出函數(shù)的最小值【詳解】解：表示點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方，而點(diǎn)是直線(xiàn)上任一點(diǎn)，點(diǎn)是反比例函數(shù)在第四象限上的點(diǎn)，當(dāng)是斜率為的直線(xiàn)與相切的切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為的最小值，由，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為10，故答案為：103.已知，，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用算術(shù)根的幾何意義，把所求轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖形上點(diǎn)的距離最小值即可作答.【詳解】可看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而點(diǎn)的軌跡是直線(xiàn)，點(diǎn)的軌跡是曲線(xiàn)，則所求最小值可轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值，而曲線(xiàn)在直線(xiàn)上方，平移直線(xiàn)使其與曲線(xiàn)相切，則切點(diǎn)到直線(xiàn)距離即為所求，設(shè)切點(diǎn)，，由得，切點(diǎn)為則到直線(xiàn)距離.故答案為：【題型十】切線(xiàn)的應(yīng)用：恒成立求參等應(yīng)用【典例分析】已知為實(shí)數(shù)，則“對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí)的值，再數(shù)形結(jié)合將對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為，最后判斷充要關(guān)系即可得解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，且切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，，所以切線(xiàn)方程為.數(shù)形結(jié)合可知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于.而由不能得到，故充分性不成立；反之，由可得到，故必要性成立.故選：B.【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意求得，代入函數(shù)解析式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，對(duì)分類(lèi)討論，分離參數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．【詳解】解：因?yàn)?，所以，又函?shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，所以，解得，所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪ⅲ?dāng)時(shí)，成立．當(dāng)時(shí)，令，則．當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，而，所以．綜上，，所以m的取值范圍為．故選：A2.若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則__________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求解出在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程以及在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，根據(jù)兩切線(xiàn)重合，求解出之間的關(guān)系式，由此可化簡(jiǎn)計(jì)算出的值.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，由兩條切線(xiàn)重合的條件，可得，且，則，即有，可得，則.故答案為:3.已知函數(shù)，，若存在使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與在有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，即可求解【詳解】，所以，，即與在有交點(diǎn)，分情況討論：①直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，即，得；②直線(xiàn)與相切，設(shè)切點(diǎn)為，得，切點(diǎn)為，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B【題型十一】切線(xiàn)的應(yīng)用：零點(diǎn)等【典例分析】已知函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】試題分析：由題意知，，∵在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，合圖象可知，當(dāng)直線(xiàn)與相切時(shí)，，解得：；此時(shí)；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；故.【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)恰有四個(gè)公共點(diǎn)，，，，其中，則=______.【答案】函數(shù)的圖象如下圖所示：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，由圖象可知切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)方程為：，又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則有，即2.關(guān)于的方程在內(nèi)有且僅有個(gè)根，設(shè)最大的根是，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】由題，先做出圖像，然后找到最大根，利用斜率公式可得與的大小關(guān)系.【詳解】由題意作出與在的圖象，如圖所示：∵方程在內(nèi)有且僅有5個(gè)根，最大的根是.∴必是與在內(nèi)相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)切點(diǎn)為，，則，斜率則故選C.3.已知函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，，若時(shí)，方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由此可畫(huà)出函數(shù)圖像，而直線(xiàn)為過(guò)定點(diǎn)的一條直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)與當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖像相切時(shí)，直線(xiàn)與在的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)的斜率，再結(jié)合圖像可得答案【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的圖像如圖所示，直線(xiàn)為過(guò)定點(diǎn)的一條直線(xiàn).當(dāng)直線(xiàn)與當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖像相切時(shí)，直線(xiàn)與在的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，設(shè)切點(diǎn)為，切線(xiàn)的斜率，則切線(xiàn)方程為，把點(diǎn)代入得，所以；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍為，故選：C.【課后練習(xí)】1.已知函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，則滿(mǎn)足的的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【分析】因?yàn)椋傻?，即，所以，是上的增函?shù)，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】，，，，是上的增函數(shù)，又，，，.即故答案為：2.已知函數(shù)，若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，再根據(jù)曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，由求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，又因?yàn)榍€(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，解得，故答案為：3.已知過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)有且僅有1條，則實(shí)數(shù)的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或4【答案】C【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解切線(xiàn)方程，通過(guò)方程有兩個(gè)相等的解，推出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以，則切線(xiàn)方程為，切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，代入得，所以，即方程有兩個(gè)相等的解，則有，解得或，故選C．4.已知直線(xiàn)是函數(shù)圖像的一條切線(xiàn)，且關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)則切線(xiàn)方程為又直線(xiàn)是函數(shù)圖像的一條切線(xiàn)，切線(xiàn)過(guò)代入解得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為代入解得故，令，為的極大值又恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則故選5.．函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與函數(shù)的圖象也相切，則滿(mǎn)足條件的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)【答案】C【解析】試題分析:設(shè)切點(diǎn)分別為或,因,故,由此可得,切線(xiàn)方程分別為和.由題設(shè)可得,即,也即,由題意這個(gè)方程解的個(gè)數(shù)就是點(diǎn)的個(gè)數(shù).在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象可以看出兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的正根,故切點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè),應(yīng)選C.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.6.已知過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)：的切線(xiàn)有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得斜率，然后利用點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程，將點(diǎn)代入整理得，使得方程關(guān)于有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，求出，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.解：由題可知，曲線(xiàn)：，定義域?yàn)椋瑒t，設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)斜率為：，切線(xiàn)方程為：，將代入切線(xiàn)方程得：，又因?yàn)?，所以，整理得：，由于過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)：的切線(xiàn)有且僅有兩條，即有兩個(gè)解，可設(shè)，則，令，即，解得：，令，即，得：，所以時(shí)，單調(diào)遞減，令，即，得：，所以時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，即過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)：的切線(xiàn)有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.7.．已知函數(shù)，則和的公切線(xiàn)的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條【答案】A【解析】【分析】分別設(shè)出兩條曲線(xiàn)的切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等得到方程，構(gòu)造函數(shù)，研究方程的根的個(gè)數(shù)，即可得到切線(xiàn)的條數(shù).【詳解】設(shè)公切線(xiàn)與和分別相切于點(diǎn)，，解得，代入化簡(jiǎn)得