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山西省2025屆聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正方體的棱長為,,,分別是棱,,的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①;②直線與直線所成角為;③過,,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.2.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點(diǎn)在線段上,以為直徑的圓過點(diǎn).若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.3.已知為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.4.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個(gè)元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.5.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.6.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.7.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.8.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.9.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.10.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.411.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元12.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,當(dāng),,不共線時(shí),的面積的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到一個(gè)偶函數(shù)圖象,則________.14.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.15.若向量滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.16.設(shè)向量,,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個(gè)體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機(jī)變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機(jī)變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請(qǐng)你根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望(分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可).注:若,則,,.18.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過2.88萬元?說明你的理由.19.(12分)已知橢圓的上頂點(diǎn)為,圓與軸的正半軸交于點(diǎn),與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上,(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知點(diǎn),不過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),證明:直線與直線的斜率互為相反數(shù).20.(12分)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:.21.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.22.(10分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,是棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關(guān)點(diǎn)的線段,為的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線與直線所成角就是直線與直線所成角為;正確;過,,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點(diǎn),所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用,涉及空間幾何體的體積,直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.2.C【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定,根據(jù)勾股定理,得到之間的等量關(guān)系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè),,則.因?yàn)槠矫?,平面,所?又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡(jiǎn)得.在中,,.所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:C.本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,涉及線面垂直的判定和性質(zhì),屬中檔題.3.D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng),,時(shí),則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng),,時(shí),則,故不能作為的充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.6.B【解析】
由模長公式求解即可.【詳解】,當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以本題答案為B.本題考查向量的數(shù)量積,考查模長公式,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.7.C【解析】
先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.9.D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題11.D【解析】
設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示:設(shè),,,則,化簡(jiǎn)得,當(dāng)點(diǎn)到(軸)距離最大時(shí),的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)平移后關(guān)于軸對(duì)稱可知關(guān)于對(duì)稱,進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程,從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位長度后得到偶函數(shù)圖象,即關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱即:本題正確結(jié)果:本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠通過平移后的對(duì)稱軸得到原函數(shù)的對(duì)稱軸,進(jìn)而利用特殊值的方式來進(jìn)行求解.14.4【解析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二:因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用,難度較易.15.【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,解得答案.【詳解】,故,解得.故答案為:.本題考查了向量的數(shù)量積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16.【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算,以及向量的平方,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:且由所以故答案為:本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算,主要考查計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的,所以,代入數(shù)值運(yùn)算即可;(Ⅱ)可判斷均值應(yīng)為,再結(jié)合(1)和題干備注信息可得,進(jìn)而求解;(Ⅲ)求得,該分布符合二項(xiàng)分布,故,列出分布列,計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率,結(jié)合即可求解;【詳解】(Ⅰ)記這只蜻蜓的翼長為.因?yàn)榉N蜻蜓和種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量大致相等,所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于兩種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量相等,的方差也相等,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)設(shè)蜻蜓的翼長為,則.由題有,所以.因此的分布列為.本題考查正態(tài)分布基本量的求解,二項(xiàng)分布求解離散型隨機(jī)變量分布列和期望,屬于中檔題18.(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會(huì)超過;詳見解析【解析】
(1)利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元,可得:,,,E(Y)=02201480320(元),所以該企業(yè)7月、8月這兩個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過2.88萬元.本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬基礎(chǔ)題。19.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)條件可得,進(jìn)而得到,即可得到橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,分別表示出直線和直線斜率,相加利用根與系數(shù)關(guān)系即可得到.【詳解】解:(1)圓與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上,所以,又,,解得,故橢圓的方程為;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,整理可得,則,解得,設(shè)點(diǎn),,則,,所以,故直線與直線的斜率互為相反數(shù).本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及橢圓的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于中檔題.20.(1)(2)見解析【解析】
(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由,得到,再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,再利用放縮法證明不等式即可;【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算,放縮法證明數(shù)列不等式,屬于中檔題.21.(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn),要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn),考慮利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:22.(1)
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