【解析】湖北省黃岡市麻城市實驗高級中學(xué)高三下學(xué)期第六次模擬數(shù)學(xué)（文）試題

文科數(shù)學(xué)時間：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立即可得.【詳解】由，可得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的交集，考查學(xué)生運算求解能力與推理論證能力.，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求得，由此求得.【詳解】因為，所以.故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查運算求解能力.，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“分段法”比較出的大小關(guān)系.【詳解】因為，，，所以.故選：D【點睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.4.為實現(xiàn)國民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，國家加大了扶貧攻堅的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為.2015年開始，全面實施“精準(zhǔn)扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數(shù)占比（參加該項目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出2019年的年脫貧率，再與年以前的年均脫貧率相比即可.【詳解】由圖表得，2019年的年脫貧率為.所以年的年脫貧率是實施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的.故選：C【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)期望的實際應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的分析問題能力，屬于簡單題.P（﹣3，1），則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，再利用二倍角公式計算得到答案.【詳解】∵角α的終邊經(jīng)過點P（﹣3，1），∴cosα，則cos2α＝2cos2α﹣1＝21，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，二倍角公式，意在考查學(xué)生的計算能力.=1(a>0，b>0)的漸近線方程為y=±3x，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由漸近線求得，由雙曲線的離心率求得答案.【詳解】因為該雙曲線的漸近線方程為y=±3x，則，所以雙曲線的離心率故選：A【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，涉及雙曲線的漸近線方程，屬于簡單題.，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先設(shè)，，根據(jù)余弦定理得到，再根據(jù)圖形計算八卦田的面積即可.【詳解】如圖所示：設(shè)，.，解得：.因為.所以每塊八卦田的面積.故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，同時考查了正弦定理計算三角形面積，屬于中檔題.被直線截得的弦長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得直線恒過定點，當(dāng)時，弦長最小，結(jié)合勾股定理求得此時的弦長.【詳解】直線可化為，故直線恒過點.圓：的圓心為，半徑為當(dāng)直線垂直于直線時，截得的弦長最短，此時弦長.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線過定點，屬于基礎(chǔ)題.的圖象可能是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時，逐步分析到，顯然此時，觀察圖像即可選出答案.【詳解】當(dāng)時，，所以，即所以，所以所以當(dāng)時，，可排除ABC故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選函數(shù)圖象，屬于中檔題.中，角，所對的邊分別為，若，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化簡得到，根據(jù)余弦定理得到，再利用正弦定理得到，即.【詳解】因為，所以.因為為銳角三角形，所以，即.，即.因為，即，解得：.因為為銳角三角形，所以.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同時考查了三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.R上的增函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，故可得，，，逐一分析選項即可.【詳解】因為的圖像關(guān)于對稱，所以的圖像關(guān)于對稱，且是定義在R上的增函數(shù)，所以是在R上的奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，所以，所以對于A：，因為不一定等于1，所以不一定成立；對于B：，成立；對于C：，成立；對于D：，因為在R上為增函數(shù)，故，所以成立.故選A.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用，同時考查函數(shù)的平移變換，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.12.如圖，長方體中，、分別為棱、與平面的交點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在線段上取點使，連接、且，設(shè)，連接，由平面相交的性質(zhì)可得，利用三角形相似求得、，再利用三角形相似即可得解.【詳解】在線段上取點使，連接、且，設(shè)，連接，由、分別為棱、的中點易得，即面，由可知面，所以面面，又面，所以直線與平面的交點即為與的交點，取的中點，由可得，所以，由可得，所以，由可得，由可得.故選：A.【點睛】本題考查了平面的性質(zhì)和平面相交的性質(zhì)，考查了空間思維能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．，滿足，則向量的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】首先化簡得到，再計算即可得到.【詳解】，，解得.因為，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查向量夾角的計算，同時考查了向量數(shù)量積的運算，屬于簡單題.軸為曲線的切線，則的值為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)軸與曲線的切點為，由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程即可得解.【詳解】由題意，設(shè)軸與曲線的切點為，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.且，，若有最大值，則的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】先對分和討論，時，無最大值，不合題意，再分析時，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，故要使有最大值，則，求出的取值范圍即可.【詳解】若，由在單調(diào)遞增，無最大值；若，當(dāng)時，；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，則，若有最大值，則，得，則，即.故答案：.【點睛】本題考查了已知分段函函數(shù)的有最大值，求參數(shù)的范圍，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還考查了學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力，分類討論的思想，屬于中檔題.16.石雕工藝承載著幾千年的中國石雕文化，隨著科技的發(fā)展，機(jī)器雕刻產(chǎn)品越來越多．某石雕廠計劃利用一個圓柱形的石材（如圖1）雕刻制作一件工藝品（如圖2），該作品的上方是一個球體，下方是一個正四棱柱，經(jīng)測量，圓柱形石材的底面半徑米，高米，制作要求如下：首先需將石材切割為體積相等的兩部分（分別稱為圓柱A和圓柱B），要求切面與原石材的上、下底面平行（不考慮損耗），然后將圓柱A切割打磨為一個球體，將圓柱B切割打磨為一個長方體，則加工打磨后所得工藝品的體積的最大值為________立方米.【答案】【解析】【分析】要求加工打磨后所得工藝品的體積的最大值，只需上方的球與下方的長方體的體積同時取得最大值即可.【詳解】因為圓柱A和圓柱B的體積一樣大，所以它們的高一樣，即米，要使工藝品的體積最大，則上方的球與下方的長方體的體積同時取得最大值，設(shè)由圓柱A打磨的球體半徑為，則，即，所以，當(dāng)時，球的體積取得最大值，此時球體體積，設(shè)下方的長方體的底面邊長分別為，，要使長方體的體積最大，長方體的高與圓柱B的高相等，此時其體積，因為長方體為圓柱B的內(nèi)接長方體，即長方體的底面是圓柱底面的內(nèi)接長方形，所以長方形的對角線長等于圓柱底面的直徑，即，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以長方體體積的最大值為，所以所得工藝品的體積的最大值為(立方米).【點睛】本題主要考查球的體積計算和柱體的體積計算，關(guān)鍵是確定球的半徑，同時考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且．（1）求證：C，A，B成等差數(shù)列；（2）若的面積的最大值為，求外接圓的半徑.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用，結(jié)合正弦定理可得，再由余弦定理可得，再利用三角形內(nèi)角和定理求解.（2）由（1）知，得到，從而有，再根據(jù)的面積的最大值為，解得，然后利用正弦定理求解.【詳解】（1）因為，且，所以，即，由正弦定理可得，即，再由余弦定理可得，因為，所以，又，所以，即，所以C，A，B成等差數(shù)列．（2）由（1）知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，又面積的最大值為，所以，解得，設(shè)外接圓的半徑為，則，解得.所以外接圓的半徑為．【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理以及平面向量的數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18.孔子曰：溫故而知新.數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此.為了調(diào)查數(shù)學(xué)成績與及時復(fù)習(xí)之間的關(guān)系，某校志愿者展開了積極的調(diào)查活動：從高三年級640名學(xué)生中按系統(tǒng)抽樣抽取40名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，所得信息如下：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（人數(shù)）數(shù)學(xué)成績合格（人數(shù)）及時復(fù)習(xí)（人數(shù)）204不及時復(fù)習(xí)（人數(shù)）106（1）張軍是640名學(xué)生中的一名，他被抽中進(jìn)行問卷調(diào)查的概率是多少（用分?jǐn)?shù)作答）；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，運用獨立性檢驗的基本思想，研究數(shù)學(xué)成績與及時復(fù)習(xí)的相關(guān)性.參考公式：，其中為樣本容量臨界值表：【答案】（1）（2）有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與及時復(fù)習(xí)有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)概率定義直接求解即可；（2）根據(jù)列聯(lián)表，利用所給的公式求出的值，最后根據(jù)臨界表，做出判斷.【詳解】解析：（1）（2）由題可得如下列聯(lián)表優(yōu)秀合格合計及時復(fù)習(xí)20424不及時復(fù)習(xí)10616合計301040根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得隨機(jī)變量的觀測值，因為，所以有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與及時復(fù)習(xí)有關(guān).【點睛】本題考查了古典概型概率公式，考查利用對實際問題做出判斷，考查了數(shù)學(xué)運算能力.19.如圖，三棱錐中，側(cè)面是邊長為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉(zhuǎn)至平面的位置，記點旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點為（不在平面內(nèi)），、分別是、的中點.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接、，利用面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，可得出，利用勾股定理計算出，推導(dǎo)出是以為直角的直角三角形，再由中位線的性質(zhì)得出，由此可得出；（2）由的面積為定值，可知當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，連接、，推導(dǎo)出平面，計算出、以及的面積，然后利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接、，因為，是的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．因為為邊長為的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，，，，則，，所以為直角三角形，且，又、分別是、的中點，所以，所以；（2）如圖，連接、，因為三棱錐與三棱錐為同一個三棱錐，且的面積為定值，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時，則平面平面，，則，為的中點，則，平面平面，平面平面，平面，平面，此時點到平面的距離為，在中，因為，，所以，所以的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為．【點睛】本題考查利用線面垂直證明線線垂直，同時也考查了利用等體積法計算三棱錐體積的最值，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.過點且橢圓的短軸長為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知動直線過右焦點，且與橢圓分別交于軸上是否存在定點，使得，恒成立？若存在求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓性質(zhì)可知點代入即可求得結(jié)果.（Ⅱ）假設(shè)存在定點符合題意，①當(dāng)直線的斜率不存在時，由解得或；②當(dāng)直線的斜率為0時,解得或.由①②可得,然后證明當(dāng)時,通過方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理,坐標(biāo)表示即可證得結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）因為橢圓過點，所以.又橢圓的短軸長為，所以，所以，解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）假設(shè)在軸上存在定點，使得，①當(dāng)直線的斜率不存在時，則，，，由，解得或；②當(dāng)直線的斜率為0時，則，，，由，解得或.由①②可得，即點的坐標(biāo)為.下面證明當(dāng)時，恒成立，當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時，由①②知結(jié)論成立.當(dāng)直線斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為，，，由，得，直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點，一定與橢圓有兩個交點，且，.，所以.綜上所述，在軸上存在定點，使得恒成立..【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和橢圓位置關(guān)系中定點定值問題,難度較難.（1）當(dāng)時，取得極值，求的值并判斷是極大值點還是極小值點；（2）當(dāng)函數(shù)有兩個極值點且時，總有成立，求取值范圍．【答案】（Ⅰ），為極大值點（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點即可；（Ⅱ）求出函數(shù)極值點，問題轉(zhuǎn)化為[2lnx1]＞0，根據(jù)0＜x1＜1時，0.1＜x1＜2時，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通過討論t的范圍求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定t的范圍即可．【詳解】（Ⅰ），，則從而，所以時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)，所以為極大值點.（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，有兩個極值點，，則在上有兩個不等的正實根，所以，由可得從而問題轉(zhuǎn)化為在，且時成立.即證成立.即證即證亦即證.①令則1)當(dāng)時，，則在上為增函數(shù)且，①式在上不成立.2)當(dāng)時，若，即時，，所以在上為減函數(shù)且，、在區(qū)間及上同號，故①式成立.若，即時，的對稱軸，令，則時，，不合題意.綜上可知：滿足題意.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在曲線上取