考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷2（共131題）

考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷2（共4套）（共131題）考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則()．A、當(dāng)m＞n時(shí)，必有｜AB｜≠0B、當(dāng)m＞n時(shí)，必有｜AB｜=0C、當(dāng)n＞m時(shí)，必有｜AB｜≠0D、當(dāng)n＞m時(shí)，必有｜AB｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：AB為m階矩陣，因?yàn)閞(A)≤min{m，n}，r(B)≤rain{m，n}，且r(AB)≤rain(r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故當(dāng)m＞n時(shí)，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，選(B)．2、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1皆為可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1等于()．A、A+BB、A-1+B-1C、A(A+B)-1BD、(A+B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：A(A+B)-1B(A1+B1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以選(C)．3、設(shè)A，B都是n階可逆矩陣，則()．A、(A+B)*=A*+B*B、(AB)*=B*A*C、(A-B)*=A*-B*D、(A+B)*一定可逆標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)?AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A-1=B*A*，所以選(B)．4、設(shè)A為n階矩陣，k為常數(shù)，則(kA)*等于()．A、kA*B、knA*C、kn-1A*D、kn(n-1)A*標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)?kA)*的每個(gè)元素都是kA的代數(shù)余子式，而余子式為n-1階子式，所以(kA)*=kn-1A*，選(C)．5、設(shè)A為n階矩陣，A2=A，則下列成立的是()．A、A=OB、A=EC、若A不可逆，則A=OD、若A可逆，則A=E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳2=A，所以A(E-A)=O，由矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，則r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，選(D)．6、設(shè)A為m×n階矩陣，且r(A)=m＜n，則()．A、A的任意m個(gè)列向量都線性無關(guān)B、A的任意m階子式都不等于零C、非齊次線性方程組AX=b一定有無窮多個(gè)解D、矩陣A通過初等行變換一定可以化為(En：O)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：顯然由r(A)=m＜n，得r(A)==m＜n，所以方程組AX=b易有無窮多個(gè)解．選(C)．7、設(shè)P1=則m，n可取()．A、m=3，n=2B、m=3，n=5C、m=2，n=3D、m=2，n=2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：經(jīng)過了A的第1，2兩行對調(diào)與第1，3兩列對調(diào)，P1==P1AP2，則m=3，n=5，即選(B)．8、設(shè)A=則B-1為()．A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以B-1=，于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，選(C)．9、設(shè)P=，Q為三階非零矩陣，且PQ=O，則()．A、當(dāng)t=6時(shí)，r(Q)=1B、當(dāng)t=6時(shí)，r(Q)=2C、當(dāng)t≠6時(shí)，r(Q)=1D、當(dāng)t≠6時(shí)，r(Q)=2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)镼≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，當(dāng)t≠6時(shí)，r(P)≥2，則r(Q)≤1，于是r(Q)=1，選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)10、設(shè)A，B都是三階矩陣，A=，且滿足(A*)-1B=ABA+2A2，則B=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A=-3A-1，則(A*)-1B=ABA+2A2化為AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，則B=-6A(E+3A)-1，E+3A=11、設(shè)矩陣A，B滿足A*BA=2BA-8E，且A=，則B=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由A*BA=2BA-8E，得AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)-1=12、=_____標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：13、設(shè)A=，B為三階矩陣，r(B*)=1且AB=O，則t=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點(diǎn)解析：因?yàn)閞(B*)=1，所以r(B)=2，又因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤3，從而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．14、設(shè)A=，B≠O為三階矩陣，且BA=O，則r(B)=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因?yàn)閞(A)≥2，所以r(B)≤1，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)=1．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)設(shè)A=E=ααT，其中α為n維非零列向量．證明：15、A2=A的充分必要條件是α為單位向量；標(biāo)準(zhǔn)答案：令αTα=k，則A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+kααT，因?yàn)棣翞榉橇阆蛄?，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要條件是k=1，而αTα=｜α｜2，所以A2=A的充要條件是α為單位向量．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、當(dāng)α是單位向量時(shí)A為不可逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)α是單位向量時(shí)，由A2=A得r(A)+r(E-A)=n，因?yàn)镋-A=ααT≠O，所以r(E-A)≥1，于是r(A)≤n-1＜n，故A是不可逆矩陣．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)A為n階非奇異矩陣，α是n維列向量，b為常數(shù)，P=17、計(jì)算PQ；標(biāo)準(zhǔn)答案：PQ=知識點(diǎn)解析：暫無解析18、證明PQ可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜PQ｜=｜A｜2(b-αTA-1α)，PQ可逆的充分必要條件是｜PQ｜≠0，即αTA-1α≠b．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)矩陣A滿足(2E-C-1B)AT=C-1，且B=，求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(2E-C-1B)AT=C-1，得AT=(2E-C-1B)-1C-1=[C(2E-C-1B)]-11=(2C-B)-12C-B得AT=(2C-B)-1=知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)α，β是n維非零列向量，A=αβT+βαT．證明：r(A)≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)，而r(αβT)≤r(α)=1，r(βαT)≤r(B)=1，所以r(A)≤r(αβT)+r(βαT)≤2．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)α是n維單位列向量，A=E-ααT．證明：r(A)＜n．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+ααT.ααT，因?yàn)棣翞閱挝涣邢蛄浚驭罷α=1，于是A2=A．由A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n，又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E-A)=n．因?yàn)镋-A=ααT≠0，所以r(E-A)=r(ααT)=r(α)=1，故r(A)=n-1＜n．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A為n階矩陣，證明：r(A*)=，其中n≥2．標(biāo)準(zhǔn)答案：AA*=A*A=｜A｜E．當(dāng)r(A)=n時(shí)，｜A｜≠0，因?yàn)椋麬*｜=｜A｜n-1，所以｜A*｜≠0，從而r(A*)=n；當(dāng)r(A)=n-1時(shí)，由于A至少有一個(gè)n-1階子式不為零，所以存在一個(gè)Mij≠0，進(jìn)而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因?yàn)椋麬｜=0，所以AA*=｜A｜E=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)有r(A)+r(A*)≤n，而r(A)=n-1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)=1；當(dāng)r(A)＜n-1時(shí)，由于A的所有n-1階子式都為零，所以A*=O，故r(A*)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A為n階矩陣，證明：r(A)=1的充分必要條件是存在n維非零列向量α，β，使得A=αβT標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)r(A)=1，則A為非零矩陣且A的每行元素都成比例，令A(yù)=故A=αβT，顯然α，β為非零向量．設(shè)A=αβT，其中α，β為非零向量，則A為非零矩陣．于是r(A)≥1．又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A為n階矩陣且r(A)=n-1．證明：存在常數(shù)k，使得(A*)2=kA*．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)=n-1，所以r(A*)=1，于是A*=知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)A是n(n≥3)階矩陣，證明：(A*)*=｜A｜n-2A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(A*)*A*=｜A*｜E=｜A｜n-1E，當(dāng)r(A)=n時(shí)，r(A*)=n，A*=｜A｜A-1，則(A*)*A*=(A*)*｜A｜A-1=｜A｜n-1E，故(A*)*=｜A｜n-2A．當(dāng)r(A)=n-1時(shí)，｜A｜=0,r(A*)=1，r[(A*)*]=0，即(A*)*=O，原式顯然成立．當(dāng)r(A)＜n-1時(shí)，｜A｜=0，r(A*)=0，(A*)*=O，原式也成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)A，B分別為m×n及n×5階矩陣，且AB=O．證明：r(A)+r(B)≤n．標(biāo)準(zhǔn)答案：令B=(β1，β2，…，βs)，因?yàn)锳B=O，所以B的列向量組β1，β2，…，βs為方程組AX=0的一組解，而方程組AX=0的基礎(chǔ)解系所含的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)為n-r(A)，所以向量組β1，β2，…，βs的秩不超過n-r(A)，又因?yàn)榫仃嚨闹扰c其列向量組的秩相等，因此r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A為m×n階矩陣，B為n×m階矩陣，且m＞n，令r(AB)=r，則()．A、r＞mB、r=mC、r＜mD、r≥m標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：顯然AB為m階矩陣，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以選(C)．2、設(shè)A為四階非零矩陣，且r(A*)=1，則()．A、r(A)=1B、r(A)=2C、r(A)=3D、r(A)=4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閞(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，選(C)．3、設(shè)A，B都是n階矩陣，其中B是非零矩陣，且AB=O，則()．A、r(B)=nB、r(B)＜nC、A2-B2=(A+B)(A-B)D、｜A｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因?yàn)锽是非零矩陣，所以r(B)≥1，從而r(A)＜n，于是｜A｜=0，選(D)．4、設(shè)A，B分別為m階和n階可逆矩陣，則的逆矩陣為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：A，B都是可逆矩陣，因?yàn)?，選(D)．5、設(shè)A=則A，B的關(guān)系為()．A、B=P1P2AB、B=P2P1AC、B=P2AP1D、B=AP2P1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：P1=E12，P=E23(2)，顯然A首先將第2列的兩倍加到第3列，再將第1及第2列對調(diào)，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，選(D)．6、設(shè)A=，則()．A、B=P1AP2B、B=P2AP1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：顯然B=，所以應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、設(shè)A=，則A-1=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)8、設(shè)A=，則(A*)-1=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：｜A｜=10，因?yàn)锳*=｜A｜A-1，所以A*=10A-1，故(A*)-1=9、設(shè)A=，則(A-2E)-1=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：A-2E=而(A-2E：E)則(A-2E)-1=10、設(shè)n階矩陣A滿足A2+A=3E，則(A-3E)-1=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)11、設(shè)A==_____標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令A(yù)=(α1，α2，α3)，因?yàn)椋麬｜=2，所以A*A=｜A｜E=2｜E｜，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=12、設(shè)n維列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，B=E+ααT，且B為A的逆矩陣，則a=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點(diǎn)解析：由AB=(E-ααT)ααT-ααT-2aααT=E且ααT≠0，得-1-2a=0，解得a=-1．13、設(shè)三階矩陣A，B滿足關(guān)系A(chǔ)-1BA=6A+BA，且A=，則B=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，B=6(A-1-E)-1=614、設(shè)A是4×3階矩陣且r(A)=2，B=，則r(AB)=______標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因?yàn)椋麭｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．15、設(shè)A=，B為三階非零矩陣，且AB=O，則r(A)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)≥1，從而有r(A)≤2，顯然A有兩行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．16、P1==_________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：P1=三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)設(shè)n階矩陣A滿足A2+2A-3E=O．求：17、(A+2E)-1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2+2A-3E=O得A(A+2E)=3E，A．(A+2E)=E，根據(jù)逆矩陣的定義，有(A+2E)-1=知識點(diǎn)解析：暫無解析18、(A+4E)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2+2A-3E=O得(A+4E)(A-2E)+5E=O，則(A+4E)-1=(A-2E)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)A為n階矩陣，且Ak=O，求(E-A)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek-Ak=E，所以(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)A，B為n階矩陣，P=20、求P.Q；標(biāo)準(zhǔn)答案：PQ==｜A｜｜B｜E知識點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：當(dāng)P可逆時(shí)，Q也可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋黀｜=｜A｜｜B｜，所以當(dāng)P可逆時(shí)，｜A｜｜B｜≠0，而PQ=｜A｜｜B｜E，即PQ=E，于是Q可逆且Q-1=知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A為n階可逆矩陣，A2=｜A｜E．證明：A=A*．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳A*=｜A｜E，又已知A2=｜A｜E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A為n階矩陣，且A2-2A-8E=0．證明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2-2A-8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(4E-A)+r(2E+A)≤n．又r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E-A)+r(2E+A)=n．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、證明：若矩陣A可逆，則其逆矩陣必然唯一．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)存在可逆陣B，C，使得AB=AC=E，于是A(B-C)=O，故r(A)+r(B-C)≤n，因?yàn)锳可逆，所以r(A)=n，從而r(B-C)=0，B-C=O，于是B=C，即A的逆矩陣是唯一的．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)A是m×n階矩陣，若ATA=O，證明：A=O．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)=r(ATA)，而ATA=O，所以r(A)=0，于是A=O．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A是3階矩陣，將A的第2行加到第1行上得B，將B的第1列的一1倍加到第2列上得C．P＝，則C＝()．A、P-1Ap．B、PAP-1．C、pTAP．D、PAPT．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)A為3階矩陣，P＝(α1，α2，α3)為3階可逆矩陣，Q＝(α1＋α2，α2，α3)．已知pTAP＝，則QTAQ＝()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)A是3階可逆矩陣，交換A的1，2行得B，則A、交換A*的1，2行得到B*．B、交換A*的1，2列得到B*．C、交換A*的1，2行得到－B*．D、交換A*的1，2列得到－B*．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)A，B，C都是n階矩陣，滿足B＝E＋AB，C＝A＋CA，則B－C為A、E．B、－E．C、A．D、－A．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析5、A和B都是n階矩陣．給出下列條件①A是數(shù)量矩陣．②A和B都可逆．③(A＋B)2＝A2＋2AB＋B2．④AB＝cE．⑤(AB)2＝A2B2．則其中可推出AB＝BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：①和③的成立是明星的，②是不對的．④AB＝cE，在c≠0時(shí)可推出AB＝BA，但是c＝0時(shí)則推不出AB＝BA．如⑤(AB)2＝A2B2推不出AB＝BA．對于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩陣，但是AB≠BA．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、若A-1＝，則(3A)*＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)A＝不可逆，則χ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－5．知識點(diǎn)解析：A不可逆｜A｜＝0．而故χ＝4或χ＝－5．8、設(shè)A，B均為3階矩陣，且滿足AB＝2A＋B，其中A＝，則｜B－2E｜＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2．知識點(diǎn)解析：由AB－2A－B＋2E＝2E，有A(B－2E)－(B－2E)＝2E，則(A－E)(B－2E)＝2E．于是｜A－E｜.｜B－2E｜＝8，而｜A－E｜＝＝－4，所以｜B－2E｜＝－2．9、設(shè)A2－BA＝E，其中A＝，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由于BA＝A2－E，又A可逆，則有B＝(A2－E)A-1＝A－A-1．故10、設(shè)XA＝AT＋X，其中A＝，則X＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由XA－X＝AT有X(A－E)＝AT，因?yàn)锳可逆，知X與A－E均可逆．故X＝AT(A－E)-1＝11、已知A＝，矩陣X滿足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)12、設(shè)A，B和C都是n階矩陣，其中A，B可逆，求下列2n階矩陣的逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B都可逆，所以這幾個(gè)矩陣都可逆．(1)的逆矩陣可用初等變換法計(jì)算：(2)的逆矩陣也可用初等變換法計(jì)算：(3)的逆矩陣用“待定系數(shù)法”計(jì)算：即設(shè)它的逆矩陣為，求Dij由則BD21＝0，得D21＝0(因?yàn)锽可逆)．BD22＝E，得D22＝B-1．AD11＋CD21＝E，即AD11＝E，得D11＝A-1．AD12＋CD22＝0，得D12＝－A-1CB-1．(4)用(3)的方法，得知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)3階矩陣A＝，A-1XA＝XA＋2A，求X．標(biāo)準(zhǔn)答案：A-1XA＝XA＋2AA-1X＝X＋2EX＝AX＋2A(E－A)X＝2A，用初等變換法解此基本矩陣方程：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、矩陣A＝，求解矩陣方程2A＝XA－4X．標(biāo)準(zhǔn)答案：化2A＝XA－4X得X(A－4E)＝2A．用初等變換法解此矩陣方程：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、4階矩陣A，B滿足ABA-1＝BA-1＋3E，已知A*＝，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：用A右乘ABA-1＝BA-1＋3E的兩邊，得AB＋B＋3A；再用A*從左乘兩邊，得｜A｜B＝A*B＋3｜A｜E，由｜A*｜＝8，得｜A｜＝2，代入上式：(2E－A*)B＝6E．用初等變換法求B：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知，XA＋2B＝AB＋2X，求X2017．標(biāo)準(zhǔn)答案：由XA＋2B＝AB＋2X化得：X(A－2E)＝(A－2E)B，即X＝(A－2E)B(A－2E)-1，則X2017＝(A－2E)B2017(A－2E)-1＝(A－2E)B(A－2E)-1＝X．再從關(guān)于X的矩陣方程X(A－2E)＝(A－2E)B用初等變換法求解X：((A－2E)T｜B(A－2E)T)＝(AT－2E｜β(AT－2E))知識點(diǎn)解析：暫無解析17、已知，XA＝2X＋B，求Xβ．標(biāo)準(zhǔn)答案：先由XA＝2X＋B求出X，再求Xβ．XA＝2X＋BX(A－2E)＝B，Xβ＝(－1，6，－2)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)3階矩陣A的各行元素之和都為2，向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝=(2，－1，1)T都是齊次線性方程組AX＝0的解．求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：令α3＝(1，1，1)T，則Aα3＝(2，2，2)T，建立矩陣方程：A(α1，α2，α3)＝(0，0，2α3)，用初等變換法解得A＝知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)A是3階矩陣，交換A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q，使得C＝AQ．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用矩陣初等變換與初等矩陣的關(guān)系．得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A，B和C都是n階矩陣，其中A，B可逆，求下列2n階矩陣的伴隨矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B都可逆，所以這幾個(gè)矩陣都可逆．于是可利用公式A*＝｜A｜A-1來求伴隨矩陣．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是n階非零實(shí)矩陣，滿足A*＝AT．證明｜A｜＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：把條件A*＝AT寫出．則aij＝Aij，i，j．于是｜A｜＝由于A是實(shí)矩陣，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)都是3階矩陣．規(guī)定3階矩陣C＝證明C可逆的充分必要條件是A，B都可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：由矩陣乘法的定義可看出(或用乘法的分塊法則)C＝＝ATB．于是｜C｜＝｜A｜｜B｜＝｜A｜｜B｜．則｜C｜≠0｜A｜≠0并且｜B｜≠0即C可逆A，B都可逆．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A是n階實(shí)反對稱矩陣，證明E＋A可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)n是一個(gè)n維實(shí)向量，滿足(E＋A)η＝0，要證明η＝0．用ηT左乘上式，得ηT(E＋A)η＝0，即ηTη＝－ηTAη由于A是反對稱矩陣，ηTAη是一個(gè)數(shù)，ηTAη＝(ηTAη)T＝－ηTAη，因此ηTAη＝0于是ηTη＝0η是實(shí)向量，(η，η)＝ηTη＝0，從而η＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A，B都是n階矩陣，E－AB可逆．證明E－BA也可逆，并且(E－BA)-1＝E＋B(E－AB)-1A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E－BA)[E＋B(E－AB)-1A]＝(E－BA)＋(E－BA)B(E－AB)-1A＝(E－BA)＋(B－BAB)(E－AB)-1A＝(E－BA)＋B(E－AB)(E－AB)-1A＝E－BA＋BA＝E．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)A，B都是n階矩陣，證明E－AB可逆E－BA可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明一個(gè)更加強(qiáng)的事實(shí)：｜E－AB｜＝｜E－BA｜．記則｜HG｜＝｜E－BA｜，｜GH｜＝｜E－AB｜．又因?yàn)椋麲｜＝1，所以｜HG｜＝｜H｜｜G｜＝｜H｜：｜GH｜＝｜G｜｜H｜＝｜H｜．得｜E－AB｜＝｜E－BA｜．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)A，B是3階矩陣，A可逆，它們滿足2A-1B＝B－4E．證明A－2E可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：用A左乘2A-1B＝B－4E兩側(cè)得2B＝AB－4A．即(A－2E)B＝4A．由A可逆，得A－2E可逆．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)n階矩陣A，B滿足AB＝aA＋bB．其中ab≠0，證明(1)A－bE和B－aE都可逆．(2)AB＝BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A－bE和B－aE都可逆(A－bE)(B－aE)可逆．直接計(jì)算(A－bE)(B－AE)．(A－bE)(B－aE)＝AB－aA－bB＋abE＝abE．因?yàn)閍b≠0，得(A－bE)(B－aE)可逆．(2)利用等式(A－bE)(B－aE)＝abE，兩邊除以ab，得再兩邊乘ab，得(B－aE)(A－bE)＝abE，即BA－aA－bB＋abE＝abE．BA＝aA＋bB＝AB．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、A，B都是n階矩陣，并且B和E＋AB都可逆，證明：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1A．標(biāo)準(zhǔn)答案：對此等式進(jìn)行恒等變形：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1AB(E＋AB)＝B－B(E＋AB)-1AB(用B右乘等式兩邊)B(E＋AB)-1＋B(E＋AB)-1AB＝BB(E＋AB)-1(E＋AB)＝B．最后的等式顯然成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)A，B都是對稱矩陣，并且E＋AB可逆，證明(E＋AB)-1A是對稱矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E＋AB)-1A對稱，就是[(E＋AB)-1A]T＝(E＋AB)-1A．[(E＋AB)-1A]T＝A[(E＋AB)-1]T＝A[(E＋AB)T]-1＝A(E＋BA)-1．于是要證明的是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1．對此式作恒等變形：(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1A＝(E＋AB)A(E＋BA)-1(用E＋AB左乘等式兩邊)A(E＋BA)＝(E＋AB)A(用E＋BA右乘等式兩邊)．等式A(E＋BA)＝(E＋AB)A．顯然成立，于是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)A，B都是n階矩陣，使得A＋B可逆，證明B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊都加A(A＋B)-1A后，都等于A：B(A＋B)-1A＋A(A＋B)-1A＝(B＋A)(A＋B)-1A＝A．A(A＋B)-1B＋A(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1(B＋A)＝A．因此B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)A，B都是n階矩陣，并且A是可逆矩陣．證明：矩陣方程AX＝B和XA＝B的解相同AB＝BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：AX＝B的解為A-1B，XA＝B的解為BA-1．AX＝B和XA＝B的解相同即A-1B＝BA-1．作恒等變形：A-1B＝BA-1B＝ABA-1BA＝AB．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)A＝，求與A乘積可交換的所有矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：與A乘積可交換的矩陣一定是2階矩陣．AX＝XA即：aχ1＋χ3＝aχ1＋χ2．a(chǎn)χ2＋χ4＝χ1，χ1＝aχ3＋χ4，χ2＝χ3，整理得χ1，χ2，χ3，χ4的齊次線性方程組解得通解為c1(0，1，1，0)T＋c2(1，0，O，1)T，c1，c2任意．則與A乘積可交換的矩陣的一般形式為c1A＋c2E，c1，c2任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、(1)設(shè)A是對角矩陣，并且對角線上元素兩兩不相等．證明和A乘積可交換的一定是對角矩陣．(2)n階矩陣C如果和任何n階矩陣乘積可交換，則C必是數(shù)量矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)B和A乘積可交換，要證明B是對角矩陣，即要說明B的對角線外的元素bij(i≠j)都為0．設(shè)A的對角線元素為λ1，λ2，…，λn．則AB的(i，j)位元素為λibij，而BA的(i，j)位元素為λibij因?yàn)锳B＝BA，得aibij＝λjbij，因?yàn)棣薸≠λj，所以bij＝0．(2)先說明C一定是對角矩陣．由于C與對角線上元素兩兩不相等的n階對角矩陣乘積可交換，由(1)的結(jié)論得出C是對角矩陣．再說明C的對角線元素c11，c22，…，cnn都相等．構(gòu)造n階矩陣A，使得其(i，j)位元素為1，i≠j，則CA的(i，j)位元素為cij，AC的(i，j)位元素為cjj．于是cii＝cjj．這里的i，j是任意的，從而．c11＝c22＝…＝cnn．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A、B、A＋B、A-1＋B-1均為n階可逆方陣，則(A-1＋B-1)-1等于【】A、A-1＋B-1B、A＋BC、A(A＋B)-1BD、(A＋B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)n維行向量α＝，矩陣A＝I－αTα，B＝I＋2αTα，其中I為n階單位矩陣，則AB＝【】A、0B、－IC、ID、I＋αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)n階方陣A、B、C滿足關(guān)系式ABC＝E，則成立【】A、ACB＝EB、CBA＝EC、RAC＝ED、BCA＝E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為A*，且｜A｜＝a≠0，則｜A*｜＝【】A、aB、C、an-1D、an標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)則成立【】A、AP1P2＝BB、AP2P1＝BC、P1P2A＝BD、P2P1A＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)三階矩陣A＝若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有【】A、a＝b或a＋2b＝0．B、a＝b或a＋2b≠0．C、a≠b且a＋2b＝0．D、a≠b且a＋2b≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析7、已知矩陣A相似于矩陣B＝則秩(A－2E)與秩(A－E)之和等于【】A、2B、3C、4D、5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)矩陣A＝(aij)3×3滿足A*＝AT，若a11，a12，a13為三個(gè)相等的正數(shù)，則a11等于【】A、B、3C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、設(shè)，則鐵(AB)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識點(diǎn)解析：因B為滿足秩方陣，故秩(AB)＝秩(A)＝2．10、設(shè)A＝，B≠O，滿足BA＝O,則t＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3．知識點(diǎn)解析：由BA＝O及B≠O，｜A｜＝0，t＝－3．11、設(shè)A＝矩陣B滿足A2－AB＝2B＋4E，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：B＝(A＋2E)-1(A2－4E)＝(A＋2E)-1(A＋2E)(A－2E)＝A－2E＝12、設(shè)n(n≥3)階方陣A＝的秩為n－1，則a＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：r(A)＝n－1，｜A｜＝[1＋(n－1)a](1－a)n-1＝0，或a＝1，而當(dāng)a＝1時(shí)有r(A)＝1≠n－1，故必有a＝13、設(shè)A＝的伴隨矩陣為A*，且A*BA＝2BA－8E，則矩陣B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：兩端右乘A-1，得A*B＝2B－8A-1，兩端左乘A并利用AA*＝｜A｜E＝－2E，得－2B＝2AB－8E，14、設(shè)A＝，n≥2為正整數(shù)，則An－2An-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：O．知識點(diǎn)解析：A2＝2A，故An－2An-1＝An-2(A2－2A)＝O．15、設(shè)4階方陣A的秩為2，則A的伴隨矩陣A*的秩為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：r(A*)＝0．知識點(diǎn)解析：r(A4×4)＝2A中3階子式、即每個(gè)元素的余子式均為零A*＝O，故r(A*)＝0．16、設(shè)n階方陣A、B的行列式分別為｜A｜＝2，｜B｜＝－3，A*為A的伴隨矩陣，則行列式｜2A*B-1｜＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：｜2A*B-1｜＝2｜A*｜｜B-1｜＝2n｜A｜n-1｜B｜-1＝．17、設(shè)A＝，則(A－2E)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：可利用分塊對角陣求逆法，得19、設(shè)A＝其中ai≠0，bi≠0(i＝1，2，…，n)，則秩(A)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1．知識點(diǎn)解析：將A的第1行的倍加到第i行(i＝2，3，…，n)所得矩陣僅有第1行非零，秩(A)＝1．或由A＝αβ，其中α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)，及A≠O，得1≤r(A)＝r(αβ)≤r(α)＝1，r(A)20、設(shè)A、B為3階方陣且A-1BA＝6A＋BA，則矩陣B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：用A-1右乘題給等式兩端，再用A左乘兩端，得21、設(shè)矩陣A滿足A2＋A－4E＝O，其中E為單位矩陣，則(A－E)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(A＋2E)知識點(diǎn)解析：O＝A2＋A－4E＝(A－E)(A＋2E)＋2E－4E＝(A－E)(A＋2E)－2E，22、設(shè)n維向量α＝(a，0，…，0，a)T，a＜0；E為n階單位矩陣，矩陣A＝E－ααT，B＝E＋ααT，其中A的逆矩陣為B，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1．知識點(diǎn)解析：aTα＝2a2，23、設(shè)A、B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB＝2A＋B，B＝，則(A－E)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：AB－B－2A＝O，(A—E)B－2(A－E)－2E＝O，(A－E)(B－2E)＝2E，24、設(shè)3階方陣A按列分塊為A＝[α1α2α3]，已知秩(A)＝3，則3階方陣B＝[α1＋2α2＋α32α1＋(2－a)α2＋3α33α1＋3α2]的秩＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：25、設(shè)矩陣則B的伴隨矩陣B*＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：26、設(shè)A＝，B＝P-1AP其中P為3階可逆矩陣，則B2004－2A2＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由于A2＝，A3＝(A2)2＝E，A2004)＝(A4)501＝E501＝E，故B2004－2A2＝P-1A2004P－2A227、設(shè)A＝(aij)3×3是實(shí)正交矩陣，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，則線性方程組Aχ＝b的解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由于正交矩陣的行(列)向量組均為正交單位向量組，故A＝，又A-1＝AT，故方程組Aχ＝b的解為χ＝A-1b＝ATb＝28、已知α1，α2均為2維向量，矩陣A＝[2α1＋α2，α1－α2]，β＝[α1，α2]，若行列式｜A｜＝6，則｜B｜＝_______，標(biāo)準(zhǔn)答案：－2．知識點(diǎn)解析：A＝[2α1＋α2，α1－α2]＝[α1，α2]，兩端取行列式，得｜A｜＝｜B｜(－3)，因｜A｜＝6，得｜B｜＝－2．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)29、設(shè)B是元素全為1的，n階方陣(n≥2)，證明：(E－B)-1＝E－B標(biāo)準(zhǔn)答案：其中B＝2＝nB知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)A、B都是n階方陣，且A2＝E，B2－E，｜A｜＋｜B｜＝0，證明：｜A＋B｜＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件得｜A｜2＝1，｜B｜2＝1｜A｜＝±1，｜B｜＝±1，又｜A｜＝－｜B｜｜A｜｜B｜＝－1，故｜A＋B｜＝｜AE＋EB｜＝｜AB2＋A2B｜＝｜A(B＋A)B｜＝｜A｜｜B＋A｜｜B｜＝－｜A＋B｜｜A＋B｜＝0知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)A為n階方陣且AAT＝E，｜A｜＜0，求｜A＋E｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜A＋E｜＝｜A＋AAT｜＝｜A(E＋AT)｜＝｜A｜｜(E＋AT)T｜＝｜A｜｜E＋A｜＝｜A｜｜E＋A｜(1－｜A｜)｜A＋E｜＝0，又1－｜A｜＞0｜A＋E｜＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)A＝矩陣B滿足AB＝A＋2B，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：B＝(A－2E)-1A＝知識點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)AP＝PB，其中求A及A5．標(biāo)準(zhǔn)答案：A5＝(PBP-1)(PBP-1)…(PBP-1)＝PB5P-1＝PBP-1＝A知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)4階方陣A滿足A(E－C-1)TCT＝E，化簡上述關(guān)系式并求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：A(C－B)T＝E，A＝[(C－B)T]-1＝知識點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)n階非零實(shí)方陣A的伴隨矩陣為A*，且A*＝AT．證明｜A｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：AAT＝AA*＝｜A｜E，若｜A｜＝0，則得AAT＝O，其(i，i)元素為aik＝0(i，k＝1，2，…，n)A＝O，這與A≠O矛盾．知識點(diǎn)解析：暫無解析36