山西省呂梁市孝義市2022年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于（）A． B．1 C． D．2．命題：存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；④當(dāng)時(shí)，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．44．函數(shù)滿足對(duì)任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．15．如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn)，且，，則（）A． B．C． D．6．設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對(duì)一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域?yàn)镃．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．9．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則,，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平，實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都有一位老教師指導(dǎo)，現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有（）種.A．360 B．240 C．150 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是__________14．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（，）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.15．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷(xiāo)售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_________.16．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)軸上的定點(diǎn).18．（12分）（江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行于軸的動(dòng)直線交拋物線：于點(diǎn)，點(diǎn)為的焦點(diǎn).圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線相切于點(diǎn)，過(guò)且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點(diǎn)，.當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，求的值.19．（12分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng).20．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的求值范圍．21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的極值；（2）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）22．（10分）已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點(diǎn)，可得∴焦點(diǎn)為，即焦點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為，，，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).2．A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于命題，由于，所以命題為真命題.對(duì)于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

逐一分析選項(xiàng)，①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件，則極值點(diǎn)必在區(qū)間；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，正確．②由題意知．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或．因?yàn)椋?，所以最大值?4，結(jié)論錯(cuò)誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.4．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可得為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù)，利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為上的奇函數(shù).由可得，故，故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)椋?因?yàn)?，故，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數(shù)滿足，那么是周期為的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.5．D【解析】

連接，根據(jù)題目，證明出四邊形為平行四邊形，然后，利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接，由，知，四邊形為平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題6．A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問(wèn)題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.7．D【解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】可得對(duì)于A，的最小正周期為,故A正確；對(duì)于B，由，可得，故B正確；對(duì)于C，正弦函數(shù)對(duì)稱軸可得：解得：，當(dāng)，，故C正確；對(duì)于D，正弦函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為：解得：若圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則解得：，故D錯(cuò)誤；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.9．B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

陽(yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù)，最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：個(gè)，滿足差的絕對(duì)值為5的有：共個(gè)，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算，難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式：.11．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】依題意得，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，即，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對(duì)的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.12．C【解析】

可分成兩類，一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，其他一新一老結(jié)對(duì)，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，一個(gè)老教師帶一個(gè)新教師，分別計(jì)算后相加即可．【詳解】分成兩類，一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，有種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，有．∴共有結(jié)對(duì)方式60＋90＝150種．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用．解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情，是先分類還是先分步，確定方法后再計(jì)數(shù)．本題中有一個(gè)平均分組問(wèn)題．計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò)．兩組中每組中人數(shù)都是2，因此方法數(shù)為．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-20【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，再分情況考慮即可求解．【詳解】解：展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式由通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)是，當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)是，故的系數(shù)為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題．14．2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點(diǎn)可得，再由雙曲線的性質(zhì)可得，解出即得.【詳解】由題，設(shè)點(diǎn)，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是?？碱}型.15．360【解析】

先計(jì)算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過(guò)0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.16．（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問(wèn)題，即可求得.【詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問(wèn)題，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）或；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，而點(diǎn)在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率；（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線的方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）由條件可知直線的斜率存在，則可設(shè)直線的方程為，則，由，有，所以，由在橢圓上，則，解得，此時(shí)在橢圓內(nèi)部，所以滿足直線與橢圓相交，故所求直線方程為或.（也可聯(lián)立直線與橢圓方程，由驗(yàn)證）（2）設(shè)，則，直線的方程為.由得，由，解得，，當(dāng)時(shí)，，故直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，屬于難題.18．(1)．(2)見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到軌跡方程；（2）設(shè)，，，，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值.解析：（1）因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)閳A與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點(diǎn)，則直線的方程為，即，所以，又，所以，即，所以的方程為．（2）設(shè)，，，由（1）知，點(diǎn)處的切線的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，即取得最小值，此時(shí)．點(diǎn)睛：求軌跡方程，一般是問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對(duì)于直線與曲線的綜合問(wèn)題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式，例如，可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來(lái)理解，然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計(jì)算一定要仔細(xì).19．（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴，所以或.當(dāng)，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.20．（1）或；（2）．【解析】

（1）通過(guò)討論的范圍，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)問(wèn)題解決，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】（1）有題不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因?yàn)?，所以若函?shù)存在零點(diǎn)則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減，且.數(shù)形結(jié)合可知．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分類討論求絕對(duì)值不等式的解集，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)解決，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.21．（1）見(jiàn)解析；（1）見(jiàn)證明【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根據(jù)xlnx≤x（x﹣1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x＞0時(shí)，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】（1），，當(dāng)，，當(dāng)，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無(wú)極大值.（1）要證f（x）+1＜ex﹣x1．即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，先證明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）＝，易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”，故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，故只需證明當(dāng)x＞0時(shí)，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1