新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章 第11講 高考難點(diǎn)突破三 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（最值、范圍問(wèn)題） 精講（教師版）

第11講高考難點(diǎn)突破三：圓錐曲線的綜合問(wèn)題（最值、范圍問(wèn)題）(精講）目錄第一部分：典型例題剖析題型一：橢圓中的最值、范圍問(wèn)題角度1：橢圓中最值問(wèn)題角度2：橢圓中參數(shù)范圍問(wèn)題題型二：雙曲線中的最值、范圍問(wèn)題角度1：雙曲線中最值問(wèn)題角度2：雙曲線中參數(shù)范圍問(wèn)題題型三：拋物線中的最值、范圍問(wèn)題角度1：拋物線中最值問(wèn)題角度2：拋物線中參數(shù)范圍問(wèn)題題型一：橢圓中的最值、范圍問(wèn)題角度1：橢圓中最值問(wèn)題典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0.求四邊形面積的最小值.【答案】SKIPIF1<0.當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0存在且不為0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，由弦長(zhǎng)公式可得SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0,故SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0所以四邊形的面積為SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率不存在或者為0時(shí)，此時(shí)四邊形的面積為SKIPIF1<0∴四邊形面積的最小值為SKIPIF1<0.例題2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓E上.(1)求橢圓SKIPIF1<0的離心率；(2)過(guò)左焦點(diǎn)SKIPIF1<0且不垂直于坐標(biāo)軸的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為原點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0取最大值時(shí)直線SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入橢圓方程，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)解：設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，從而點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大值為3.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)，直線l的方程為SKIPIF1<0.例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過(guò)橢圓SKIPIF1<0右焦點(diǎn)并垂直于SKIPIF1<0軸的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（點(diǎn)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸上方）兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0異于點(diǎn)SKIPIF1<0）兩點(diǎn)，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題意可得SKIPIF1<0，∴由題意可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓的方程為：SKIPIF1<0．(2)解法1：由（1）可得SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0沒(méi)有斜率時(shí)，設(shè)方程為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），此時(shí)P到直線l的距離為SKIPIF1<0設(shè)直線l有斜率時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)其方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立可得SKIPIF1<0且整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線方程為：SKIPIF1<0，直線恒過(guò)SKIPIF1<0，與P點(diǎn)重合，若SKIPIF1<0，則直線方程為：SKIPIF1<0，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，∴P到直線l的距離的最大值為SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值SKIPIF1<0．解法2：公共點(diǎn)SKIPIF1<0，左移1個(gè)單位，下移SKIPIF1<0個(gè)單位，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等式兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0，右移1個(gè)單位，上移SKIPIF1<0個(gè)單位，過(guò)SKIPIF1<0，∴P到直線l的距離的最大值為SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值SKIPIF1<0．同類題型歸類練1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有相同的焦點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求橢圓的方程；(2)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有相同的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓的方程為：SKIPIF1<0.(2)由（1）可知SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.顯然SKIPIF1<0的斜率不為0.設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào),SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.2．（2022·江蘇·高二）已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左，右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓C上，且滿足SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)（M，N兩點(diǎn)異于P點(diǎn)），且PM⊥PN，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因?yàn)闄E圓的離心率為SKIPIF1<0，又點(diǎn)Q在橢圓C上，且滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程為：SKIPIF1<0；(2)由題意知，直線l的斜率不為0，則不妨設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0．聯(lián)立得SKIPIF1<0，消去x得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理，得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵PM⊥PN，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴直線l的方程為SKIPIF1<0，則直線l恒過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．3．（2022·四川·綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面上一動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到兩定點(diǎn)的距離之和為SKIPIF1<0．(1)求動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線，分別與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)因?yàn)镾KIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡是以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以軌跡方程為SKIPIF1<0；(2)當(dāng)一條直線斜率不存在時(shí)，SKIPIF1<0代入橢圓方程得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此弦長(zhǎng)SKIPIF1<0，另一直線斜率為0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．角度2：橢圓中參數(shù)范圍問(wèn)題典型例題例題1．（2022·四川遂寧·三模（文））已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，離心率SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0軸的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0；過(guò)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與C交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)．(1)求SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，若存在點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題意可得：過(guò)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0軸的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.(2)由（1）可知：SKIPIF1<0.可設(shè)直線PQ:SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，消去y，可得：SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0在橢圓內(nèi)，所以直線PQ與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，.SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.直線PQ的方向向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸不垂直的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.(1)由題意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線l為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以m的取值范圍為SKIPIF1<0．例題3．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其右焦點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為銳角，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0為橢圓的左焦點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，由橢圓的對(duì)稱性可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0．(2)設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.同類題型歸類練1．（2022·上海市建平中學(xué)高二期末）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，焦點(diǎn)為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，過(guò)x軸上的一點(diǎn)M（m，0）（SKIPIF1<0）作直線l交橢圓于A?B兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，①求多邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)；②求SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0的表達(dá)式；(2)是否存在與x軸不重合的直線l，使得SKIPIF1<0成立？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）①由橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓的定義知，多邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為：SKIPIF1<0.②設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，②當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0.（2）存在直線l，使得SKIPIF1<0成立.理由如下：設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，恒成立，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是SKIPIF1<0.2．（2022·北京東城·三模）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0.過(guò)右焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓C于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0分別交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)線段SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸異側(cè)時(shí)，求SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題可知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.故橢圓C的方程為SKIPIF1<0.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，T到直線SKIPIF1<0的距離為1.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0消y，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0及題意，可得SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0.因?yàn)辄c(diǎn)M，N位于x軸異側(cè)，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.線段SKIPIF1<0中點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，則SKIPIF1<0.T到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.綜上，T到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍為SKIPIF1<0.3．（2022·安徽省臨泉第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0分別是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓C：SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0是橢圓C的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于SKIPIF1<0的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且直線SKIPIF1<0與OM的斜率的積恒為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且不與坐標(biāo)軸垂直的直線SKIPIF1<0交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍是SKIPIF1<0，求線段AB長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由已知，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0.(2)設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0.由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以線段AB的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由已知條件得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0題型二：雙曲線中的最值、范圍問(wèn)題角度1：雙曲線中最值問(wèn)題典型例題例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，虛軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0，兩準(zhǔn)線間的距離為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，已知SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到動(dòng)直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：依題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線方程為SKIPIF1<0(2)解：由（1）可知SKIPIF1<0，依題意可知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為4.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0上的一點(diǎn)SKIPIF1<0,且與SKIPIF1<0的漸近線相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別位于第一、第二象限，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1(1)由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足上式，所以C的方程為SKIPIF1<0.(2)由（1）可知，曲線C的漸近線方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，把①代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0②，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值是1.例題3．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn).①求證：點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)的積為定值；②求△SKIPIF1<0周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)①證明見(jiàn)解析；②6.(1)設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.(2)①當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別相交知：直線SKIPIF1<0與雙曲線的漸近線不平行，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的漸近線為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，綜上，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)的積為定值3.②法1：由①，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以△SKIPIF1<0周長(zhǎng)的最小值為6.法2：由①SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以△SKIPIF1<0的周長(zhǎng)的最小值為6.同類題型歸類練1．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線PA與C交于A，M，直線PB與C交于B，N，求點(diǎn)B到直線MN的距離的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1(1)由題意得SKIPIF1<0．設(shè)雙曲線C的焦距為2c，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0，則直線PA的方程為：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€PA與C交于A，M，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€PB的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€PB與C交于B，N，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線MN的方程為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以直線MN過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)B到直線MN的距離取得最大值為1．2．（2022·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）已知曲線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左?右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)8(1)解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的雙曲線，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為SKIPIF1<0，故曲線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；(2)解：由題意可得直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值8.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中原點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心），過(guò)雙曲線SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0引圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）若雙曲線SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求雙曲線離心率SKIPIF1<0的取值范圍；（2）求直線SKIPIF1<0的方程；（3）求三角形SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0及圓的性質(zhì)，可知四邊形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故雙曲線離心率SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．因?yàn)閳ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0兩圓的公共弦所在的直線即為直線SKIPIF1<0，所以聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（3）由（2）知，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．綜上可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．角度2：雙曲線中參數(shù)范圍問(wèn)題典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0第一象限SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上取滿足SKIPIF1<0的部分．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與x軸交點(diǎn)記作點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且在第一象限，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（3）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0只有兩個(gè)交點(diǎn)，記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）由SKIPIF1<0，點(diǎn)A為曲線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的交點(diǎn)，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；（3）設(shè)直線SKIPIF1<0，可得原點(diǎn)O到直線l的距離SKIPIF1<0，所以直線l是圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，所以SKIPIF1<0，并設(shè)SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0聯(lián)立，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，注意直線l與雙曲線的斜率為負(fù)的漸近線平行，所以只有當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線l才能與曲線SKIPIF1<0有兩個(gè)交點(diǎn)，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0舍去SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．例題2．（20