2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題39填空題的解法含解析

PAGEPAGE1專題39填空題的解法一、題型特點(diǎn)近幾年來，在新課標(biāo)全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)試題中選擇題始終是12道題，填空題始終是4道題，所占分值為80分，約占數(shù)學(xué)試題總分?jǐn)?shù)的53%.且在高考題中屬于中低難度的試題，僅有個(gè)別題屬于較高難度試題，在一般的狀況下分別按由易到難的依次排列，在高考數(shù)學(xué)中選擇題和填空題是一種只要求得到結(jié)果，不要求寫出解答過程的試題．具有概括性強(qiáng)、小巧敏捷、學(xué)問覆蓋面廣，其中融入多種數(shù)學(xué)思想和方法等特點(diǎn)，可以有效地檢驗(yàn)考生的數(shù)學(xué)思維層次及分析問題、推斷問題、推理問題和解決問題的實(shí)力．二、解題思路做選填題的步驟為：1．首先，審題．能很好的把數(shù)學(xué)的三種語言(文字語言、圖形語言、數(shù)字符號語言)之間快速轉(zhuǎn)化并發(fā)掘題目中的隱含條件，要去偽存真，快速領(lǐng)悟題目的真正含義．2．其次，要留意選填題的解題技巧．小題小做、巧做，簡潔做，要多用數(shù)形結(jié)合、特別值法等技巧，節(jié)約時(shí)間．3．最終，細(xì)致檢查答卷不能有漏填的現(xiàn)象(遇到不會做的，也不要空著不做，確定要寫一個(gè)答案)，不能有把答案抄錯(cuò)的現(xiàn)象．三、解題方法與技巧(一)干脆演繹法所謂干脆演繹法，就是干脆從題設(shè)條件動(dòng)身，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等學(xué)問，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，干脆得到結(jié)果．例1(2015課標(biāo)全國Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________【解析】由題意知，圓過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)(4，0)，(0，2)，(0，－2)，設(shè)圓心為(a，0)，其中a>0，由4－a＝eq\r(a2＋4)，解得a＝eq\f(3,2)，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)【反思】干脆演繹法是解選擇填空題最基本的方法，涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡潔的題目，充分挖掘題設(shè)條件，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，正確的運(yùn)算必能得出正確的答案．因此，學(xué)會嫻熟運(yùn)用基本學(xué)問，并能快速分析題目，抓住主干，吃透題意是用干脆演繹法解題的不二法寶．(二)特例(值)法所謂特例(值)法，就是利用滿意題設(shè)條件的一些特別數(shù)值、特別函數(shù)、特別方程、特別數(shù)列、特別點(diǎn)、特別角、特別圖形、特別位置等進(jìn)行求解，從而得出正確答案． 例2(2015課標(biāo)全國Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________．【反思】特例(值)法是高考數(shù)學(xué)解選擇填空題的最佳方法，能降低解題難度，提高解題效率．當(dāng)正確的選擇對象，在題設(shè)普遍條件下都成立的狀況下，用特例(值)法(取得越簡潔越好)進(jìn)行探究，從而清楚、快捷地得到正確答案，即通過對特別狀況的探討來推斷一般規(guī)律．(三)極限化法在一些選擇填空題中，有一些隨意選取或者改變的元素，我們對這些元素的改變趨勢進(jìn)行探討，分析它們的極限狀況或者極端位置，并進(jìn)行計(jì)算，以此來推斷結(jié)果．這種通過動(dòng)態(tài)改變，或?qū)O端取值來解選擇填空的策略是一種極限化法．例3(2015課標(biāo)全國Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是__________．【反思】用極限化法是解選擇填空題的一種有效方法，也是在選擇填空題中避開“小題大做”的有效途徑．它依據(jù)題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小做題難度，計(jì)算簡便，能快速得到答案．(四)數(shù)形結(jié)合法所謂數(shù)形結(jié)合法是把抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)輔形”，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來探討和解決數(shù)學(xué)問題．例4(2015課標(biāo)全國Ⅰ)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))則eq\f(y,x)的最大值為______【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，在點(diǎn)A(1，3)處，eq\f(y,x)取得最大值3.【反思】“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的重要基石，二者在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在確定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，假如在解答選擇填空題的過程中能夠很好的運(yùn)用這一數(shù)學(xué)解題中最重要的方法之一，就能夠使困難的問題簡潔化，抽象的問題詳細(xì)化，進(jìn)而簡化解題過程，從而達(dá)到事半功倍的效果．(五)構(gòu)造法所謂構(gòu)造法就是依據(jù)某些數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對象、一種新的數(shù)學(xué)形式；或者利用詳細(xì)問題的特別性，為待解決的問題設(shè)置一個(gè)框架，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法． 例5如圖，已知球O的球面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于________．【解析】eq\r(6)π如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CD))＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.【反思】構(gòu)造法是一種創(chuàng)建性思維，是綜合運(yùn)用各種學(xué)問和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法．四．題型演練1．若數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，則______．【答案】【方法總結(jié)】：本題主要考查的學(xué)問點(diǎn)是數(shù)列的概念及簡潔表示法。通過已知的條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后化簡所求的數(shù)列的各項(xiàng)，最終再利用等差數(shù)列求出數(shù)列的和。2．在中，是線段的中點(diǎn)，，，則__________．【答案】【解析】設(shè)，則，3．在平面上，，且，．若，則的取值范圍是____________________．【答案】.【解析】分別以、為、軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得.設(shè)，由得，，兩式相加得，即，于是，又，故，即的取值范圍是.4．在的綻開式中，的系數(shù)為______(用數(shù)字作答)．【答案】31【解析】綻開式中含有的項(xiàng)有：五項(xiàng)，的系數(shù)為.5．在中，內(nèi)角所對的邊分別為,已知，且，則面積的最大值為________．【答案】.6．甲、乙、丙三名同學(xué)參與某高校組織的自主招生考試的初試，考試成果采納等級制（分為三個(gè)層次），得的同學(xué)干脆進(jìn)入其次輪考試．從評委處得知，三名同學(xué)中只有一人獲得．三名同學(xué)預(yù)料誰能干脆進(jìn)入其次輪競賽如下：甲說：看丙的狀態(tài)，他只能得或；乙說：我確定得；丙說：今日我的確沒有發(fā)揮好，我贊同甲的預(yù)料．事實(shí)證明：在這三名同學(xué)中，只有一人的預(yù)料不精確，那么得的同學(xué)是_____．【答案】甲.【解析】若得的同學(xué)是甲，則甲、丙預(yù)料都精確，乙預(yù)料不精確，符合題意；若得的同學(xué)是乙，則甲、乙、丙預(yù)料都精確，不符合題意；若得的同學(xué)是丙，則甲、乙、丙預(yù)料都不精確，不符合題意。綜上，得的同學(xué)是甲.7．已知實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最小值是_____．【答案】.【解析】約束條件表示的平面區(qū)域?yàn)榉忾]的三角形，求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，帶入所得值分別為、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距取得最大值，此時(shí)取得最小值，為.【方法總結(jié)】：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.須要留意的是：一、精確無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要留意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避開出錯(cuò)；三、一般狀況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.8．已知點(diǎn)圓上,點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),則的最大值為_________.【答案】7【方法總結(jié)】：本題考查橢圓、圓的方程、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的實(shí)力，考查計(jì)算實(shí)力以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題；求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出，兩點(diǎn)間的最大距離.9．已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.【答案】【解析】由函數(shù)可得，，∴即切線的斜率，∴切線方程為，故答案為.【方法總結(jié)】：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處切線的斜率，切線方程的求法，考查計(jì)算實(shí)力；我們在解答這類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；其次告知的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的狀況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來.10．已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,則直線與曲線的位置關(guān)系是_________.【答案】相切11．已知定點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在該拋物線上移動(dòng),當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.【答案】【解析】由拋物線方程可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)在拋物線準(zhǔn)線方程上射影為，∵點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)距離相等，∴，當(dāng)，代入拋物線方程求得，∴點(diǎn)拋物線的內(nèi)部，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，此時(shí)的縱坐標(biāo)為4，，即的坐標(biāo)為，故答案為.【方法總結(jié)】：本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義；先由拋物線的方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，推斷點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，設(shè)在拋物線準(zhǔn)線方程上射影為，依據(jù)拋物線的定義可知，分析，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小.12．小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員安排在5:00-6:00之間送貨上門.已知小李下班到家的時(shí)間為下午5:30-6:00.快遞員到小李家時(shí)，假如小李未到家，就將商品存放到快遞柜中，則小李須要去快遞柜收取商品的概率等于__________．【答案】【解析】如圖所示，軸表示快遞員送貨的試卷，軸表示小李到家的時(shí)間，圖中的矩形區(qū)域?yàn)槿靠赡艿臅r(shí)間組合，陰影部分為滿意小李須要去快遞柜收取商品的時(shí)間，結(jié)合幾何概型公式可得小李須要去快遞柜收取商品的概率：.【方法總結(jié)】：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決供應(yīng)了簡捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形精確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事務(wù)A滿意的不等式，在圖形中畫出事務(wù)A發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可.13．已知四棱錐的側(cè)棱長都相等，且底面是邊長為的正方形，它的五個(gè)頂點(diǎn)都在直徑為10的球面上，則四棱錐的體積為__________．【答案】6或5414．已知半徑為的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接四棱錐，四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，它的底面邊長等于__________．【答案】4【解析】如圖，設(shè)四棱錐的側(cè)棱長為，底面正方形的邊長為，棱錐的高為．由題意可得頂點(diǎn)在地面上的射影為底面正方形的中心，則球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．∴當(dāng)時(shí)取得最大值，即四棱錐的體積取得最大值，此時(shí)，解得．∴四棱錐的體積最大時(shí)，底面邊長等于4．答案:415．在中，角的對邊分別為，設(shè)的面積為，若，則的最大值為___________．【答案】【解析】由題得【方法總結(jié)】:本題的難在解題思路,第一個(gè)難點(diǎn)就是把中的分母化簡成,其次個(gè)難點(diǎn)是得到后，如何求tanA的最大值.轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求cosA的最大值.16．已知函數(shù)，由是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，類比這一結(jié)論，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)___________對稱.【答案】【解析】由題得所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.故填.17．設(shè)函數(shù)，則使成立的的取值范圍是_________.【答案】【方法總結(jié)】：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)不等式的求解問題，其中解答中函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，對于解函數(shù)不等式：首先依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性把函數(shù)的“”去掉，轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式(組)，此時(shí)要留意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)是試題的易錯(cuò)點(diǎn).18．如圖，在三角形中，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，則代數(shù)式的最小值為__________．【答案】【解析】不妨設(shè)為直角,且,以分別為軸,此時(shí)為點(diǎn)的坐標(biāo),表示到原點(diǎn)的距離,最短時(shí)為點(diǎn)到直線的距離,由于是中位線,故最短的等于點(diǎn)到距離的一半,即.19．已知函數(shù)，e(e是自然對數(shù)的底數(shù))，對隨意的R，存在，有，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】對隨意的R，存在，有等價(jià)于.∵函數(shù)∴，令，得；令，得.∴函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)∴∵e∴的對稱軸為①當(dāng)，即時(shí)，，即，故無解；②當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)的取值范圍為；③當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)的取值范圍為.綜上所述，的取值范圍為.故答案為.20．上方右圖是一個(gè)容量為200的樣本的頻率分布直方圖，請依據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空：(1)樣本數(shù)據(jù)落在范圍[5，9的可能性為__________；(2)樣本數(shù)據(jù)落在范圍[9，13的頻數(shù)為__________．【答案】0.327221．如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為cm，該紙片上的正方形的中心為，，，，為圓上的點(diǎn)，，，，分別以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一個(gè)四棱錐，當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的倍時(shí)，該四棱錐的外接球的體積為__________．【答案】【解析】如圖：連接OE交AB于點(diǎn)I，設(shè)E，F(xiàn)，G，H重合于點(diǎn)P，正方形的邊長為x，則OI=，.因?yàn)樵撍睦忮F的側(cè)面積是底面積的2倍，所以，解得設(shè)該四棱錐的外接球的球心為Q，半徑為R，則，，解得，外接球的體積22．已知數(shù)列，且，．①若，則__________．②設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．【答案】【解析】①由已知可得，，，∴，當(dāng)時(shí)，，（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得，滿意條件．故．②由，，，得：，當(dāng)時(shí)，，故，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，則，，∴，∴，∴，故答案為(1)，(2)．23．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，分別為，，則輸出的__________．【答案】【解析】執(zhí)行程序，可得，；，，，不滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，，不滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，，滿意條件，推出循環(huán)，輸出,故答案為．【方法】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)確定留意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)留意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)留意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)確定要正確限制循環(huán)次數(shù)；(5)要留意各個(gè)框的依次,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要依據(jù)程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.24．設(shè)，，稱為，的平方平均數(shù)，為，的調(diào)和平均數(shù)．如圖，為線段上的點(diǎn)，且，，為中點(diǎn)，以為直徑作圓．過點(diǎn)，分別作的垂線，交圓于，兩點(diǎn)．連結(jié)，．過點(diǎn)作的垂線，垂足為．已知圖中線段的長度是，的算術(shù)平均數(shù)，線段的長度是，的幾何平均數(shù)．則圖中所示線段中，線段__________的長度是，的平方平均數(shù)，線段__________的長度是，的調(diào)和平均數(shù)．【答案】25．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛錘平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔，速度為，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過后又看到山頂?shù)母┙菫?，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_________．【答案】【解析】如圖，，在等腰三角形中，，∴，故山頂?shù)暮０胃叨葹椋痉椒偨Y(jié)】：解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理