待定系數(shù)法練習(xí)題及答案

待定系數(shù)法練習(xí)題及答案一、選擇題1.下列關(guān)于待定系數(shù)法的說法，正確的是（）。A.待定系數(shù)法適用于求解一階線性微分方程B.待定系數(shù)法適用于求解二階線性微分方程C.待定系數(shù)法適用于求解非線性微分方程D.待定系數(shù)法適用于求解所有類型的微分方程2.在使用待定系數(shù)法求解非齊次線性微分方程時(shí)，假設(shè)特解形式為（）。A.y=eaxB.y=ebxC.y=ax+bD.y=x^2+ax+b3.對(duì)于二階線性非齊次微分方程y''+py'+qy=f(x)，其中f(x)為已知的函數(shù)，下列關(guān)于特解形式的說法，正確的是（）。A.當(dāng)f(x)=eax時(shí)，特解形式為y=AeaxB.當(dāng)f(x)=cosbx時(shí)，特解形式為y=Acosbx+BsinbxC.當(dāng)f(x)=e^(x)時(shí)，特解形式為y=Ax+BD.當(dāng)f(x)=x^2時(shí)，特解形式為y=x^2+ax+b二、填空題1.使用待定系數(shù)法求解非齊次線性微分方程時(shí)，需要求出其______（通解/特解）。2.對(duì)于一階線性非齊次微分方程y'+py=f(x)，當(dāng)f(x)=eax時(shí)，其特解形式為______。3.對(duì)于二階線性非齊次微分方程y''+py'+qy=f(x)，當(dāng)f(x)=cosbx時(shí)，其特解形式為______。三、解答題1.使用待定系數(shù)法求解下列微分方程的特解：y'y=2x2.使用待定系數(shù)法求解下列微分方程的特解：y''+y=sinx3.使用待定系數(shù)法求解下列微分方程的特解：y'''3y''+3y'y=e^(x)4.使用待定系數(shù)法求解下列微分方程的特解：y''+4y=4x^2+3x+25.使用待定系數(shù)法求解下列微分方程的特解：y''2y'+y=e^xcosx四、應(yīng)用題1.某物體在直線運(yùn)動(dòng)中，其加速度a(t)與時(shí)間t的關(guān)系為a(t)=4t^2，初始速度為v(0)=0，求物體在t時(shí)刻的速度v(t)。2.一電子電路中的電流i(t)滿足微分方程Ldi/dt+Ri=Ee^(t)，其中L、R和E是常數(shù)，求電流i(t)的表達(dá)式。3.一根長度為L的均勻細(xì)桿，其一端固定，另一端受到一個(gè)隨時(shí)間變化的力F(t)=F0sin(ωt)，求細(xì)桿的彎曲角度θ(x,t)。五、綜合題1.已知微分方程y''+5y'+6y=3e^(2x)+2x，求：(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；(2)非齊次方程的特解；(3)非齊次方程的通解。(1)y'+2y=4x^2(2)y''+y'6y=3e^(x)2e^(2x)3.已知非齊次線性微分方程y'''3y''+3y'y=8e^x4x^2+6，求：(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；(2)非齊次方程的特解；(3)非齊次方程的通解。六、拓展題1.設(shè)f(x)是一個(gè)可微函數(shù)，且滿足微分方程f''(x)2f'(x)+f(x)=e^x，求f(x)。2.已知微分方程y''+y=cos(2x)+sin(2x)，求：(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；(2)非齊次方程的特解；(3)非齊次方程的通解。y''+4y'+4y=(3x+2)^2e^(2x)。4.已知非齊次線性微分方程組：y'+z=xyz'=1求解該微分方程組。5.設(shè)f(x)是一個(gè)二階可微函數(shù)，且滿足微分方程f''(x)+4f(x)=16x^28x，求f(x)。答案一、選擇題1.A2.A3.B二、填空題1.特解2.y=Aeax3.y=Acosbx+Bsinbx三、解答題1.特解：y=x^2+C2.特解：y=1/2sinx3.特解：y=1/6e^(x)+C1+C2x+C3x^24.特解：y=1/4x^3+3/4x^21/2x+C5.特解：y=(A+Bx)e^x四、應(yīng)用題1.v(t)=2t(1/3)t^3+C2.i(t)=(E/R)e^(t/R)+(E/R^2)(1e^(t/R))3.θ(x,t)=(F0/EL)tsin(ωt)x(F0/ω^2EL)cos(ωt)x五、綜合題1.(1)y_h=C1e^(2x)+C2e^(3x)(2)y_p=x^2+7/6(3)y=C1e^(2x)+C2e^(3x)x^2+7/62.(1)y_p1=2x^2+C1(2)y_p2=1/2e^(x)+1/4e^(2x)+C13.(1)y_h=C1e^x+C2x+C3x^2(2)y_p=4x^2+2x+1/3(3)y=C1e^x+C2x+C3x^24x^2+2x+1/3六、拓展題1.f(x)=(1/2)e^x+C1e^(x)+C22.(1)y_h=C1cosx+C2sinx(2)y_p=1/5cos(2x)1/5sin(2x)(3)y=C1cosx+C2sinx1/5cos(2x)1/5sin(2x)3.y_p=(3/4)x