數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)試驗(yàn)后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室

計(jì)算機(jī)模擬第1頁實(shí)驗(yàn)?zāi)吭囼?yàn)內(nèi)容學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)模擬基本過程與方法。1、模擬概念。4、試驗(yàn)作業(yè)。3、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例。2、產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)計(jì)算機(jī)命令。第2頁連續(xù)系統(tǒng)模擬實(shí)例:追逐問題離散系統(tǒng)模擬實(shí)例:排隊(duì)問題用蒙特卡洛法解非線性規(guī)劃問題返回計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例第3頁模擬概念

模擬就是利用物理、數(shù)學(xué)模型來類比、模仿現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)及其演變過程，以尋求過程規(guī)律一個(gè)方法。

模擬基本思想是建立一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，這個(gè)模型包含所研究系統(tǒng)主要特點(diǎn)．經(jīng)過對(duì)這個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦\(yùn)行，取得所要研究系統(tǒng)必要信息第4頁模擬方法1、物理模擬：對(duì)實(shí)際系統(tǒng)及其過程用功效相同實(shí)物系統(tǒng)去模仿。比如，軍事演練、船艇試驗(yàn)、沙盤作業(yè)等。物理模擬通?；ㄙM(fèi)較大、周期較長(zhǎng)，且在物理模型上改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系數(shù)都較困難。而且，許多系統(tǒng)無法進(jìn)行物理模擬，如社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等。第5頁在實(shí)際問題中，面對(duì)一些帶隨機(jī)原因復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模經(jīng)常需要作許多簡(jiǎn)化假設(shè)，與面臨實(shí)際問題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無法應(yīng)用。這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一選擇。在一定假設(shè)條件下，利用數(shù)學(xué)運(yùn)算模擬系統(tǒng)運(yùn)行，稱為數(shù)學(xué)模擬。當(dāng)代數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，稱為計(jì)算機(jī)模擬。2、數(shù)學(xué)模擬計(jì)算機(jī)模擬能夠重復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較輕易。

蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一個(gè)應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬方法．此方法對(duì)研究系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣，經(jīng)過對(duì)樣本值觀察統(tǒng)計(jì)，求得所研究系統(tǒng)一些參數(shù)．第6頁例1

在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單位對(duì)我方進(jìn)行干擾和破壞．為躲避我方打擊，敵方對(duì)其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn)．

經(jīng)過長(zhǎng)久觀察發(fā)覺，我方指揮所對(duì)敵方目標(biāo)指示有50％是準(zhǔn)確，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3射擊效果能毀傷敵人一門火炮，有1/6射擊效果能全部毀滅敵人．

現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對(duì)敵人實(shí)施20次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來，確定有效射擊比率及毀傷敵方火炮平均值。分析：這是一個(gè)概率問題，能夠經(jīng)過理論計(jì)算得到對(duì)應(yīng)概率和期望值.但這么只能給出作戰(zhàn)行動(dòng)最終靜態(tài)結(jié)果，而顯示不出作戰(zhàn)行動(dòng)動(dòng)態(tài)過程.為了能顯示我方20次射擊過程，現(xiàn)采取模擬方式。第7頁需要模擬出以下兩件事：

1.問題分析[2]當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位射擊結(jié)果情況[1]觀察所對(duì)目標(biāo)指示正確是否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)概率都是1/2．所以，可用投擲一枚硬幣方式給予確定，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確．模擬試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷一門火炮可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門可能性為1/6，沒能毀傷敵火炮可能性為1/2(即3/6)．這時(shí)可用投擲骰子方法來確定：假如出現(xiàn)是１、２、３三個(gè)點(diǎn)：則認(rèn)為沒能擊中敵人；假如出現(xiàn)是４、５點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)是６點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火炮．第8頁2.符號(hào)假設(shè)i：要模擬打擊次數(shù)；k1：沒擊中敵人火炮射擊總數(shù)；k2：擊中敵人一門火炮射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮射擊總數(shù)．E：有效射擊比率；E1：20次射擊平均每次毀傷敵人火炮數(shù)．3.模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i＜20?E=(k2+k3)/20E1=0*k1/20+1*k2/20+2*k3/20停頓硬幣正面?YNNY1，2，34，56第9頁4.模擬結(jié)果第10頁第11頁5.理論計(jì)算第12頁6.結(jié)果比較返回

即使模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能愈加真實(shí)地表示實(shí)際戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)過程．用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬步驟：[1]設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖，即模擬模型．這個(gè)框圖要正確反應(yīng)系統(tǒng)各部分運(yùn)行時(shí)邏輯關(guān)系。[2]模擬隨機(jī)現(xiàn)象．可經(jīng)過含有各種概率分布模擬隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象．第13頁產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)計(jì)算機(jī)命令在Matlab軟件中，能夠直接產(chǎn)生滿足各種分布隨機(jī)數(shù)，命令以下：2．產(chǎn)生m

n階［０，１］均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣：rand(m,n)產(chǎn)生一個(gè)［０，１］均勻分布隨機(jī)數(shù)：rand1．產(chǎn)生m

n階［a，b］均勻分布U（a，b）隨機(jī)數(shù)矩陣：

unifrnd(a,b,m,n)產(chǎn)生一個(gè)［a，b］均勻分布隨機(jī)數(shù)：unifrnd(a,b)當(dāng)只知道一個(gè)隨機(jī)變量取值在（a，b）內(nèi)，但不知道（也沒理由假設(shè)）它在何處取值概率大，在何處取值概率小，就只好用U（a，b）來模擬它。例1計(jì)算機(jī)模擬第14頁ToMatlab（rnd）當(dāng)研究對(duì)象視為大量相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和，且其中每一個(gè)變量對(duì)總和影響都很小時(shí)，能夠認(rèn)為該對(duì)象服從正態(tài)分布。機(jī)械加工得到零件尺寸偏差、射擊命中點(diǎn)與目標(biāo)偏差、各種測(cè)量誤差、人身高、體重等，都可近似看成服從正態(tài)分布。第15頁若連續(xù)型隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為指數(shù)分布。指數(shù)分布期望值為

排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中用戶抵達(dá)率為常數(shù)時(shí)抵達(dá)間隔、故障率為常數(shù)時(shí)零件壽命都服從指數(shù)分布。指數(shù)分布在排隊(duì)論、可靠性分析中有廣泛應(yīng)用。注意：Matlab中，產(chǎn)生參數(shù)為指數(shù)分布命令為exprnd()例用戶抵達(dá)某商店間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1指數(shù)分布指數(shù)分布均值為1/0.1=10。指兩個(gè)用戶抵達(dá)商店平均間隔時(shí)間是10個(gè)單位時(shí)間.即平均10個(gè)單位時(shí)間抵達(dá)1個(gè)用戶.用戶抵達(dá)間隔時(shí)間可用exprnd(10)模擬。第16頁設(shè)離散型隨機(jī)變量X全部可能取值為0,1,2,…,且取各個(gè)值概率為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為帕松分布。帕松分布在排隊(duì)系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、天文、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。帕松分布期望值為第17頁如相繼兩個(gè)事件出現(xiàn)間隔時(shí)間服從參數(shù)為指數(shù)分布，則在單位時(shí)間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)次數(shù)服從參數(shù)為泊松分布．即單位時(shí)間內(nèi)該事件出現(xiàn)k次概率為：反之亦然。指數(shù)分布與帕松分布關(guān)系：(1)指兩個(gè)用戶抵達(dá)商店平均間隔時(shí)間是10個(gè)單位時(shí)間.即平均10個(gè)單位時(shí)間抵達(dá)1個(gè)用戶.(2)指一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)平均抵達(dá)0.1個(gè)用戶例(1)用戶抵達(dá)某商店間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1指數(shù)分布(2)該商店在單位時(shí)間內(nèi)抵達(dá)用戶數(shù)服從參數(shù)為0.1帕松分布第18頁返回例2敵坦克分隊(duì)對(duì)我方陣地實(shí)施突襲，其抵達(dá)規(guī)律服從泊松分布，平均每分鐘抵達(dá)４輛．（1）模擬敵坦克在３分鐘內(nèi)抵達(dá)目標(biāo)區(qū)數(shù)量，以及在第１、２、３分鐘內(nèi)各抵達(dá)幾輛坦克．（2）模擬在3分鐘內(nèi)每輛敵坦克抵達(dá)時(shí)刻。（1）用poissrnd(4)進(jìn)行模擬。ToMatlab（poiss）（2）坦克抵達(dá)間隔時(shí)間應(yīng)服從參數(shù)為4負(fù)指數(shù)分布，用exprnd（1/4）模擬。ToMatlab（time）第19頁連續(xù)系統(tǒng)模擬實(shí)例:追逐問題狀態(tài)隨時(shí)間連續(xù)改變系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)。對(duì)連續(xù)系統(tǒng)計(jì)算機(jī)模擬只能是近似，只要這種近似到達(dá)一定精度，也就能夠滿足要求。例追逐問題:

如圖,正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)各有一人.在某一時(shí)刻,四人同時(shí)出發(fā)以勻速v=1米/秒按順時(shí)針方向追逐下一人,假如他們一直保持對(duì)準(zhǔn)目標(biāo),則最終按螺旋狀曲線于中心點(diǎn)O.試求出這種情況下每個(gè)人行進(jìn)軌跡.OBCDA第20頁1.建立平面直角坐標(biāo)系:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).2.取時(shí)間間隔為Δt,計(jì)算每一點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻坐標(biāo).4.對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，連接它在各時(shí)刻位置,即得所求運(yùn)動(dòng)軌跡.求解過程:ToMatlab(chase)返回第21頁v=1;dt=0.05;x=[001010];y=[010100];fori=1:4plot(x(i),y(i),'.'),holdonendd=20;while(d>0.1)x(5)=x(1);y(5)=y(1);

fori=1:4d=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d;y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d;plot(x(i),y(i),'.'),holdon

endend計(jì)算程序:ToMatlab(chase)返回第22頁離散系統(tǒng)模擬實(shí)例:排隊(duì)問題

排隊(duì)論主要研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過程。在排隊(duì)系統(tǒng)中，服務(wù)對(duì)象抵達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)。排隊(duì)論經(jīng)過對(duì)每個(gè)個(gè)別隨機(jī)服務(wù)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)研究，找出反應(yīng)這些隨機(jī)現(xiàn)象平均特征規(guī)律，從而為設(shè)計(jì)新服務(wù)系統(tǒng)和改進(jìn)現(xiàn)有服務(wù)系統(tǒng)工作提供依據(jù)。對(duì)于排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng),用戶經(jīng)常注意排隊(duì)人是否太多,等候時(shí)間是否長(zhǎng),而服務(wù)員則關(guān)心他空閑時(shí)間是否太短.于是人們慣用排隊(duì)長(zhǎng)度、等候時(shí)間及服務(wù)利用率等指標(biāo)來衡量系統(tǒng)性能.第23頁[1]系統(tǒng)假設(shè)：（1）用戶源是無窮；（2）排隊(duì)長(zhǎng)度沒有限制；（3）抵達(dá)系統(tǒng)用戶按先后次序依次進(jìn)入服務(wù)，即“先到先服務(wù)”。單服務(wù)員排隊(duì)模型：在某商店有一個(gè)售貨員，用戶陸續(xù)來到，售貨員逐一地接待用戶．當(dāng)?shù)絹碛脩糨^多時(shí)，一部分用戶便須排隊(duì)等候，被接待后用戶便離開商店．設(shè)：1．用戶到來間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1指數(shù)分布．２．對(duì)用戶服務(wù)時(shí)間服從［４，１５］上均勻分布．３．排隊(duì)按先到先服務(wù)規(guī)則，隊(duì)長(zhǎng)無限制．

假定一個(gè)工作日為8小時(shí)，時(shí)間以分鐘為單位。[1]模擬一個(gè)工作日內(nèi)完成服務(wù)個(gè)數(shù)及用戶平均等候時(shí)間t．[2]模擬100個(gè)工作日，求出平均每日完成服務(wù)個(gè)數(shù)及每日用戶平均等候時(shí)間。第24頁

[2]符號(hào)說明

w：總等候時(shí)間；ci：第i個(gè)用戶抵達(dá)時(shí)刻；bi：第i個(gè)用戶開始服務(wù)時(shí)刻；ei：第i個(gè)用戶服務(wù)結(jié)束時(shí)刻．xi：第i-1個(gè)用戶與第i個(gè)用戶之間抵達(dá)間隔時(shí)間

yi：對(duì)第i個(gè)用戶服務(wù)時(shí)間c1b1c3c4c5c2e1b2e2b3e3b4e4b5ci=ci-1+xiei=bi+yibi=max(ci,ei-1)t第25頁[3]模擬框圖初始化：令i=1，ei-1=0，w=0產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi~參數(shù)為0.1指數(shù)分布ci=xi,bi=xi

產(chǎn)生服務(wù)時(shí)間隨機(jī)數(shù)yi~[4,15]均勻分布ei=bi+yi累計(jì)等候時(shí)間：w=w+bi-ci準(zhǔn)備下一次服務(wù)：i=i+1產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi~參數(shù)為0.1指數(shù)分布ci=ci-1+xi

確定開始服務(wù)時(shí)間：bi=max(ci,ei-1)bi＞480?YNi=i-1,t=w/i輸出結(jié)果：完成服務(wù)個(gè)數(shù)：m=i

平均等候時(shí)間：t停頓[1]模擬一日ToMatlab(simu1)[2]模擬100日ToMatlab(simu2)返回第26頁用蒙特卡洛法解非線性規(guī)劃問題第27頁基本假設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)第j個(gè)分量xj服從[aj,bj]內(nèi)均勻分布．符號(hào)假設(shè)求解過程先產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)作為初始試驗(yàn)點(diǎn),以后則將上一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)第j個(gè)分量隨機(jī)產(chǎn)生，其它分量不變而產(chǎn)生一新試驗(yàn)點(diǎn)．這么，每產(chǎn)生一個(gè)新試驗(yàn)點(diǎn)只需一個(gè)新隨機(jī)數(shù)分量．當(dāng)K>MAXK或P>MAXP時(shí)停頓迭代．第28頁框圖初始化:給定MAXK,MAXP;k=0,p=0,Q:大整數(shù)xj=aj+R(bj-aj)j=1,2,…,nj=0j=j+1,p=p+1P>MAXP?YNxj=aj+R(bj-aj)gi(X)≥0?i=1,2…nYNj<n?f(X)≥Q?YNX*=X,Q=f(X)k=k+1k>MAXK?YN輸出X,Q,停頓YN第29頁

在Matlab軟件包中編程，共需三個(gè)Ｍ－文件:randlp.m,mylp.m,

lpconst.m.主程序?yàn)閞andlp.m.%mylp.mfunctionz=mylp(x)%目標(biāo)函數(shù)z=2*x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-8*x(1)-3*x(2);%轉(zhuǎn)化為求最小值問題第30頁%randlp.m

function[sol,r1,r2]=randlp(a,b,n)%隨機(jī)模擬解非線性規(guī)劃debug=1;a=0;%試驗(yàn)點(diǎn)下界b=10;%試驗(yàn)點(diǎn)上界n=1000;%試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)r1=unifrnd(a,b,n,1);%n

1階［a,b］均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣r2=unifrnd(a,b,n,1);sol=[r1(1)r2(1)];z0=inf;fori=1:nx1=r1(i);x2=r2(i);lpc=lpconst([x1x2])；

iflpc==1z=mylp([x1x2])；

ifz<z0z0=z；sol=[x1x2]；

end

endendToMatlab(randlp)返回第31頁試驗(yàn)作業(yè)1、編一個(gè)福利彩票電腦選號(hào)程序。第32頁4.某設(shè)備上安裝有四只型號(hào)規(guī)格完全相同電子管，已知電子管壽命為1000--小時(shí)之間均勻分布。當(dāng)電子管損壞時(shí)有兩種維修方案，一是每次更換損壞那一只；二是當(dāng)其中一只損壞時(shí)四只同時(shí)更換。已知更換時(shí)間為換一只時(shí)需1小時(shí)，4只同時(shí)換為2小時(shí)。更換時(shí)機(jī)器因停頓運(yùn)轉(zhuǎn)每小時(shí)損失為20元，又每只電子管價(jià)格10元，試用模擬方法決定哪一個(gè)方案經(jīng)濟(jì)合理？5.導(dǎo)彈追蹤問題：設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭一直對(duì)準(zhǔn)乙艦.假如乙艦以最大速度(是常數(shù))沿平行于y軸直線行駛，導(dǎo)彈速度是5，模擬導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？第33頁初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2