等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

2.1等式與不等式的基本性質(zhì)導(dǎo)入：生活中的相等關(guān)系和不等關(guān)系問題2某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元銷售量就可能減少2000本.如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元?導(dǎo)入：生活中的相等關(guān)系和不等關(guān)系實數(shù)大小的定義(性質(zhì))

實數(shù)是可以比較大小.

在數(shù)軸上,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.任意兩個實數(shù)a,b:

如果a－b是正數(shù),那么a＞b;如果a－b是負數(shù),那么a＜b;如果a－b等于零,那么a＝b.即a－b＞0

a＞b;a－b＜0

a＜b;a－b＝0

a＝b.符號“”表示“等價于”,即可以互相推出.例1比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.例題分析ADCBGEFHab重要不等式例題分析[例3]

(1)已知a，b均為正實數(shù)．試利用作差法比較大?。孩賏3＋b3與a2b＋ab2；②a5＋b5與a3b2＋a2b3.(2)根據(jù)(1)中比較大小的結(jié)果，你認為有更一般的結(jié)論嗎？若有，請證明你的結(jié)論．[解]

(1)①a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．當a＝b時，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；當a≠b時，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.綜上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.②(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.(2)一般性結(jié)論為：若a>0，b>0，m>0，n>0，則am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.證明如下：am＋n＋bm＋n－ambn－anbm＝am(an－bn)＋bm(bn－an)＝(am－bm)(an－bn)，∵a>0，b>0，m>0，n>0，∴am－bm≥0，an－bn≥0，∴(am－bm)(an－bn)≥0，即am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個實數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進行變形；(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)作出結(jié)論．[提醒]上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．在變形中，一般變得越徹底，越有利于下一步的判斷．其中變形的技巧較多，常見的有因式分解法、配方法、有理化法等．例4.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假設(shè)全部溶解),糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式,并證明這個不等式成立.辨析：

作商比較法:即若a,b同號,比較a,b的大小有時要把不等式兩邊相除,轉(zhuǎn)化為判斷商式與1的大小關(guān)系.例5.已知a>b>0，求證：.作差