特殊三角函數(shù)學(xué)案華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

.2特殊三角函數(shù)精品學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.體會特殊角的三角函數(shù)值并熟記特殊角的三角函數(shù)值.2.能靈活運用特殊角的三角函數(shù)值進行計算和化簡.3.感受數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、一般到特殊的思想在研究特殊三角函數(shù)中的作用.一、情境導(dǎo)入，自主構(gòu)建陪伴你八年半的三角尺，你對它們很熟悉嗎？它們各自的特征是什么？你會求30°、45°、60°的三個三角函數(shù)值嗎？你是怎么做的？二、獨立思考，積累經(jīng)驗探究：30°、45°、60°三個特殊角的三角函數(shù)如圖，每個三角形較短的邊長均為1，請利用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義完成下列填空：（1）sin30°＝12，cos30°＝32，tan30°＝3（2）sin60°＝32，cos60°＝12；tan60°＝3（3）sin45°＝22，cos45°＝22，tan45°＝解：（1）sin30°=12，cos30°=32，故答案為：12；32；（2）sin60°=32，cos60°=12，故答案為：32；12；（3）sin45°=22，cos45°=2故答案為：22；2思維提升：歸納：特殊角三角函數(shù)銳角a三角函數(shù)30°45°60°sin

acos

atan

a圖形速記：30°60°直角三角形三邊比1：3：2，45°直角三角形三邊比1:1：2.口訣速記：正弦正切走上坡，余弦特殊走下坡；弦2切3是分母，分子根下正倒1，2，3；互余正弦余弦等，正切互倒積為1.操場里有一個旗桿，老師讓小明去測量旗桿高度，小明站在離旗桿底部10米遠處，目測旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為30°，并已知目高為1.65米．然后他很快就算出旗桿的高度了.你知道小明是怎樣算出來的嗎？典例分析：例1.已知6cosα＝33，且α是銳角，則α＝（）A．75° B．60° C．45° D．30°解：∵6cosα＝33，∴cosα=3∴銳角α＝30°．故選：D．解題密碼：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．例2.式子2cos30°﹣tan45°?(1?tan60°A．0 B．23 C．2 D．﹣2解：原式＝2×32?=3?1＝0．故選：A．解題密碼：熟記特殊三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3.已知銳角△ABC中，∠A.∠B.∠C的對邊分別為，邊角總滿足關(guān)系式：asinA（1）如圖1，若a=6，∠B=45°，∠C=75°，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD（如圖2所示），若CD⊥AB，，AC=14米，AB=10米，sin∠ACB=5314，求景觀橋解：∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=60°，asinA=6sin60°∴b=2（2）ABsinACB=∴10∴sinB=32∴tanB=CD∴BD=3∵AC∴196=CD∴CD=83，CD=－33（舍去）∴CD的長度為83米．解題密碼：掌握勾股定理和特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．交流討論：1.x為銳角，sinx=23，則cosA．79 B．73 C．7 解：∵sin2x+cos2x＝1，sinx=2∴cosx=1?si故選：B．解題密碼：熟記同角三角函數(shù)的關(guān)系：（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（商的關(guān)系）：tanA=sinAcosA2.若（3tanA?3）2+|2sinB?3|＝0，則以∠A.∠B為內(nèi)角的△ABC的形狀是解：∵（3tanA?3）2+|2sinB?∴3tanA?3=0，2sinB則tanA=33，sinB∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A.∠B為內(nèi)角的△ABC的形狀是直角三角形．故答案為：直角三角形．解題密碼：熟記特殊角的三角函數(shù)值、非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝3，AB＝2，則△ABC的面積是332解：如圖，過點C作CD⊥AB于D．∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∴sin∠DAC=CD∴CD＝ACsin∠DAC＝3×sin60°=3×3∴S△ABC故答案為：33解題密碼：熟記三角函數(shù)的定義和特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．三、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃苷勔徽劚竟?jié)課自己的收獲和感受？銳角a三角函數(shù)30°45°60°sin

acos

atan

a圖形速記：30°60°直角三角形三邊比1：3：2，45°直角三角形三邊比1:1：2.口訣速記：正弦正切走上坡，余弦特殊走下坡；弦2切3是分母，分子根下正倒1，2，3；互余正弦余弦等，正切互倒積為1.解題方法總結(jié)：1.知特殊角求值.2.知值求特殊角.3.特殊角出現(xiàn)或是其余角補角出現(xiàn)記得構(gòu)造直角三角形.四、鞏固深化，能力提升A組1．王明同學(xué)遇到了這樣一道題，3tan(α+10°)=1，則銳角αA．40° B．30° C．20° D．10°解：∵tan30°=3∴3tan30°＝1，∵3tan（α+10°）＝1，∴α+10°＝30°，∴α＝20°，故選：C．2.某漁船在海上進行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時，發(fā)現(xiàn)正北方向（6+63）海里的C處有海盜出沒，為了安全，請求A處的海警前往C處護航．如圖，已知C位于A處的東北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，則A和C之間的距離為（）海里．A．62 B．63 C．123 D．12解：過點A作AD⊥BC于點D，由題意得，BC＝（6+63）海里，∠CAD＝45°，∠ABD＝30°，設(shè)AD＝x海里，在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x海里，在Rt△ABD中，tan30°=AD解得BD=3x∴x+3x＝6+63解得x＝6，∴AD＝CD＝6海里，∴AC=AD2故選：A．B組3.在△ABC中，若sinA=22，cosB=12，∠A，∠B都是銳角，則∠解：∵sinA=22，cosB=12，∠∴∠A＝45°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝75°．故答案為：75°.C組4.計算（1）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°；（2）sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°＝sin230°+cos230°+2×32＝1+3+＝2；（2）sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021=12+=12+=55.某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀(jì)念園．如圖，紀(jì)念園中心點A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上．C村在Bkm．有關(guān)部門計劃在兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．