理學(xué)章多項(xiàng)式

教學(xué)要求：1、了解多項(xiàng)式的基本概念；2、掌握多項(xiàng)式的整除概念及其判定方法；3、掌握多項(xiàng)式的因式分解定理及最大公因式的求解方法；4、了解多項(xiàng)式函數(shù)及其根等概念；5、有理多項(xiàng)式解的理論(了解)。教學(xué)重點(diǎn)：1、除概念及其判定方法；難點(diǎn)：1、多項(xiàng)式互素的概念及其應(yīng)用；2、轉(zhuǎn)相除法、綜合除法；3、因式分解定理；4、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式。2、最大公因式的求法；3、有理根的求法及應(yīng)用。§4.1一元多項(xiàng)式的定義

和運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)掌握一元多項(xiàng)式的定義并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算。重點(diǎn)一元多項(xiàng)式的概念。難點(diǎn)一元多項(xiàng)式的概念。§4.1一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算

；；；定義4.1.1大家能告訴我它們是一些什么式子嗎？大家來(lái)看以下的式子：是一個(gè)數(shù)域，。是一非負(fù)整數(shù)，是一個(gè)文字，設(shè)由此引出：則形式表達(dá)式

（1）稱為系數(shù)在數(shù)域中的一元多項(xiàng)式，

或者簡(jiǎn)稱為

比較）。這里數(shù)域上的一元多項(xiàng)式。（與初中所學(xué)的多項(xiàng)式進(jìn)行

稱為次項(xiàng)，

稱為次項(xiàng)的系數(shù)。

用

或等來(lái)表示多項(xiàng)式。

定義4.1.2

若多項(xiàng)式與同次項(xiàng)的系數(shù)全相等，

那么就系數(shù)全為零的多項(xiàng)式稱為零多項(xiàng)式，記為0。定義4.1.3，

如果

那么

稱為多項(xiàng)式（1）的首項(xiàng)，

稱為首項(xiàng)系數(shù)，

稱為多項(xiàng)式的次數(shù)。零多項(xiàng)式為。與相等，記為。稱多項(xiàng)式多項(xiàng)式

的次數(shù)記是唯一不定義次數(shù)的多項(xiàng)式。設(shè)是數(shù)域上兩個(gè)多項(xiàng)式，那么可以寫(xiě)成；在表示多項(xiàng)式與的和時(shí)，

如果，

為了方便起見(jiàn)，在中令，

那么與的和為而與的乘積為其中次項(xiàng)的系數(shù)是所以可表成。。利用多項(xiàng)式的加法可以定義多項(xiàng)式的減法：2.加法結(jié)合律：由多項(xiàng)式的加法、乘法和減法的定義可知，數(shù)中的多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)加、減、乘之后，仍是

中的的多項(xiàng)式。

域1.加法交換律：運(yùn)算法則：3、乘法交換律：4.乘法結(jié)合律：5.乘法對(duì)加法的分配律：。定理4.1.1設(shè)是數(shù)域上的多項(xiàng)式，則（1）（2）上面的結(jié)果都可以推廣到多個(gè)多項(xiàng)式的情形。且：推論4.1.2與中至少有一個(gè)為零。推論4.1.3若

且

，則。

定義：所有系數(shù)在數(shù)域中的一元多項(xiàng)式的全體，稱為數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán)，記為?！?.2多項(xiàng)式的整除性教學(xué)目標(biāo)掌握多項(xiàng)式整除的性質(zhì)及證明。重點(diǎn)整除及其判定方法。難點(diǎn)帶余除法及其應(yīng)用§4.2多項(xiàng)式的整除性一、概念和性質(zhì)例：

若，用除得：

”稱為整除

數(shù)域上的多項(xiàng)式，定義4.2.1

如果存在使得成立。

用表示整除“

，用

表示不能整除稱為當(dāng)時(shí)，就稱為的因式，的倍式。多項(xiàng)式整除性的一些基本性質(zhì)：（1）如果，，那么；（2）如果，，那么；（3）如果，那么，有；（4）如果，，則有；（5）（，

且）；。和如果，那么有這里是數(shù)域中某一不等于零的數(shù)。設(shè)（6），證明略（板書(shū)）定理4.2.1、，且，則一定，使-------(1)成立，其中或者，并且這樣的是唯一決定的。（1）中的稱為除的商，稱為除的余式。多項(xiàng)式的整除性不會(huì)因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。二、例題例1求被除所得的商式和余式。例2計(jì)算:§4.3多項(xiàng)式的最大公因式重點(diǎn)多項(xiàng)式最大公因式的定義、運(yùn)算及其性質(zhì)。難點(diǎn)

運(yùn)用展轉(zhuǎn)相除法求最大公因式，最大公因式性質(zhì)的運(yùn)用。教學(xué)目標(biāo)

掌握多項(xiàng)式最大公因式的定義、運(yùn)算及其性質(zhì)?！?.3多項(xiàng)式的最大公因式定義4.3.1（多項(xiàng)式的公因式）設(shè)。若中的一個(gè)多項(xiàng)式滿足且，那么就稱為與的一個(gè)公因式。定義4.3.2（多項(xiàng)式的最大公因式）設(shè)是多項(xiàng)式與的一個(gè)公因式。若能整除與的每一個(gè)公因式，則稱是與的最大公因式。例如，對(duì)于任意多項(xiàng)式，就是與0的一個(gè)最大公因式。特別地，根據(jù)定義，兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式就是0。引理如果有等式成立，那么，和，有相同的公因式。定理4.3.1

中的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，，一定有最大公因式。除一個(gè)零次因式以外，與的最大公因式是唯一確定的。證明:利用輾轉(zhuǎn)相除法加以證明。（對(duì)于的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，，在中存在一個(gè)最大公因式，且可以表成，的一個(gè)組合，即有中多項(xiàng)式使得：）。定理4.3.2

若是與的最大公因式，那么在中存在多項(xiàng)式使得一下等式成立:。證明:利用定理4.3.1證明中的輾轉(zhuǎn)相除法的式子直接推得。(此定理的逆定理不一定成立。）由最大公因式的定義不難看出，如果是，的兩個(gè)最大公因式，那么一定有與，也就是說(shuō)。這就是說(shuō)，兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式在可以相差一個(gè)非零常數(shù)倍的意義下是唯一確定的。用（，）來(lái)表示首項(xiàng)系數(shù)是1的那個(gè)最大公因式。定義4.3.3

中兩個(gè)多項(xiàng)式，稱為互素（也稱為互質(zhì)）的，如果。顯然，兩個(gè)多項(xiàng)式互素，那么它們除去零次多項(xiàng)式外沒(méi)有其他的公因式，反之亦然。定理4.3.3

中兩個(gè)多項(xiàng)式，互素的充要條件是有中多項(xiàng)式使.推論1

如果，且，那么。推論2

如果，且那么。

推論3如果，，那么。，如果使得:1）;2）如果，那么。則稱為的一個(gè)最大公因式，用符號(hào)來(lái)表示首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式。與在中的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式,而是與在中首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式,那么。 即從數(shù)域過(guò)渡到數(shù)域時(shí)，與的最大公因式本質(zhì)上沒(méi)有改變?；ニ囟囗?xiàng)式的性質(zhì)可以推廣到多個(gè)多項(xiàng)式的情形：1)若多項(xiàng)式與互素，則。

2)若多項(xiàng)式都整除，且兩兩互素，則.3)若多項(xiàng)式都與互素，則

例1求多項(xiàng)式與的最大公因式，并求使得?！?.4多項(xiàng)式的分解

教學(xué)目標(biāo)掌握不可約多項(xiàng)式的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用重點(diǎn)不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)及應(yīng)用。難點(diǎn)不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)及應(yīng)用。§4.4多項(xiàng)式的分解的平凡因式——非零常數(shù)與

定義4.4.1數(shù)域

上次數(shù)

的多項(xiàng)式

稱為數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式如果它不能表成數(shù)域上的兩個(gè)次數(shù)比的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積。一個(gè)多項(xiàng)式是否可約是依賴于系數(shù)域的。一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式。不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)：1、不可約多項(xiàng)式的因式只有平凡因式與

此外就沒(méi)有了.反過(guò)來(lái)，具有這個(gè)性質(zhì)的次數(shù)的多項(xiàng)式一定是不可約的。2、不可約多項(xiàng)式與任一多項(xiàng)式之間只可能有兩種關(guān)系，或者或者3、如果是不可約多項(xiàng)式，那么對(duì)于任意的兩個(gè)多項(xiàng)式，由一定推出或者。

4、如果不可約多項(xiàng)式整除一些多項(xiàng)式的乘積，

那么一定整除這些多項(xiàng)式之中的一個(gè)。定理4.4.1(因式分解及唯一性定理)數(shù)域上

次數(shù)的多項(xiàng)式

可都以唯一地分解成數(shù)域上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.所謂唯一性是說(shuō)，如果

有兩個(gè)分解式,那么必有，并且適當(dāng)排列因式的次序后有.其中是一些非零常數(shù)。利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例證明：。

§4.5重因式教學(xué)目標(biāo)了解重因式的定義，掌握重因式的判斷。重點(diǎn)重因式的判定。難點(diǎn)重因式的判定?！?.5重因式定義4.5.1不可約多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式重因式,如果,但定義4.5.2多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)為：根據(jù)定義可得：同樣可以定義高階導(dǎo)數(shù)的概念。微商稱為的一階導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)稱為的二階導(dǎo)數(shù)；等等。的階導(dǎo)數(shù)記為一個(gè)次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)次多項(xiàng)式；它的階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù)；它的階導(dǎo)數(shù)等于0。定理4.5.1如果不可約多項(xiàng)式是多項(xiàng)式的一個(gè)重因式,那么是導(dǎo)數(shù)的重因式。如果不可約多項(xiàng)式是多項(xiàng)式的一個(gè)重因式,那么是的因式,但不是的因式。定理4.5.2不可約多項(xiàng)式是多項(xiàng)式的重因式的充要條件是：是與

的公因式。

定理4.5.3

無(wú)重因式

§4.6多項(xiàng)式函數(shù)、多項(xiàng)式的根教學(xué)目標(biāo)了解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的區(qū)別，掌握綜合除法并會(huì)應(yīng)用。重點(diǎn)綜合除法、多項(xiàng)式的根。難點(diǎn)綜合除法的應(yīng)用。§4.6多項(xiàng)式函數(shù)、多項(xiàng)式的根設(shè)

在上式中用代替所得的數(shù)

稱為

當(dāng)時(shí)的值,

記為。這樣，多項(xiàng)式就定義了一個(gè)數(shù)域上的函數(shù)。如果那么定理4.6.1(余數(shù)定理)定義4.6.1用一次多項(xiàng)式去除多項(xiàng)式

，所得的余式是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)等于函數(shù)值。令是的一個(gè)多項(xiàng)式而是

的一個(gè)數(shù)。若是當(dāng)時(shí)

的值那么

叫作

數(shù)域在中的一個(gè)根。定理4.6.2

是

的根的充要條件是。定理4.6.3多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等的關(guān)系定理4.6.4次多項(xiàng)式中在數(shù)域中的根不可能多于

個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。

如果多項(xiàng)式的次數(shù)都不超過(guò)，而它們對(duì)

個(gè)不同的數(shù)有相同的值即，那么介紹綜合除法：并且設(shè)(1)

，其中。比較等式（1）中兩端同次項(xiàng)的系數(shù)，我們得到設(shè)

由此得出這樣，欲求系數(shù)，重要把前一系數(shù)乘以再加上對(duì)應(yīng)系數(shù)，而余數(shù)也可以按照類似的規(guī)律求出。因此按照下表所指出的算法就可以很快地陸續(xù)求出商式的系數(shù)和余數(shù)：表中的加號(hào)通常略去不寫(xiě)。§4.7復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解教學(xué)目標(biāo)掌握代數(shù)基本定理并會(huì)應(yīng)用。重點(diǎn)、難點(diǎn)代數(shù)基本定理，復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解因式?！?.7復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解

代數(shù)基本定理每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一個(gè)根。復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.因此，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中是不同的復(fù)數(shù)，是正整數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)分解式說(shuō)明了每個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。

實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理

每個(gè)次數(shù)

的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與含一對(duì)非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次因式的乘積。實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式，除一次多項(xiàng)式外，只有含非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次多項(xiàng)式。實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中

全是實(shí)數(shù)，

，

是正整數(shù)，并且

是不可約

的，也就是適合條件

其中第

個(gè)等式的右端是一切可能的

個(gè)根的乘積之和，乘以。

§4.8有理系數(shù)多項(xiàng)式教學(xué)目標(biāo)了解本元多項(xiàng)式的定義、有理數(shù)域上有任意次不可約多項(xiàng)式；了解艾森斯坦因判別法；會(huì)求簡(jiǎn)單的有理多項(xiàng)式。重點(diǎn)、難點(diǎn)有理多項(xiàng)式根的存在性的判別?！?.8有理系數(shù)多項(xiàng)式有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定義4.8.1(本原多項(xiàng)式的定義)如果一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)沒(méi)有異于的公因子，也就是說(shuō)它們是互素的,它就稱為一個(gè)本原多項(xiàng)式。任何一個(gè)非零的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可以表示成一個(gè)有理數(shù)與一個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積，即。Gauss引理兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式。定理4.8.1

如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定可以分解兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。推論4.8.2設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且是本原多項(xiàng)式，如果，其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。那么定理4.8.3設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.而是它的一個(gè)有理根，其中互素，那么(1)；特別如果的首項(xiàng)系數(shù)，那么的有理根都是整根，而且是的因子。(2)其中是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。定理4.8.4(艾森斯坦(Eisenstein)判別法)

設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。若有一個(gè)素?cái)?shù)，使得1.2.3.則多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。有理數(shù)域上存在任意次的不可約多項(xiàng)式。其中是任意正整數(shù)。

例如§4.9

多元多項(xiàng)式教學(xué)目標(biāo)了解多元多項(xiàng)式的定義，會(huì)對(duì)多元多項(xiàng)式進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。重點(diǎn)多元多項(xiàng)式的概念、多元多項(xiàng)式函數(shù)。難點(diǎn)多元多項(xiàng)式的概念、多元多項(xiàng)式函數(shù)?！?.9

多元多項(xiàng)式令為數(shù)域，是個(gè)文字。形如的表達(dá)式（其中），叫做數(shù)域上的單項(xiàng)式，為系數(shù)。上的個(gè)文字的單項(xiàng)式總可以看成

個(gè)文字的單項(xiàng)式。一些單項(xiàng)式用加號(hào)連接起來(lái)得到：叫做上個(gè)文字的多項(xiàng)式。用符號(hào)，等表示上個(gè)文字的單項(xiàng)式。同類項(xiàng)：與叫做同類項(xiàng)。元多項(xiàng)式中不含同類項(xiàng)；次數(shù)：

單項(xiàng)式的次數(shù)：的次數(shù)為多項(xiàng)式的次數(shù)：

出現(xiàn)在這個(gè)多項(xiàng)式里一切不為零的單項(xiàng)式的次數(shù)最大者。零次多項(xiàng)式無(wú)次數(shù)。多項(xiàng)式的加法定義：對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加。由加法定義知：。乘法定義：利用分配律，字母相同指數(shù)相加系數(shù)相乘，然后合并同類項(xiàng)。加法、乘法運(yùn)算規(guī)律：（1）（加法結(jié)合律）；{}gfgf,max)(￡+?（2）（加法交換律）；（3）（乘法結(jié)合律）；（4）（乘法交換律）；（5）（分配律）。多項(xiàng)式環(huán)的負(fù)多項(xiàng)式：把的所有的系數(shù)都換成各自的相反數(shù)。記作：。減法：數(shù)域上元多項(xiàng)式可記為：元多項(xiàng)式的運(yùn)算同中學(xué)所學(xué)完全一樣，只是這里的是個(gè)文字。。字典排列法：設(shè)是數(shù)域上的元多項(xiàng)式。設(shè)（1）（2）是的兩個(gè)不同的項(xiàng)，那么中至少有一個(gè)不等于零。如果存在使得，但稱項(xiàng)（1）大于項(xiàng)（2）對(duì)于多項(xiàng)式總是一個(gè)大于（或小于）另一個(gè)的。若項(xiàng)（1）大于項(xiàng)（2），而項(xiàng)（2）大于項(xiàng)：（3）那么（1）也大于（3）。這樣只要把大的項(xiàng)排在前面就可以確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的次序了。這就是多項(xiàng)式的字典排列法。定理4.9.1

次齊次多項(xiàng)式——

次齊式、的首項(xiàng)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式首項(xiàng)的乘積，兩個(gè)

非零多項(xiàng)式的乘積也不等于零。若，那么就是一個(gè)次齊式。定理4.9.2

證明：設(shè)則它們所確定的函數(shù)與也相等，反之也成立。定理4.9.3那么。若，都有對(duì)實(shí)施數(shù)學(xué)歸納法：

設(shè)推論4.9.4，如果對(duì)任意的都有：那么。、設(shè)§4.10對(duì)稱多項(xiàng)式教學(xué)目標(biāo)了解多元對(duì)稱多項(xiàng)式的定義，會(huì)對(duì)多元對(duì)稱多項(xiàng)式進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。重點(diǎn)多元對(duì)稱多項(xiàng)式的定義、性質(zhì)及應(yīng)用。難點(diǎn)多元對(duì)稱多項(xiàng)式的性質(zhì)及應(yīng)用?！?.10對(duì)稱多項(xiàng)式定義4.10.1

對(duì)的一個(gè)排列：。一般。

設(shè)，如果對(duì)的任意一個(gè)排列：均有，則稱是數(shù)域上元對(duì)稱多項(xiàng)式。如果對(duì)稱多項(xiàng)式含，則也一定含（是的一個(gè)排列）。設(shè)——元對(duì)稱多項(xiàng)式引理4.10.1設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)元多項(xiàng)式，以