新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第30講 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用（原卷版）

第30講圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________知識(shí)梳理1.判斷直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線(xiàn)l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線(xiàn)C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＞0時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交；Δ＝0時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切；Δ＜0時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相離.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線(xiàn)，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行；若C為拋物線(xiàn)，則直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合.2.對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線(xiàn)和橢圓有交點(diǎn).3.弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線(xiàn)與橢圓或雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線(xiàn)方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線(xiàn)的斜率.4.弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓或雙曲線(xiàn)相交于A(yíng)(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).考點(diǎn)和典型例題1、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系【典例1-1】直線(xiàn)SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【典例1-2】過(guò)SKIPIF1<0且與雙曲線(xiàn)SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【典例1-3】斜率為SKIPIF1<0的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，且與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則三角形SKIPIF1<0的面積是（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-4】（多選）已知雙曲線(xiàn)SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則（

）A．若雙曲線(xiàn)C為等軸雙曲線(xiàn)，則直線(xiàn)SKIPIF1<0的斜率與直線(xiàn)SKIPIF1<0的斜率之積為1B．若雙曲線(xiàn)C為等軸雙曲線(xiàn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若P為焦點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則C的離心率為SKIPIF1<0D．延長(zhǎng)SKIPIF1<0交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)Q，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【典例1-5】（多選）已知拋物線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過(guò)其準(zhǔn)線(xiàn)上的點(diǎn)SKIPIF1<0作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線(xiàn)SKIPIF1<0的斜率為2 D．SKIPIF1<0面積的最小值為42、中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例2-1】（2022·江蘇·高二）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作一條傾斜角為SKIPIF1<0的直線(xiàn)與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0為線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則橢圓SKIPIF1<0的離心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-2】（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線(xiàn)C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過(guò)F的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則C的離心率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-3】（河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)文科試題）已知拋物線(xiàn)C：SKIPIF1<0，直線(xiàn)l與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則直線(xiàn)l的斜率為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．－3【典例2-4】（多選）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0是直線(xiàn)SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則（

）A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0 B．橢圓SKIPIF1<0的短軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為SKIPIF1<0【典例2-5】（多選）（2021·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）過(guò)M（1，1）作斜率為2的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)SKIPIF1<0相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若M是AB的中點(diǎn)，則下列表述正確的是（

）A．b<a B．漸近線(xiàn)方程為y=±2xC．離心率SKIPIF1<0 D．b>a3、圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程及其離心率；(2)若SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上第一象限的點(diǎn)，直線(xiàn)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo).【典例3-2】（2022·陜西咸陽(yáng)·二模（文））已知拋物線(xiàn)SKIPIF1<0，過(guò)焦點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于M、N兩點(diǎn)，SKIPIF1<0.(1)求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，且SKIPIF1<0，求證：直線(xiàn)SKIPIF1<0的垂直平分線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn).【典例3-3】（2021·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)SKIPIF1<0的其中一個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，一條漸近線(xiàn)方程為SKIPIF1<0（1）求雙曲線(xiàn)SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為SKIPIF1<0的直線(xiàn)SKIPIF1<0與雙曲線(xiàn)SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程.【典例3-4】（2020·山東·高考真題）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中點(diǎn)SKIPIF1<0為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，如圖所示.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線(xiàn)SKIPIF1<0與拋物線(xiàn)交于SKIPIF1<0，SKIPIF1