新高考一輪復(fù)習(xí)核心考點講與練考點19 直線和圓的方程原卷版

考點19直線和圓的方程（核心考點講與練）一、直線與方程1.直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角.(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π).2.直線的斜率(1)定義：直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線斜率不存在.(2)計算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).若直線的傾斜角為θ(θ≠eq\f(π,2))，則k＝tan__θ.3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線兩條直線的位置關(guān)系1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.2.兩直線相交直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng).相交?方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；平行?方程組無解；重合?方程組有無數(shù)個解.3.距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).圓的方程1.圓的定義和圓的方程定義在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相離d>rΔ<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個圓的半徑分別為R，r，R＞r，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解公切線條數(shù)432101.求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率k＝tanα的取值范圍．(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．求傾斜角時要注意斜率是否存在．2.已知兩直線的一般方程兩直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系數(shù)A1，B1，C1，A2，B2，C2與垂直、平行的關(guān)系：A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0?l1∥l2.3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法：(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．4.求圓的弦長的常用方法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則()2＝r2－d2.(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：設(shè)直線與圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)當(dāng)兩圓相交時求其公共弦所在直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個圓和這條直線就可以求出公共弦長．6.在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計算，這樣既簡單又不容易出錯．直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）若圓SKIPIF1<0的弦MN的中點為SKIPIF1<0，則直線MN的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.（2021天津市第七中學(xué)月考）已知直線l的方程為SKIPIF1<0，則直線l的傾斜角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（2022·天津南開·一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·山東濰坊·二模）已知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．－35．（2022·北京豐臺·二模）已知雙曲線C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以線段SKIPIF1<0為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點M，且點M在第一象限，SKIPIF1<0與另一條漸近線平行．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題6．（2022·湖南衡陽·二模）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.請解決下面問題：已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在第一象限上的點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延長線上，點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平分線，則下列正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的角平分線所在直線的傾斜角為SKIPIF1<0三、填空題7.（2021年1月新高考八省聯(lián)考卷）若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．8．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0圖象上，點SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，設(shè)向量SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，則SKIPIF1<0的最大值是______．四、解答題9．（2022·北京豐臺·二模）已知橢圓C：SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，P到橢圓C的兩個焦點的距離和為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，R為PQ的中點，作PQ的平行線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，直線AQ與橢圓C交于另一點M，直線BQ與橢圓C交于另一點N，求證：M，N，R三點共線．兩直線的位置關(guān)系1.（2021黑龍江省實驗中高三檢測）已知直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相平行，則實數(shù)SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0直線與圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2022·河南河南·三模（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上兩點，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知圓C：SKIPIF1<0，若直線l：ax－y＋1－a＝0與圓C相交于A，B兩點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<03.（2021內(nèi)蒙古赤峰二中高三第一次月考）圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0有公共點的充要條件是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<04.（2022廣西南寧市高三摸底測試）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則m的值為（）A.3或SKIPIF1<0 B.1或SKIPIF1<0C.0或4 D.SKIPIF1<0或05.（2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點）圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對稱，則SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的最小值是（）A．2SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、多選題6．（2022·遼寧鞍山·二模）已知M為圓C：SKIPIF1<0上的動點，P為直線l：SKIPIF1<0上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l與圓C相切 B．直線l與圓C相離C．|PM|的最大值為SKIPIF1<0 D．|PM|的最小值為SKIPIF1<07．（2022·海南?？凇つM預(yù)測）已知a>0，圓C：SKIPIF1<0，則（

）A．存在3個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切B．存在2個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等C．存在2個不同的a，使得圓C過坐標(biāo)原點D．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線SKIPIF1<0平分8．（2022·重慶·二模）已知點SKIPIF1<0，過直線SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線，切點分別為SKIPIF1<0，則（

）A．以線段SKIPIF1<0為直徑的圓必過圓心SKIPIF1<0B．以線段SKIPIF1<0為直徑的圓的面積的最小值為SKIPIF1<0C．四邊形SKIPIF1<0的面積的最小值為4D．直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距的絕對值之和的最小值為4三、填空題9.（2021浙江省高三高考數(shù)學(xué)預(yù)測卷（二））已知直線SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為______，動直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得弦長的最小值為______．四、解答題10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為SKIPIF1<0.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且SKIPIF1<0，求a.圓與圓的位置關(guān)系1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0截直線SKIPIF1<0所得線段的長度是SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離2.（2021江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)高三第一次階段考試）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍為________．直線與圓的綜合問題1.過x軸上一點P向圓SKIPIF1<0作圓的切線，切點為A、B，則SKIPIF1<0面積的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02.（2020北京市北京二中高三12月份月考）動點SKIPIF1<0與給定的邊長為1的正方形在同一平面內(nèi)，設(shè)此正方形的頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（逆時針方向），且SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡是________；SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點的最大距離為________．1.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若SKIPIF1<0，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線2.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））已知圓SKIPIF1<0，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.43.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））若直線l與曲線y=SKIPIF1<0和x2+y2=SKIPIF1<0都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1 B.y=2x+SKIPIF1<0 C.y=SKIPIF1<0x+1 D.y=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<04.（2021年全國高考甲卷）拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O．焦點在x軸上，直線l：SKIPIF1<0交C于P，Q兩點，且SKIPIF1<0．已知點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與l相切．（1）求C，SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0是C上的三個點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與SKIPIF1<0相切．判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并說明理由．一、單選題1．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為A，SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的點.若SKIPIF1<0軸，則以SKIPIF1<0為直徑的圓截直線SKIPIF1<0所得的弦長為(

)A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<02．（2022·江西南昌·二模（文））已知直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，則m=（

）A．-2 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<03．（2022·天津河西·一模）拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線與圓SKIPIF1<0相交于A，B兩點，則SKIPIF1<0（

）．A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<04．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知直線SKIPIF1<0恒過定點M，點N在曲線SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0（O為坐標(biāo)原點），則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））直線SKIPIF1<0平分圓SKIPIF1<0的周長，過點SKIPIF1<0作圓C的一條切線，切點為Q，則SKIPIF1<0（

）A．5 B．4 C．3 D．26．（2022·山西臨汾·三模（理））已知直線l過圓SKIPIF1<0的圓心，且與直線2x＋y－3＝0垂直，則l的方程為（

）A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0二、多選題7．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)二模）已知直線l過點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知直線l過點（3，4），點A（－2，2），B（4，－2）到l的距離相等，則l的方程可能是（

）A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝09．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知Р是圓SKIPIF1<0上的動點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點Q，則（

）A．SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與圓O相切C．直線SKIPIF1<0與圓O截得弦長為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0長最大值為SKIPIF1<010．（2022·湖北·二模）設(shè)動直線SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于A，B兩點（點C為圓心），則下列說法正確的有（

）A．直線l過定點SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時，SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0最小時，其余弦值為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值為2411．（2022·廣東深圳·二模）P是直線SKIPIF1<0