高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 一 3 第3講 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用學(xué)案-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第3講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用

居圈圖固

年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析

卷I函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義?個(gè)1.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的

2018卷II考查，多在選擇、填空題中出

導(dǎo)數(shù)的幾何意義?TI3

卷III導(dǎo)數(shù)的幾何意義?T"現(xiàn)，難度較小，有時(shí)出現(xiàn)在解

利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的答題的第一問.

卷I

2.高考重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，

2017零點(diǎn)?T21

卷II利用導(dǎo)數(shù)求極值?Tu即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

卷I導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象性、極值、最值問題，多在選

函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義?*5擇、填空題的后幾題中出現(xiàn)，

難度中等，有時(shí)出現(xiàn)在解答題

的第一問.

2016

卷m3.近幾年全國課標(biāo)卷對(duì)定積

利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)?T21(1)

分及其應(yīng)用的考查極少，題目

一般比較簡單，但也不能忽

略.

考點(diǎn)突破?T夯實(shí)核心知識(shí)，突破重難ni領(lǐng)"卜

考點(diǎn)一

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義(綜合型)

fl導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)f(x)在旅處的導(dǎo)數(shù)是曲線/Xx)在點(diǎn)P(x0,f(x。))處的切線的斜率，曲線f(x)在點(diǎn)

P處的切線的斜率4=，(加，相應(yīng)的切線方程為y-f(劉)=/(加?5一m).

@4個(gè)易誤導(dǎo)數(shù)公式

(1)(sinx)'—cosx.

(2)(cosx)'=—sinx.

(3)(a")'=alna(a>0且a#l).

(4)(log”x)'=-p—(a>0且a#1).

xlna

［典型例題］

一,(nn、

廁1]⑴若曲線F(x)=xsinx+1在點(diǎn)(萬，萬+1J處的切線與直線ax—2y+i=0互

相垂直，則實(shí)數(shù)a=()

A.12B.2

C.1D.-1

(2)直線/與曲線y=e'及尸一"/都相切,

則直線1的方程為________.

【解析】(1)因?yàn)閒(x)=xsinx+1,

所以f(x)=sinx+xcosx,

所以f，〔司萬十5cos5=L

因?yàn)橹本€ax-2y+1=0的斜率為《，

所以「仔卜怖=一1,

解得d=-2,故選A.

(2)設(shè)直線1與曲線尸e,的切點(diǎn)為(劉,e'。)，直線，與曲線y=的切點(diǎn)為

因?yàn)槭琫,在點(diǎn)(施，e'。)處的切線的斜率為y'|L%=e'。，y=一今在點(diǎn)(司，一號(hào))處的切

則直線1的方程可表示為y=e*。*—xoe'o+e"?；騳=—為x+所以

..X\

e0=---,

2，

—Abe"+e"=寧，

所以e%o=l—%o,解得刖=0.所以直線1的方程為y=x+l.

【答案】(1)A(2)y=x+l

蒯倒回囹

(1)求曲線y=f^的切線方程的3種類型及方法

①已知切點(diǎn)〃(崗，％),求切線方程

求出切線的斜率/(劉)，由點(diǎn)斜式寫出方程.

②已知切線的斜率h求切線方程

設(shè)切點(diǎn)必X。，㈤，通過方程衣=f'(加)解得施，再由點(diǎn)斜式寫出方程.

③已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求切線方程

設(shè)切點(diǎn)y。),利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率F(施)，再由斜率公式求得切線斜率，列方

程(組)解得刖，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.

(2)兩曲線f{x),g(x)的公切線1的方程的求解關(guān)鍵

①設(shè)點(diǎn)求切線，即分別設(shè)出兩曲線的切點(diǎn)的坐標(biāo)(加，F(xiàn)(x。))，(不，久幻)，并分別求出

兩曲線的切線方程.

②建立方程組，即利用兩曲線的切線重合，則兩切線的斜率及在y軸上的截距都分別相

等，得到關(guān)于參數(shù)的，小的方程組，解方程組，求出參數(shù)劉，小的值.

③求切線方程，把所求參數(shù)的值代入曲線的切線方程中即可.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

1.(一題多解)(2018?高考全國卷I)設(shè)函數(shù)/U)=x3+(a-l)x2+ax.若/U)為奇函

數(shù)，則曲線尸/■(%)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()

A.y——2xB.y——x

C.y=2xD.y=x

解析：選D.法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=f+(a—Dx'+ax為奇函數(shù)，所以f(—x)=-f(x),

所以(-x)3+(a—1)(—x),+a(—x)=—[f+(a—i)?f+ax],所以2(a—1)*2=0,

因?yàn)閤dR,所以a=l,所以f(x)=x*+x,所以/(外=33+1,所以F(0)=1,所以曲

線y=F(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為尸x.故選D.

法二：因?yàn)楹瘮?shù)/■(矛)=某+(2—1)/+@犬為奇函數(shù)，所以/■(一1)+/、(1)=0,所以一1

+a—1—a+(l+a—1+a)—0>解得a=l,所以/1(x)=x'+x,所以f'(%)—3%+1,所以

f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為了=無故選D.

2.(2018?合肥第一次質(zhì)量檢測)已知直線2x-y+l=0與曲線y=ae'+x相切(其中e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)a的值是()

1

A.-B.1

C.2D.e

解析：選B.由題意知y'=ae'+l=2,則a>0,/=—Ina,代入曲線方程得y=1—In

a,所以切線方程為y—(1—Ina)=2(x+lna),即y=2x+lna+l=2x+l=a=L

考點(diǎn)㈡

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(綜合型)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

(1)F(*)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)=*3在(-8,+8)上

單調(diào)遞增，但F(x)20.

(2)r(x)20是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=

。時(shí)，則/'(*)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性.

［典型例題］

，命題角度一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性

麗已知函數(shù)/■(x)=ln(x+l)--:二三,且l<a<2,試討論函數(shù)Hx)的單調(diào)性.

\.XI1)

x(X——Oo-LQ)

【解】函數(shù)A*)的定義域?yàn)?—1,+8),f(X)=一(希產(chǎn),X>-1.

3

①當(dāng)一1<2/一3<0,即/水,時(shí)，

當(dāng)一1<京2之-3或x>0時(shí)，r(x)〉0,F(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)2a—3<x<0時(shí)，ff(x)<0,/'(x)單調(diào)遞減.

②當(dāng)2a—3=0,即a=5時(shí)，f(x)20,則F(x)在(一1,十8)上單調(diào)遞增.

3

③當(dāng)2a—3>0,即/水2時(shí),

當(dāng)一"水0或》2a-3時(shí)，f(x)〉0,則/'(*)在(-1,0),(2a-3,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)0<x<2a-3時(shí)，f'(x)<0,則/'(x)在(0,2a-3)上單調(diào)遞減.

3

綜上，當(dāng)1<水/時(shí)，f(x)在(-1,2a-3),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(2a—3,0)上單

調(diào)遞減；當(dāng)@='時(shí)，f(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)萬〈a<2時(shí)，f(x)在(-1,0),(2a

-3,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2a—3)上單調(diào)遞減.

回倒癰因

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的三種方法

(1)當(dāng)不等式/(x)>0或/(*)<0可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解不等式F(*)>

?；?(x)<0求出單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)方程F(x)=0可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解方程F(x)=0,求出實(shí)數(shù)根，

把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即Ax)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和實(shí)根按從小到大的順序排列起來，把

定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，確定F(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.

(3)不等式，(x)>0或，(x)<0及方程f'(x)=0均不可解時(shí)求導(dǎo)數(shù)并化簡，根據(jù)

f'(x)的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)的基本初等函數(shù)，利用其圖象與性質(zhì)確定〃(x)的符號(hào)，得

單調(diào)區(qū)間.

，命題角度二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

洌3：已知函數(shù)/'(才)2alnx+(a—2)x.

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)—ax在(0,+8)上單調(diào)遞增？若存在，求出。

的取值范圍；若不存在，說明理由.

【解】(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=^2+21nx—3x,

.//、2x—3x+2(x—1)(x—2)

則f(x)=x+一-3=--------=-----------------.

XXX

當(dāng)OCKl或x>2時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<X<2時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

所以F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)與(2,+8),單調(diào)減區(qū)間為(1,2).

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使g(x)=F(x)—?在(0,+8)上是增函數(shù)，

9a

所以g'(才)=/(x)—@=X一：一220恒成立.

J—OY—OO

即^~-一在xe(0,+8)上恒成立.

X

所以x-2x-2a^o當(dāng)x>0時(shí)恒成立，

所以2x)=；(x—I)?-g恒成立.

又O(x)=；(x—I)?一/(0,+8)的最小值為一g.

所以當(dāng)a<一時(shí)，g'(*)對(duì)恒成立.

1(x—1)2

又當(dāng)a=-g'(x)=―:---當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，g'(x)=0.

故當(dāng)ae(—8,一；時(shí)，名(_￥)=/'(4)一2*在(0,+8)上單調(diào)遞增.

網(wǎng)倒癰囹

(1)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件F(X)、。(或f(x)W0),%e

(a,6)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取

值是￡(X)不恒等于0的參數(shù)的范圍.

(2)若函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(a,⑸上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為/?'(x)=0在(a,6)上有解.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

1.若函數(shù)f(x)=(x+a)e”在區(qū)間(0,+8)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,—1)B.(—8,0)

C.(-1,0)D.［-1,+8)

解析：選A.F(x)=e、(x+a+l),由題意，知方程e*(x+a+l)=0在(0,十8)上至

少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即x=一口一1>0,解得水一1.

2.若函數(shù)『(0=1—4/一數(shù)在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

解析：因?yàn)閒{x)=x—ie—ax,所以f1(x)=2x—4B”—a由題意，f1(x)=2x—4e"

—a>0,即水2x—4e'有解，即水(2x—4。)皿即可.令g(x)=2x—4e",貝Ug'(x)=2-4e'.

令g'(x)=0,解得x=—In2.當(dāng)(—8,—In2)時(shí)，函數(shù)g(x)=2x—4e‘單調(diào)遞增；

當(dāng)/￡(—ln2,+8)時(shí)，函數(shù)g(x)=2x—4e、單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=—In2時(shí)，g(x)=2x

—4e,取得最大值一2—21n2,所以水一2—21n2.

答案：(-8,-2-21n2)

3.已知函數(shù)F(x)=e%e"—a)——必討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性.

解:函數(shù)—的定義域?yàn)?-8,4-oo),f(x)=2e2x—aex—a=(2ex+a)(ex-a).

①若d=0,則以才)=。2、在(-8,+8)上單調(diào)遞增.

②若a>0,則由/(%)=0,得x=lna.

當(dāng)(-oo,ina)時(shí)，fU)<0；

當(dāng)xW(Ina,+8)時(shí)，ff(A)>0.

故F(x)在(-8,ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

③若a<0,則由f!(x)=0,

得x=ln(-9

當(dāng)xe(—8,1《一9)時(shí)，r(x)〈o；

當(dāng)xW(lr)d+8)時(shí),fr(x)>0；

故F(x)在(一8,In卜上單調(diào)遞減,

在3,+8)上單調(diào)遞增.

考點(diǎn)㈢

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)問題(綜合型)

函數(shù)『(*)在點(diǎn)及附近有定義，若在施附近左側(cè)F(x)〉0,右側(cè)/UXO,則汽施)為

函數(shù)/■(?的極大值；若在崗附近左側(cè)FUXO,右側(cè)/(才)>0,則/"(加為函數(shù)/'(X)的極

小值.

［典型例題］

13命題角度一求函數(shù)的極值或最值

瞰可已知函數(shù)/"(x)=af—(a+2)x+lnx,其中a@R.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線尸f(x)在點(diǎn)(1,AD)處的切線方程；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)在區(qū)間［1,e］上的最小值為-2,求a的取值范圍.

【解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/>(X)=/—3x+lnx(x>0),

1lx—3x+l

所以f(x)=2x-3-1--=-------->

xx

所以，1)=-2,f(1)=0.所以切線方程為y=-2.

(2)函數(shù)/1(x)=af—(a+2)x+lnx的定義域?yàn)?0,+°°),

、,，.\,1lax—(a+2)x+1(2x—1)(ax—1)

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=2ax—(a+2)+-=----------------=-----------------,

XXX

號(hào)f(x)=0,解得X=<或x—~.

2a

①當(dāng)oJwi,即a》l時(shí)，F(xiàn)(x)在［1,e］上單調(diào)遞增.

a

所以f(x)在［1,e］上的最小值為1(1)=-2,符合題意；

②當(dāng)l<Le,即La〈l時(shí)，/"(X)在「1,」上單調(diào)遞減，在卜，e］上單調(diào)遞增，所以F(x)

aeLLa

在［1,e］上的最小值為2,不合題意.

③當(dāng)即時(shí)，f(x)在［1,e］上單調(diào)遞減，

ae

所以f(x)在［1,e］上的最小值為f(e)〈f(l)=-2,不合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

回倒困囹

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法

(1)若求極值，則先求方程(")=0的根，再檢查產(chǎn)(X)在方程根的左右函數(shù)值的符

號(hào).

(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f'(x)=0根的大小或存在情況來

求解.

(3)求函數(shù)F(x)在閉區(qū)間［a,3上的最值時(shí)，在求得極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函

數(shù)值f(a),f(6)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

，命題角度二已知函數(shù)的極值或最值求參數(shù)

2

廁5)已知函數(shù)g(x)=;—alnx(a￡R),f(x)=xg(x).

(1)當(dāng)》=一2時(shí);求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間g,，上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，試求a的取值范圍.

2

【解】(1)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+8),當(dāng)己=一2時(shí)，g(x)=:+21nx,gf(%)

2才一2

-4+-=(x>0).

XX

當(dāng)x￡(0,1)時(shí),g’(%)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，g，(x)>0,

此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1);單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8).

(2)f{x)=xg{x)=2x—ax\nx,其定義域?yàn)?0,+°°).

F(x)=2—a(x+2xlnx).

若a=0,則/(x)=2W0,不存在極值點(diǎn)，所以aWO.

令力(x)=F'(x)=2—a(x+2xlnx),則力'(x)=-a(3+21nx).

當(dāng)/6自，，時(shí)，3+2Inx>0,所以方'(x)>0恒成立或方'(x)<0恒成立，所以F(x)

在g，e)上是單調(diào)函數(shù).

因?yàn)?Xx)在區(qū)間Q，，上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以/(x)=0在6,，上有唯一解.

由零點(diǎn)存在性定理，得一峰'?<0=(2+"(2—36@)〈0=水一26或@卷

2

綜上所述，a的取值范圍是水一2e或力丁.

已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)

(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為。和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解

后必須驗(yàn)證根的合理性.

［提醒］若函數(shù)尸/>(%)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有極值，那么尸F(xiàn)(x)在(a,6)內(nèi)絕不是單調(diào)

函數(shù)，即在某區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

(2018,高考全國卷III)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax?)Tn(l+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)一1<KO時(shí)，Ax)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0：

(2)若x=0是fkx｝的極大值點(diǎn)，求a.

解：(1)證明:當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(2+x)ln(l+x)—2x,

V

f(x)=ln(l+x)一七一.

設(shè)函數(shù)g(x)=F(x)=ln(1+入)一百7

Y

則短(x)=E72.

當(dāng)一IVxVO時(shí)，g'(x)V0；當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0.故當(dāng)x>一1時(shí)，g(x)2g(0)=0,

且僅當(dāng)x=0時(shí)，g(x)=0,從而尸(x)20,且僅當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0.

所以/'(x)在(-1,+8)單調(diào)遞增.

又f(0)=0,故當(dāng)一IVxVO時(shí)，f{x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.

(2)3)若心0,由(1)知,當(dāng)尤>0時(shí),f(x)2(2+力?In(1+*)一知>0=F(0),這

與%=0是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾.

(ii)若aVO,設(shè)函數(shù)力(x)=2_|_a_|_^2=ln(l+%)-2+.+.?

由于當(dāng)|x|Vmin{l,時(shí)，2+矛+日/>0,故力(x)與/、(x)符號(hào)相同.

又A(0)=/(0)=0,故x=0是f(x)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0是力(x)的極大值點(diǎn).

f12(2+x+aV)-2x(l+2ax)V(a'V+4ax+6a+l)

“X1+x(2+%+ax)2(x+1)(ax+x+2)2，

如果6a+l>0,則當(dāng)OVxV一哼丑，且|x|Vmin{l,A/7^7}nt,h'(x)>0,故x

4a\l\a\

=0不是方(x)的極大值點(diǎn).

如果6a+lV0,則ax+4ax+6a+1=0存在根的VO,故當(dāng)xW(AI,0),KIx\<min{l,

時(shí)，h'(%)<0,所以x=0不是方(x)的極大值點(diǎn).

f(x—24)

如果6a+l=。，則〃(')=-°)時(shí),h'(")>

0；當(dāng)xe(o,1)時(shí)，A'(x)<0.所以x=0是力(x)的極大值點(diǎn)，從而x=0是f(x)的極大值

點(diǎn).

綜上,ab3.

■專題強(qiáng)化訓(xùn)練口

一、選擇題

1

21

-X-1n

1.函數(shù)f(x)2X的最小值為()

1

A,2B.1

C.0D.不存在

ii

解析：選A.因?yàn)椤?x)=L：=7，且

令f(x)>0,得x>l；令f(x)<0,得0<x<l.

所以F(x)在x=l處取得極小值也是最小值，且F(l)=<—In1=5

2.若直線尸ax是曲線y=21nx+1的一條切線，則實(shí)數(shù)a的值為()

1j_

A.e-2B.2e~2

11

C.e2D.2e2

解析：選B.依題意，設(shè)直線尸與曲線y=21nx+l的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo,則有/

2xo=y[e9

2a=—,

IX』=一，于是有<照解得{1

oXo

V照=21nxo+i,a=2e~2

3.已知f(x)=V+dx+31nx在(1,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

B(_8,當(dāng)

A.(―°°,—

C.[—2*\/6?+°°)D.[-5,+8)

解析：選C.由題意得f'(x)=2x+a+：=2x+，+3》0在(],+8)上恒成立=k")

=2x'+ax+320在(1,+8)上恒成立=/=才一24W0或“4o_2乖W2乖或

￡(1)20

a2—4=a2—2^\^6.

4.若函數(shù)F(x)=x+&(6GR)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，則/Xx)在下列區(qū)間上單

X

調(diào)遞增的是()

A.(-2,0)B.(0,1)

C.(1,+°°)D.(―°°,—2)

解析：選D.由題意知，f(x)=l—與

X

因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)=x+*6￡R)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，

令1—4=0,得6=*,

x

又xG(l,2),所以6e(l,4).

令f'(x)〉0,

解得X-或x>-\fb,

即f(*)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,一校)，(、僅，+8).

因?yàn)閎e(1,4),

所以(一8,—2)符合題意.

5.已知函數(shù)F(x)/〃x有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/〃的取值范圍是()

A.勿21B.加>1

C.0W/<1D.0<欣1

解析：選B.因?yàn)镕(x)=e'—一加筋所以/(x)=e"—x—勿，因?yàn)镕(x)=e*—RX

有極值點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程e、一x—卬=0有實(shí)根，且該實(shí)根使/(x)左右異號(hào)，設(shè)g(x)

=er—%,y=川,而g'(x)=e*—1,所以當(dāng)x<0時(shí)，gr(力<0；當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,所以

函數(shù)gCY)=e、-x在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)=e'

—x的極小值點(diǎn)為0,所以g(0)=1為g(x)=6*—x的最小值，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是力1,

故選B.

x3

6.已知f(x)=lng{x)——x—2ax+4,若對(duì)任意的(0,2],存在x2

G[l,2],使得f(W2g(X2)成立，則a的取值范圍是()

5

|_?

-1

AC.

-8-

(x—1)(x—3)

解析：選A.因?yàn)閒

易知，當(dāng)xG(0,1)時(shí)，f(x)〈0,當(dāng)xw(l,2]時(shí)，f(*)>0,

所以/Xx)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，

故f(x)nin—fW=(.

對(duì)于二次函數(shù)g(x)=-V—2ax+4,易知該函數(shù)開口向下，

所以g(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值在端點(diǎn)處取得，

即g(x)min=min{g(l),g(2)}.

要使對(duì)任意的x￡(0,2],存在在6[1,2],使得/"(M)2g(x2)成立，只需/'(汨)％》

g(x2)?i",

即吳g⑴且品g⑵，

所以ge—1—2d+4且g，一4一4己+4,

5

解得a]

二、填空題

7./口+加=

J1

解析：「口+力—仔+皿,卜獷1一1=寧

e2+l

答案:

2

8.(2018?高考全國卷HI)曲線y=(ax+l)e'在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則

解析：V=("+l+d)e:由曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,得/3=(ax

+1+a)eA|x=o=1+a=—2,所以a=-3.

答案：一3

9.已知函數(shù)F(x)=-V+21nx,g(x)=x+*若函數(shù)/'(x)與g(x)有相同的極值點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的值為.

22(x+1)(x—1)

解析：因?yàn)閒[x)=—x+21nx,所以f(x)=-2才+-=---------------(x>0),令

xx

f'(x)=0,得x=l或x=—1(舍去)，又當(dāng)0<京1時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x>l時(shí)，fr(%)<0,

所以x=l是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn).因?yàn)間(x)=x+*所以g1(%)=1—4.又函數(shù)F(x)與g(x)

=x+：有相同極值點(diǎn)，所以x=l也是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)，所以g'(1)=1—a=0,解得a

=1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)日=1時(shí)，函數(shù)g(x)取到極小值.

答案：1

三、解答題

4

10.已知函數(shù)f(x)=ax+x'(a￡R)在x=一可處取得極值.

(1)確定a的值；

(2)若g(x)=F(x)e',討論g(x)的單調(diào)性.

解：(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得F(x)=3af+2x,

4

因?yàn)閒(x)在x=-]處取得極值，

⑵由⑴得g(x)=(3+x)e*,

故/(x)=^x+2x\e'+&3+V卜

令g'(x)=0,解得x=0或x=—l或x=-4.

當(dāng)水一4時(shí)，g'(x)<0,

故g(x)為減函數(shù)；

當(dāng)一4〈K—1時(shí)，g'(A)>0,故屋x)為增函數(shù)；

當(dāng)一l〈x<0時(shí)，g'(x)<0,故g(x)為減函數(shù)；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,故g(x)為增函數(shù).

綜上知，g(x)在(-8,一外和(-1,0)上為減函數(shù)，在(一4,—1)和(0,+8)上為增

函數(shù).

1nV

11.已知函數(shù)/Xx)=----1.