新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)05 幾何小題-截面與球（易錯(cuò)點(diǎn)+七大題型）（原卷版）

秘籍05幾何小題-截面與球目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：線面所成角的最值【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】截面最值【題型二】球截面【題型三】線面垂直型求外接球【題型四】面面垂直型【題型五】任意二面角定球心【題型六】內(nèi)切球【題型七】棱切球型最值概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)外接球、內(nèi)切球、截面最值、軌跡相關(guān)問題立體幾何的考察主要會(huì)以截面、組合體外接球和內(nèi)切球以及軌跡動(dòng)點(diǎn)求最值等的形式來考察學(xué)生對(duì)于空間想象能力的考察，難度不小，一般會(huì)出現(xiàn)在選填的壓軸題里，也有可能出現(xiàn)在多選以多個(gè)維度去考察。這里主要對(duì)各個(gè)題型進(jìn)行總結(jié)，需要在掌握題型的基礎(chǔ)上鍛煉自己的空間想象能力。易錯(cuò)點(diǎn)：線面所成角的最值1.三余弦定理：設(shè)SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過SKIPIF1<0的斜線SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為面上的一條直線，則SKIPIF1<0說明：線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線的所成角的最小值，即線面角是線線角的最小值，又稱最小角定理.2.三正弦定理：設(shè)二面角SKIPIF1<0的度數(shù)為SKIPIF1<0，在平面上SKIPIF1<0上有一條射線SKIPIF1<0，它和棱SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，和平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0說明：二面角是半平面內(nèi)的一條直線與另一半平面所成線面角的最大值，即二面角是線面角的最大值.例（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿BD折起至SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與AD所成角最大時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式1：（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AM與SKIPIF1<0所成角為45°時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型一】截面最值求截面方法：平行線法：（1）利用兩條平行線確定一個(gè)平面，（2）一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，交線平行相交線法：兩條相交直線確定一個(gè)平面若兩個(gè)相交平面中一條直線與棱不平行，則與棱的交點(diǎn)，也在另一個(gè)平面內(nèi)【例1】（多選）（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，過棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)作正方體的截面，則（

）A．截面多邊形的周長為SKIPIF1<0B．截面多邊形的面積為SKIPIF1<0C．截面多邊形存在外接圓D．截面所在平面與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0【例2】（多選）（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作正方體的截面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在截面SKIPIF1<0內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長度為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【例3】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家GeminadDandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側(cè)面?截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成SKIPIF1<0角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為．

【變式1】（多選）（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，M，N分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0一定是異面直線B．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值的最大值為SKIPIF1<0D．過M，N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為SKIPIF1<0【變式2】（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）在正四面體SKIPIF1<0中，M為PA邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則SKIPIF1<0；若記該正四面體和其外接球的體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式3】（2024·山東日照·一模）已知正四棱錐SKIPIF1<0的所有棱長都為2；點(diǎn)E在側(cè)棱SC上，過點(diǎn)E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形H，則H的邊數(shù)至多為，H的面積的最大值為．【題型二】球截面用一個(gè)平面SKIPIF1<0去截球，若平面SKIPIF1<0經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面SKIPIF1<0不經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面?！纠?】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球SKIPIF1<0所得截面圓的半徑為2，且球心SKIPIF1<0到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．【例2】（2024·陜西西安·三模）如圖，已知球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的表面上，SKIPIF1<0，連接球心SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，沿半徑SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0使得點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)到球面上的點(diǎn)SKIPIF1<0處，若此時(shí)SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0所在截面圓的距離為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為．

【變式1】（2024·貴州畢節(jié)·一模）如圖所示，圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的兩個(gè)截面圓，且兩個(gè)截面互相平行，球心SKIPIF1<0在兩個(gè)截面之間，記圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的半徑分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在該球面上，若兩個(gè)圓錐的高之比為SKIPIF1<0，它們的體積之和為SKIPIF1<0，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個(gè)被后人稱作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積SKIPIF1<0（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學(xué)制作了一個(gè)工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長為4的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個(gè)球去掉了6個(gè)球冠后剩下的部分.若其中一個(gè)截面圓的周長為SKIPIF1<0，則該工藝品的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型三】線面垂直型求外接球線面垂直型：存在一條棱垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）1.模板圖形原理圖1圖22.計(jì)算公式SKIPIF1<0【例1】（2024·湖南·二模）如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則此四面體的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】（23-24高三下·山西·階段練習(xí)）在棱長為4的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0外接球半徑的最小值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例3】（多選）（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四面體SKIPIF1<0的底面是以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，其體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0體積最大B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0D．四面體SKIPIF1<0的外接球球心是SKIPIF1<0，且其體積SKIPIF1<0【變式1】（23-24高三上·浙江寧波·期末）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該四面體的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（多選）（23-24高三上·江蘇·期末）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0的外接球?yàn)榍騉，則（

）A．SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．點(diǎn)O不可能在平面SKIPIF1<0內(nèi)【變式3】（多選）（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）四棱錐SKIPIF1<0的底面為正方形，SKIPIF1<0與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，則（

）A．不存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．四棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0 D．點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0【題型四】面面垂直型包含了面面垂直一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，可以對(duì)兩平面都用正弦定理來定球心?！纠?】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)此立體圖形體積最大時(shí)，其外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0的位置，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則在三棱錐SKIPIF1<0的外接球中，以SKIPIF1<0為直徑的截面到球心的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，現(xiàn)將SKIPIF1<0沿AE向上翻折，使SKIPIF1<0點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0B．存在點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積最大值為SKIPIF1<0D．當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積為4π【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）將菱形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折起，當(dāng)四面體SKIPIF1<0體積最大時(shí)，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為．【變式3】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)Q為三棱錐SKIPIF1<0外接球O上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離的最大值為SKIPIF1<0，則球O的體積為.【題型五】任意二面角定球心1.等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；2.直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線，必過球心；3.許多情況下，會(huì)和二面角結(jié)合?！纠?】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知空間四面體SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則該四面體外接球體積的最小值為．【例2】（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起來，使頂點(diǎn)SKIPIF1<0移至點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，在折起的過程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在某個(gè)位置使得SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0為等邊三角形時(shí)，SKIPIF1<0C．當(dāng)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積為SKIPIF1<0D．設(shè)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0【變式1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，若三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心O到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【變式3】（2022·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）把SKIPIF1<0沿三條中位線折疊成四面體SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型六】內(nèi)切球椎體的內(nèi)切球，多采用體積分割法求解。可做如下對(duì)比理解三角形內(nèi)切圓SKIPIF1<0類比：三棱錐SKIPIF1<0【例1】（2023·浙江溫州·二模）如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wSKIPIF1<0的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體SKIPIF1<0棱長為SKIPIF1<0，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】（2024·青海海南·一模）已知球SKIPIF1<0是棱長為2的正方體SKIPIF1<0的內(nèi)切球，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的球面上的任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例3】（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為SKIPIF1<0，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知上底面半徑為SKIPIF1<0，下底面半徑為SKIPIF1<0的圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺(tái)的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D