串講05 統(tǒng)計（考點(diǎn)串講） (解析版)

串講05統(tǒng)計一、知識網(wǎng)絡(luò)及?？碱}型二、知識梳理知識點(diǎn)一：集中趨勢與離散程度1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為＝（－），標(biāo)準(zhǔn)差為.3.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為，則稱S2＝eq\f(1,N)為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差．如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N).4.樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．5.方差、標(biāo)準(zhǔn)差特征標(biāo)準(zhǔn)差、方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。诳坍嫈?shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．知識點(diǎn)二：一元線性回歸1一元線性回歸模型用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差，假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2Y=bx+a+e我們稱它為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.2線性回歸方程對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為x1,y1,x2,yb我們將y=bx+a稱為Y備注線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)(x3殘差分析通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的y稱為預(yù)測量，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差，殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判定原始數(shù)據(jù)是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的工作稱為殘差分析.通過觀察殘差圖可以直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假設(shè)，那殘差應(yīng)是均值為0，方差為σ2的隨機(jī)變量的觀測值4比較模型的擬合效果(i)殘差平方和殘差平方和Q=i=1n(ii)相關(guān)指數(shù)RRR2越大，殘差平方和i=1n四、?？碱}型探究考點(diǎn)一集中趨勢與離散程度1．下列說法錯誤的是()A．一個樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不可能是同一個數(shù)B．統(tǒng)計中，我們可以用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)C．樣本平均數(shù)既不可能大于也不可能小于這個樣本中的所有數(shù)據(jù)D．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢【答案】A【解析】用樣本估計總體情況時，在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一個數(shù)，例如：數(shù)據(jù)10,11,11,11,11,11,12的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是11，故選：A.2．一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A．14,14B．12,14C．14,15.5 D．12,15.5【答案】A【解析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.，故選：A.3．已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】D【解析】由題意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a，故選：D.4．我校在科技文化節(jié)活動中，8位評委給某個節(jié)目的評分各不相同，去掉1個最高分和1個最低分，剩下的6個評分與原始的8個評分相比一定不發(fā)生變化的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．眾數(shù)【答案】B【解答】根據(jù)題意，從8個原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到6個有效評分．6個有效評分與8個原始評分相比，中位數(shù)一定不發(fā)生變化，故選：B．5．在一次科技作品制作比賽中，某小組六件作品的成績（單位：分）分別是：7，10，9，8，7，9，對這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A．平均數(shù)是8 B．中位數(shù)8.5 C．眾數(shù)是8 D．極差是4【答案】B【解答】A．平均數(shù)為＝，故本選項不合題意；B．中位數(shù)為＝8.5，故本選項符合題意；C．眾數(shù)是7和9，故本選項不合題意；D．極差為10﹣7＝3，故本選項不合題意；故選：B．6．兩年前，某校七（1）班的學(xué)生平均年齡為13歲，方差為4，若學(xué)生沒有變動，則今年升為九（1）班的學(xué)生年齡中（）A．平均年齡為13歲，方差改變B．平均年齡為15歲，方差不變C．平均年齡為15歲，方差改變D．平均年齡不變，方差不變【答案】B【解析】由題意知七年級（1）班全體學(xué)生的人數(shù)沒有變化，而每位同學(xué)的年齡都增加了2歲，∴今年升為九（1）班的學(xué)生的平均年齡增加2歲，即15歲，又∵學(xué)生的年齡波動幅度沒有變化，∴今年升為九（1）班的學(xué)生年齡的方差不變，仍然為4，故選：B．7．一組數(shù)據(jù)23，27，20，18，x，12，它們的中位數(shù)是21，則x=___________，已知一個樣本－1，0，2，x，3，它們的平均數(shù)是2，則這個樣本的方差為s2＝_______．【答案】

22

6【解析】（2）根據(jù)題意和中位數(shù)的定義，21是最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)，∵16，18，20都比中位數(shù)21小，∴x排在20后面，∵20與23的平均數(shù)大于21，∴x排在23前面，∴該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：12，18，20，x，23，27，∴，解得，故答案為：22；（2）∵樣本－1，0，2，x，3的平均數(shù)是2，∴，解得，∴故答案為：6．8．已知一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，以下說法錯誤的是（

）A．極差是5 B．眾數(shù)是8 C．中位數(shù)是9 D．方差是2.8【答案】C【解析】一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，，解得，這組數(shù)據(jù)為：5，8，8，9，10，極差為10-5=5，故A選項正確，不符合題意；眾數(shù)是8，故B選項正確，不符合題意；中位數(shù)是8，故C選項錯誤，符合題意；方差=，D選項正確，不符合題意；故選C．9．李老師為了了解學(xué)生暑期在家的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了20名學(xué)生某一天的閱讀小時數(shù)，具體情況統(tǒng)計如表：閱讀時間（小時）22.533.54學(xué)生人數(shù)（名）12863則關(guān)于這20名學(xué)生閱讀小時數(shù)的說法正確的是（）A．中位數(shù)是3 B．平均數(shù)是3.3 C．眾數(shù)是8 D．極差是7【答案】A【解答】A、隨機(jī)調(diào)查了20名學(xué)生，所以中位數(shù)是第10個和第11個學(xué)生的閱讀小時數(shù)，都是3，故中位數(shù)是3，所以此選項符合題意；B、均數(shù)＝＝3.2，所以此選項不合題意；C、由統(tǒng)計表得：眾數(shù)為3，不是8，所以此選項不合題意；D、極差是4﹣2＝2，所以此選項不合題意；故選：A．10.已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案B解析eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s＝eq\r(\f(1,5)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32)))＝eq\r(2)11．若樣本x1，x2，x3，?，xn的平均數(shù)為8，方差為4，則對于樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為8，方差為1 B．平均數(shù)為5，方差為1 C．中位數(shù)變小，方差不變 D．眾數(shù)不變，方差為4【答案】C【解析】∵樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為8，方差為4，∴樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均數(shù)為5，方差為4，眾數(shù)和中位數(shù)變小，故選：C．12．一組數(shù)據(jù)的方差計算公式為，則這組數(shù)據(jù)的方差是．【答案】【解析】平均數(shù)為：，故方差是：，故答案為：．13．如果有一組數(shù)據(jù)-2，0，1，3，的極差是6，那么的值是．【答案】4或-3【解析】∵3-（-2）=5，一組數(shù)據(jù)-2，0，1，3，x的極差是6，∴當(dāng)x為最大值時，x-（-2）=6，解得x=4；當(dāng)x是最小值時，3-x=6，解得：x=-3．故答案為：4或-3．考點(diǎn)二一元線性回歸14．由變量與相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，根據(jù)樣本中心滿足線性回歸方程，則（

）A．45 B．51 C．67 D．63【答案】B【解析】由題意得，因為線性回歸方程為，所以，故選：B.15．我國西北某地區(qū)開展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對近5年投入的沙漠治理經(jīng)費(fèi)x（億元）和沙漠治理面積y（萬畝）的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示．治理經(jīng)費(fèi)x/億元34567治理面積y/萬畝1012111220根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為，因回歸方程過定點(diǎn)，將其代入，得，解得，故選：C16．根據(jù)變量與的對應(yīng)關(guān)系（如表），求得關(guān)于的線性回歸方程為，則表中的值為（

）2456830405070A．60 B．55 C．50 D．45【答案】A【解析】由表中數(shù)據(jù)，計算，，因為回歸直線方程過樣本中心，，解得，故選：A.17．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下，則y與x的線性回歸方程表示的直線必過點(diǎn)（

）x0123y1246A． B． C． D．【答案】B【解析】，．則樣本中心為，故選：B.18．在下列所示的四個圖中，兩個變量間具有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】由散點(diǎn)圖可得答案.【詳解】對于A，散點(diǎn)落在某條曲線上，兩個變量具有函數(shù)關(guān)系；對于B，散點(diǎn)落在某條直線附近，這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；對于C，散點(diǎn)落在某條曲線附近，這兩個變量具有非線性相關(guān)關(guān)系；對于D，散點(diǎn)雜亂無章，無規(guī)律可言，這兩個變量無相關(guān)性，不具有相關(guān)關(guān)系．故選：B．19．某市物價部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其售價進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：售價（元）99.510.511銷售量（件）11865已知銷售量與售價之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，且，則其中的______，樣本中心為______．【答案】

10

【詳解】解：因為回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，，，所以，整理得．又，得方程組，解得，進(jìn)而得，所以，樣本中心為．故答案為：10；20．某城市2017年到2021年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示，據(jù)此估計2022年該城市人口總數(shù)______(單位十萬).（參考數(shù)據(jù)和公式：，）年份（年）01234人口數(shù)（十萬）5781