2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入測評含解析新人教A版選修1-2

PAGE4-第三章測評(時間120分鐘,滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.計算:i(1+i)2=()A.-2 B.2 C.2i D.-2i解析i(1+i)2=i·2i=-2.答案A2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第四象限 B.第三象限C.其次象限 D.第一象限解析,其共軛復(fù)數(shù)為,對應(yīng)的點位于第一象限,故選D.答案D3.已知復(fù)數(shù)z滿意z=1+2019(其中i為虛數(shù)單位),則=()A.i B.iC.i D.i解析=i,則z=1+2019=1+i2019,即z=1-i,所以|z|==1+i,所以i.故選B.答案B4.已知復(fù)數(shù)z滿意z(2-i)=|3+4i|(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為()A.(1,2) B.(2,1)C.(-1,-2) D.(-2,-1)解析由題意,z(2-i)=5,故z==2+i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(2,1).故選B.答案B5.復(fù)數(shù)z=+(a2+2a-3)i(a∈R)為純虛數(shù),則a的值為()A.a=0 B.a=0且a≠-1C.a=0或a=-2 D.a≠1或a≠-3解析依題意得解得a=0或a=-2.答案C6.設(shè)復(fù)數(shù)z=,其中a為實數(shù),若z的實部為2,則z的虛部為()A.- B.-i C.- D.-i解析z==a-i,因為z的實部為2,所以a=2,所以z的虛部為-=-.答案C7.“m=1”是“復(fù)數(shù)z=(1+mi)(1+i)(m∈R,i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若m=1,則z=2i為純虛數(shù);若z為純虛數(shù),則m=1.答案C8.已知z1=1+i(其中i為虛數(shù)單位),設(shè)為復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù),,則復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面所對應(yīng)點的坐標為()A.(0,1) B.(1,0) C.(0,2) D.(2,0)解析因為z1=1+i,所以=1-i,由得,=1,得z2=1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,0),故選B.答案B9.若z=cosθ+isinθ(i為虛數(shù)單位),則使z2=-1的θ值可能是()A. B. C. D.解析z2=(cosθ+isinθ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ=-1,所以所以2θ=2kπ+π(k∈Z),故θ=kπ+(k∈Z),令k=0知選D.答案D10.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為A,將點A繞坐標原點,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),再向左平移一個單位,向下平移一個單位,得到B點,此時點B與點A恰好關(guān)于坐標原點對稱,則復(fù)數(shù)z為()A.-1 B.1 C.i D.-i解析設(shè)z=a+bi,B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,則z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因為點B與點A恰好關(guān)于坐標原點對稱,所以于是z=1.答案B11.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是()A.若|z1-z2|=0,則B.若z1=,則=z2C.若|z1|=|z2|,則z1·=z2·D.若|z1|=|z2|,則解析對于A,若|z1-z2|=0,則z1-z2=0,z1=z2,所以為真命題;對于B,若z1=,則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù),所以=z2為真命題;對于C,設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2∈R,若|z1|=|z2|,則,即,所以z1·=z2·,所以z1·=z2·為真命題;對于D,若z1=1,z2=i,則|z1|=|z2|,而=1,=-1,所以為假命題.故選D.答案D12.復(fù)數(shù)z=(x-2)+yi(x,y∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量的模為2,則|z+2|的最大值為()A.2 B.4 C.6 D.8解析因為|z|=2,所以=2,即(x-2)2+y2=4,故點(x,y)在以(2,0)為圓心,2為半徑的圓上,而|z+2|=|x+yi|=,它表示點(x,y)到原點的距離,結(jié)合圖形易知|z+2|的最大值為4,故選B.答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若復(fù)數(shù)z滿意2z+=3+2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=.

解析設(shè)z=a+bi,則=a-bi,所以2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3+2i,所以3a=3,b=2,故a=1,b=2.答案1+2i14.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,i是虛數(shù)單位,則|a+bi|=.解析由題意得-2a+i=1-bi,所以解得a=-,b=-1,所以|a+bi|=.答案15.已知復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為.

解析因為i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0(n∈N),而2022=4×505+2,所以z==i,故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(0,1).答案(0,1)16.若復(fù)數(shù)z滿意z+z+=3,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡所圍成圖形的面積等于.

解析設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是一個圓,其面積等于π·22=4π.答案4π三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)z=(2+i)m2--2(1-i),當實數(shù)m取什么值時,復(fù)數(shù)z是:(1)虛數(shù);(2)純虛數(shù).解z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,(1)當m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1時,z為虛數(shù).(2)當即m=-時,z為純虛數(shù).18.(本小題滿分12分)若z滿意z-1=(1+z)i,求z+z2的值.解因為z-1=(1+z)i,所以z==-i,因此z+z2=-i+=-i+=-1.19.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z使得z+2i∈R,∈R,其中i是虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù);(2)若復(fù)數(shù)(z+mi)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限,求實數(shù)m的取值范圍.解(1)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則z+2i=x+(y+2)i.∵z+2i∈R,∴y=-2.又i∈R,∴x=4.綜上,有z=4-2i,∴=4+2i.(2)∵m為實數(shù),且(z+mi)2=[4+(m-2)i]2=(12+4m-m2)+8(m-2)i,∴由題意得解得-2<m<2,故實數(shù)m的取值范圍是(-2,2).20.(本小題滿分12分)復(fù)數(shù)z=,若z2+<0,求純虛數(shù)a.解由z2+<0可知z2+是實數(shù)且為負數(shù).z==1-i.因為a為純虛數(shù),所以設(shè)a=mi(m∈R,且m≠0),則z2+=(1-i)2+=-2i+=-i<0,故所以m=4,即a=4i.21.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z1=i(1+i)2(i為虛數(shù)單位).(1)求及|z1|;(2)當復(fù)數(shù)z滿意|z+3-4i|=1時,求|z-z1|的最大值與最小值.解復(fù)數(shù)z1=i(1+i)2=i(1+2i-1)=2i2=-2.(1)=-2,|z1|=2.(2)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R),∵|z+3-4i|=1,∴|(x+3)+(y-4)i|=1,∴(x+3)2+(y-4)2=1,它表示圓心為P(-3,4),半徑為1的圓,畫出圖形,如圖所示.z1所對應(yīng)的點為A(-2,0),則圓心P到點A的距離為|PA|=.因為|z-z1|表示圓P上的點到點A的距離,所以|z-z1|的最大值為|PA|+1=+1,最小值為|PA|-1=-1.22.(本小題滿分12分)已知虛數(shù)z滿意|2z+5|=|z+10|.(1)求|z|.(2)是否存在實數(shù)m,使為實數(shù),若存在,求出m值;若不存在,說明理由.(3)若(1-2i)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上,求復(fù)數(shù)z.解(1)設(shè)z=x+yi(x,y∈R,且y≠