復變函數(shù)11省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎課件

復變函數(shù)與積分變換張慧清huiqingzhang@137721567911/562前言二、發(fā)展介紹：十六世紀中葉：十七世紀：十八世紀：Euler一、研究對象和研究內容：2/563十九世紀：CauchyRiemannWeierstrass3/564三、學習中注意點：1、方法2、態(tài)度4/56第一節(jié)復數(shù)及其代數(shù)運算一、復數(shù)概念二、復數(shù)代數(shù)運算三、小結與思索5/566第一章復數(shù)與復變函數(shù)1.復數(shù)代數(shù)運算和共軛運算一、復數(shù)基本概念二、復數(shù)代數(shù)運算三、復數(shù)共軛運算6/567一、復數(shù)基本概念：

1、復數(shù)定義：形如數(shù)稱之為復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，為實數(shù)，分別稱為實部和虛部，記作：虛部為零，即為實數(shù)，實部為零，稱為純虛數(shù)。

2、

復數(shù)相等：設7/5683、共軛復數(shù)若，它共軛復數(shù)就定義為：若兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復數(shù)是共軛。二、復數(shù)代數(shù)運算：1、加減法：2、乘除法：8/569三、復數(shù)共軛運算：9/56102.復數(shù)幾何表示一、復平面：1.定義：建立平面直角坐標系，讓平面上點表示復數(shù)

,則復數(shù)全體和平面上點建立了一一對應關系，這么平面稱為復平面，其中軸稱為實軸，軸稱為虛軸。2.復數(shù)點表示法：任意復數(shù)可用復平面上點來表示。10/56113.復數(shù)向量表示：復數(shù)和從原點指向點向量是一一對應，所以能夠用從原點出發(fā)向量來表示復數(shù)。復數(shù)代數(shù)運算幾何意義：1）加法：

和相加即為以、為邊平行四邊形對角線指向量所對應復數(shù)。2）減法：

減即為從端點指向端點向量。11/56124.復數(shù)三角表示式：習慣上把表示式稱為復數(shù)直角坐標表示式或代數(shù)形式，利用直角坐標系和極坐標之間聯(lián)絡則其中表示所對應向量長度，稱為模，記作,稱為幅角，記作把其中落在之間角稱為主幅角，記為則有：1）模和幅角定義三角表示式12/56132）主幅角計算下面公式給出了主幅角計算方法：

在第一、四象限

在第二象限

在第三象限

在正軸

在負軸

在正軸

在負軸13/5614例1.將以下各復數(shù)表示為三角形式：解:(1)因在第三象限，所以：又所以：14/56155.復數(shù)指數(shù)表示式：利用歐拉公式從復數(shù)三角表示式即得指數(shù)表示式6.幾個主要不等式：二、復球面15/5616現(xiàn)在建立這么對應關系：這么，除N點之外，球面上全部點和復平面上全部點之間建立了一一對應關系，該球面即稱為復球面。注意到當復數(shù)模越大時，它所對應復球面上點越靠近N,所以我們能夠認為N和復平面上一個模為點相對應，這么一個點成為無窮遠點，記為。若把無窮遠點添加到復平面中，則稱為擴充復平面，與其對應球面稱為擴充復球面。16/5617（為特定整數(shù)）3.復數(shù)乘冪與方根一、乘積與商1.乘積：設則：能夠看出:1）表示式：17/56182）幾何意義：即為把旋轉并將模伸長倍所得向量。2.

商：設則：(為正，逆時針，為負，順時針)可看出：18/5619例1.證實三角形內角和為。證實：設三角形三頂點為三頂角為所以：即：則：又因只能為零。即得結論。19/5620二、冪與根：1、冪：n個相同復數(shù)乘積稱為n次冪，記作設則：尤其地，時：稱為莫勒弗公式。2、根：若則稱為次方根，記作設20/5621即得：當時，有n個不一樣值，即得n個相異根：由得：21/5622例2：求解：因所以：22/5623例3求以下方程所表示曲線:解23/5624化簡后得24/5625§4、平面點集幾個基本概念1、點集：點有限個或無限個集合稱為點集。因為復平面上點和復數(shù)是一一對應，所以復平面上點集可看作是復數(shù)集合。2、-鄰域：設為復平面上一點，對于任意給定正數(shù)滿足點集稱為點-鄰域，滿足點集稱為去心-鄰域。若為任意正數(shù)，滿足點集稱為鄰域，滿足點集稱為去心鄰域。25/56263、聚點、孤立點、外點、內點、界點1）聚點：對于點集E,若任意鄰域都有E無窮為E聚點或極限點。E,但非E聚點，稱為E孤立點。多個點，稱2）孤立點：若4）內點：若E，且有一鄰域含于E內，則為E內點。5）界點：E異于內點聚點及E孤立點均稱為E

界點，E全部界點稱為E邊界。3）外點：若E，又非E聚點，則稱為E外點。26/56274、開集、閉集若點集E點均為內點，則稱E為開集。若E聚點均屬于E，則稱E為閉集。5、區(qū)域：1）區(qū)域：滿足下面兩條件點集E稱為區(qū)域。A）E是一個開集。B）E是連通。2）閉區(qū)域：區(qū)域加上邊界稱為閉區(qū)域。3）有界區(qū)域：若一個區(qū)域E能夠被包含在一個以原點為

中心圓里面，則稱E為有界。不然，為無界。27/56286、約當曲線：1）連續(xù)曲線：設是兩個實函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則方程組確定了一條平面曲線，若令則即為曲線參數(shù)方程復數(shù)形式，和分別稱為該曲線起點和終點。28/56292）重點：若對于但則稱點為曲線重點。3）凡沒有重點連續(xù)曲線，稱為約當曲線或簡單曲線。除外無重點連續(xù)曲線，稱為約當閉曲線。4）設約當曲線參數(shù)方程為在上，及存在、連續(xù)且不全為零，則該曲線稱為光滑曲線，由有限條光滑曲線銜接而成曲線稱為分段光滑曲線。5）對于光滑閉曲線或分段光滑閉曲線，我們稱之為圍道。圍道方向要求：29/5630假設一觀察者沿圍道而行，圍道內部在觀察者左方，則要求該方向為圍道正向，反之，為負向。7）單連通區(qū)域：若區(qū)域D任意一條約當閉曲線內部仍屬于D，則D稱為單連通區(qū)域，不然為多連通區(qū)域。單連通域多連通域30/5631§5復變函數(shù)一、復變函數(shù)定義：1、單值函數(shù)：設E為一復數(shù)集，若對E內每一復數(shù)，按照一定規(guī)則函數(shù)2、多值函數(shù)：有唯一復數(shù)與之對應，則稱在E上確定了一個單值若對于E內每一個復數(shù)，有幾個或無窮多個與之對應，則稱在E上確定了一個多值函數(shù)集合E稱為定義域，全體稱為值域。31/56323、復變函數(shù)表示：設是定義在點集E上單值或多值函數(shù)，設

又可記為：例：函數(shù)

可寫為這里32/5633二、復變函數(shù)幾何意義取兩張復平面------平面，平面，用平面上點集到平面點集映射來表示復變函數(shù)。若中點被映成中點，則稱為象，而稱為原象。33/563434/5635且是全同圖形.35/5636例2討論函數(shù)把以下曲線映成何種曲線：1）以原點為心，2為半徑第一象限圓?。?）3）其中均為常數(shù)。解：1）曲線可表示為：則：表示是以原點為心，4為半徑上半圓周。36/56372）設則：所以表示是一條直線。3）象參數(shù)方程為：消去得：表示是以原點為焦點，向左開口拋物線。37/5638例3解38/5639所以象參數(shù)方程為39/5640A)40/5641(以下頁圖)B)41/5642

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形.42/5643使得當時，有：

內，假如有一確定數(shù)存在，對任意給定存在

§6、復變函數(shù)極限和連續(xù)性一、極限：1、定義：設函數(shù)定義在去心鄰域成立，則稱為當時極限，記為：43/5644注2、若已經(jīng)證實一復變函數(shù)極限存在，可取一特殊路徑來求出它極限。例1設試證在原點無極限。注1、極限與方式無關。44/5645證實：令則：沿軸：沿所以在原點處無極限。45/56462.極限計算定理定理一說明46/5647證實：必要性：因對使得當時：因所以對當時：47/5648同理即充分性：因所以對使得當時：即是當時：48/5649即得：3、運算法則：定理2、假如則：49/5650二、函數(shù)連續(xù)性1.連續(xù)定義:50/5651定理三比如,51/5652定理四52/5653特殊:(1)有理整函數(shù)(多項式)(2)有理分式函數(shù)在復平面內使分母不為零點也是連續(xù).53/5654例3證