復(fù)變函數(shù)11省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

復(fù)變函數(shù)與積分變換張慧清huiqingzhang@137721567911/562前言二、發(fā)展介紹：十六世紀(jì)中葉：十七世紀(jì)：十八世紀(jì)：Euler一、研究對(duì)象和研究?jī)?nèi)容：2/563十九世紀(jì)：CauchyRiemannWeierstrass3/564三、學(xué)習(xí)中注意點(diǎn)：1、方法2、態(tài)度4/56第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)概念二、復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算三、小結(jié)與思索5/566第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算和共軛運(yùn)算一、復(fù)數(shù)基本概念二、復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算三、復(fù)數(shù)共軛運(yùn)算6/567一、復(fù)數(shù)基本概念：

1、復(fù)數(shù)定義：形如數(shù)稱之為復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，分別稱為實(shí)部和虛部，記作：虛部為零，即為實(shí)數(shù)，實(shí)部為零，稱為純虛數(shù)。

2、

復(fù)數(shù)相等：設(shè)7/5683、共軛復(fù)數(shù)若，它共軛復(fù)數(shù)就定義為：若兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)是共軛。二、復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算：1、加減法：2、乘除法：8/569三、復(fù)數(shù)共軛運(yùn)算：9/56102.復(fù)數(shù)幾何表示一、復(fù)平面：1.定義：建立平面直角坐標(biāo)系，讓平面上點(diǎn)表示復(fù)數(shù)

,則復(fù)數(shù)全體和平面上點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這么平面稱為復(fù)平面，其中軸稱為實(shí)軸，軸稱為虛軸。2.復(fù)數(shù)點(diǎn)表示法：任意復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上點(diǎn)來(lái)表示。10/56113.復(fù)數(shù)向量表示：復(fù)數(shù)和從原點(diǎn)指向點(diǎn)向量是一一對(duì)應(yīng)，所以能夠用從原點(diǎn)出發(fā)向量來(lái)表示復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算幾何意義：1）加法：

和相加即為以、為邊平行四邊形對(duì)角線指向量所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)。2）減法：

減即為從端點(diǎn)指向端點(diǎn)向量。11/56124.復(fù)數(shù)三角表示式：習(xí)慣上把表示式稱為復(fù)數(shù)直角坐標(biāo)表示式或代數(shù)形式，利用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)之間聯(lián)絡(luò)則其中表示所對(duì)應(yīng)向量長(zhǎng)度，稱為模，記作,稱為幅角，記作把其中落在之間角稱為主幅角，記為則有：1）模和幅角定義三角表示式12/56132）主幅角計(jì)算下面公式給出了主幅角計(jì)算方法：

在第一、四象限

在第二象限

在第三象限

在正軸

在負(fù)軸

在正軸

在負(fù)軸13/5614例1.將以下各復(fù)數(shù)表示為三角形式：解:(1)因在第三象限，所以：又所以：14/56155.復(fù)數(shù)指數(shù)表示式：利用歐拉公式從復(fù)數(shù)三角表示式即得指數(shù)表示式6.幾個(gè)主要不等式：二、復(fù)球面15/5616現(xiàn)在建立這么對(duì)應(yīng)關(guān)系：這么，除N點(diǎn)之外，球面上全部點(diǎn)和復(fù)平面上全部點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，該球面即稱為復(fù)球面。注意到當(dāng)復(fù)數(shù)模越大時(shí)，它所對(duì)應(yīng)復(fù)球面上點(diǎn)越靠近N,所以我們能夠認(rèn)為N和復(fù)平面上一個(gè)模為點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這么一個(gè)點(diǎn)成為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記為。若把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)添加到復(fù)平面中，則稱為擴(kuò)充復(fù)平面，與其對(duì)應(yīng)球面稱為擴(kuò)充復(fù)球面。16/5617（為特定整數(shù)）3.復(fù)數(shù)乘冪與方根一、乘積與商1.乘積：設(shè)則：能夠看出:1）表示式：17/56182）幾何意義：即為把旋轉(zhuǎn)并將模伸長(zhǎng)倍所得向量。2.

商：設(shè)則：(為正，逆時(shí)針，為負(fù)，順時(shí)針)可看出：18/5619例1.證實(shí)三角形內(nèi)角和為。證實(shí)：設(shè)三角形三頂點(diǎn)為三頂角為所以：即：則：又因只能為零。即得結(jié)論。19/5620二、冪與根：1、冪：n個(gè)相同復(fù)數(shù)乘積稱為n次冪，記作設(shè)則：尤其地，時(shí)：稱為莫勒弗公式。2、根：若則稱為次方根，記作設(shè)20/5621即得：當(dāng)時(shí)，有n個(gè)不一樣值，即得n個(gè)相異根：由得：21/5622例2：求解：因所以：22/5623例3求以下方程所表示曲線:解23/5624化簡(jiǎn)后得24/5625§4、平面點(diǎn)集幾個(gè)基本概念1、點(diǎn)集：點(diǎn)有限個(gè)或無(wú)限個(gè)集合稱為點(diǎn)集。因?yàn)閺?fù)平面上點(diǎn)和復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)，所以復(fù)平面上點(diǎn)集可看作是復(fù)數(shù)集合。2、-鄰域：設(shè)為復(fù)平面上一點(diǎn)，對(duì)于任意給定正數(shù)滿足點(diǎn)集稱為點(diǎn)-鄰域，滿足點(diǎn)集稱為去心-鄰域。若為任意正數(shù)，滿足點(diǎn)集稱為鄰域，滿足點(diǎn)集稱為去心鄰域。25/56263、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、外點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)1）聚點(diǎn)：對(duì)于點(diǎn)集E,若任意鄰域都有E無(wú)窮為E聚點(diǎn)或極限點(diǎn)。E,但非E聚點(diǎn)，稱為E孤立點(diǎn)。多個(gè)點(diǎn)，稱2）孤立點(diǎn)：若4）內(nèi)點(diǎn)：若E，且有一鄰域含于E內(nèi)，則為E內(nèi)點(diǎn)。5）界點(diǎn)：E異于內(nèi)點(diǎn)聚點(diǎn)及E孤立點(diǎn)均稱為E

界點(diǎn)，E全部界點(diǎn)稱為E邊界。3）外點(diǎn)：若E，又非E聚點(diǎn)，則稱為E外點(diǎn)。26/56274、開(kāi)集、閉集若點(diǎn)集E點(diǎn)均為內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開(kāi)集。若E聚點(diǎn)均屬于E，則稱E為閉集。5、區(qū)域：1）區(qū)域：滿足下面兩條件點(diǎn)集E稱為區(qū)域。A）E是一個(gè)開(kāi)集。B）E是連通。2）閉區(qū)域：區(qū)域加上邊界稱為閉區(qū)域。3）有界區(qū)域：若一個(gè)區(qū)域E能夠被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為

中心圓里面，則稱E為有界。不然，為無(wú)界。27/56286、約當(dāng)曲線：1）連續(xù)曲線：設(shè)是兩個(gè)實(shí)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則方程組確定了一條平面曲線，若令則即為曲線參數(shù)方程復(fù)數(shù)形式，和分別稱為該曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)。28/56292）重點(diǎn)：若對(duì)于但則稱點(diǎn)為曲線重點(diǎn)。3）凡沒(méi)有重點(diǎn)連續(xù)曲線，稱為約當(dāng)曲線或簡(jiǎn)單曲線。除外無(wú)重點(diǎn)連續(xù)曲線，稱為約當(dāng)閉曲線。4）設(shè)約當(dāng)曲線參數(shù)方程為在上，及存在、連續(xù)且不全為零，則該曲線稱為光滑曲線，由有限條光滑曲線銜接而成曲線稱為分段光滑曲線。5）對(duì)于光滑閉曲線或分段光滑閉曲線，我們稱之為圍道。圍道方向要求：29/5630假設(shè)一觀察者沿圍道而行，圍道內(nèi)部在觀察者左方，則要求該方向?yàn)閲勒?，反之，為?fù)向。7）單連通區(qū)域：若區(qū)域D任意一條約當(dāng)閉曲線內(nèi)部仍屬于D，則D稱為單連通區(qū)域，不然為多連通區(qū)域。單連通域多連通域30/5631§5復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)定義：1、單值函數(shù)：設(shè)E為一復(fù)數(shù)集，若對(duì)E內(nèi)每一復(fù)數(shù)，按照一定規(guī)則函數(shù)2、多值函數(shù)：有唯一復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱在E上確定了一個(gè)單值若對(duì)于E內(nèi)每一個(gè)復(fù)數(shù)，有幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)與之對(duì)應(yīng)，則稱在E上確定了一個(gè)多值函數(shù)集合E稱為定義域，全體稱為值域。31/56323、復(fù)變函數(shù)表示：設(shè)是定義在點(diǎn)集E上單值或多值函數(shù)，設(shè)

又可記為：例：函數(shù)

可寫(xiě)為這里32/5633二、復(fù)變函數(shù)幾何意義取兩張復(fù)平面------平面，平面，用平面上點(diǎn)集到平面點(diǎn)集映射來(lái)表示復(fù)變函數(shù)。若中點(diǎn)被映成中點(diǎn)，則稱為象，而稱為原象。33/563434/5635且是全同圖形.35/5636例2討論函數(shù)把以下曲線映成何種曲線：1）以原點(diǎn)為心，2為半徑第一象限圓弧；2）3）其中均為常數(shù)。解：1）曲線可表示為：則：表示是以原點(diǎn)為心，4為半徑上半圓周。36/56372）設(shè)則：所以表示是一條直線。3）象參數(shù)方程為：消去得：表示是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，向左開(kāi)口拋物線。37/5638例3解38/5639所以象參數(shù)方程為39/5640A)40/5641(以下頁(yè)圖)B)41/5642

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長(zhǎng)方形.42/5643使得當(dāng)時(shí)，有：

內(nèi)，假如有一確定數(shù)存在，對(duì)任意給定存在

§6、復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)性一、極限：1、定義：設(shè)函數(shù)定義在去心鄰域成立，則稱為當(dāng)時(shí)極限，記為：43/5644注2、若已經(jīng)證實(shí)一復(fù)變函數(shù)極限存在，可取一特殊路徑來(lái)求出它極限。例1設(shè)試證在原點(diǎn)無(wú)極限。注1、極限與方式無(wú)關(guān)。44/5645證實(shí)：令則：沿軸：沿所以在原點(diǎn)處無(wú)極限。45/56462.極限計(jì)算定理定理一說(shuō)明46/5647證實(shí)：必要性：因?qū)κ沟卯?dāng)時(shí)：因所以對(duì)當(dāng)時(shí)：47/5648同理即充分性：因所以對(duì)使得當(dāng)時(shí)：即是當(dāng)時(shí)：48/5649即得：3、運(yùn)算法則：定理2、假如則：49/5650二、函數(shù)連續(xù)性1.連續(xù)定義:50/5651定理三比如,51/5652定理四52/5653特殊:(1)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零點(diǎn)也是連續(xù).53/5654例3證