人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第一章 1.1 第1課時(shí)同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

1．1空間幾何體的結(jié)構(gòu)第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過(guò)對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知簡(jiǎn)單多面體——棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來(lái)判斷、描述現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物模型．[知識(shí)鏈接]觀察下列圖片，你知道這些圖片所表示的物體在幾何中分別叫什么名稱(chēng)嗎？答(1)、(8)為圓柱；(2)為長(zhǎng)方體；(3)、(6)為圓錐；(4)、(10)為圓臺(tái)；(5)、(7)、(9)為棱柱；(11)、(12)為球；(13)、(16)為棱臺(tái)；(14)、(15)為棱錐．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．空間幾何體(1)概念：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形叫做空間幾何體．(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體(如圖)，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．2．幾種常見(jiàn)的多面體多面體定義圖形及表示相關(guān)概念棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.如圖可記作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個(gè)互相平行的面.側(cè)面：其余各面．側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.如圖可記作，棱錐SABCD底面(底)：多邊形面．側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面．側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)．棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái).如圖可記作：棱臺(tái)ABCDA′B′C′D′上底面：原棱錐的截面．下底面：原棱錐的底面．側(cè)面：其余各面.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn).要點(diǎn)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征例1下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：(1)所有的面都是平行四邊形；(2)每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的序號(hào)是________．答案(3)(4)解析(1)錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；(2)錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形；(3)正確，由棱柱的定義易知；(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，所以說(shuō)法正確的序號(hào)是(3)(4)．規(guī)律方法棱柱的結(jié)構(gòu)特征：(1)兩個(gè)面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行．求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)平行的面作為底面，再看是否滿(mǎn)足其他特征．跟蹤演練1下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．所有的棱柱兩個(gè)底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面每相鄰面的公共邊互相平行C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個(gè)面答案C解析對(duì)于A、B、D，顯然是正確的；對(duì)于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯(cuò)誤．要點(diǎn)二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征例2下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：(1)棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；(2)棱錐的側(cè)面只能是三角形；(3)由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；(4)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是________．答案(1)(2)(3)解析(1)正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；(2)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；(3)正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；(4)錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．規(guī)律方法判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)跟蹤演練2棱臺(tái)不具有的性質(zhì)是()A．兩底面相似B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長(zhǎng)都相等D．側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)答案C解析由棱臺(tái)的概念(棱臺(tái)的產(chǎn)生過(guò)程)可知A，B，D都是棱臺(tái)具有的性質(zhì)，而側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．要點(diǎn)三多面體的表面展開(kāi)圖例3畫(huà)出如圖所示的幾何體的表面展開(kāi)圖．解表面展開(kāi)圖如圖所示：規(guī)律方法多面體表面展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略：(1)繪制展開(kāi)圖：繪制多面體的表面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫(huà)出來(lái)，然后依次畫(huà)出各側(cè)面，便可得到其表面展開(kāi)圖．(2)已知展開(kāi)圖：若是給出多面體的表面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推．同一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開(kāi)圖．跟蹤演練3一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的平面展開(kāi)圖如圖，A、B、C是展開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC＝________答案60°解析將平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖．1．三棱錐的四個(gè)面中可以作為底面的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案D解析由于三棱錐的每一個(gè)面均可作為底面，應(yīng)選D.2．棱柱的側(cè)面都是()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．矩形答案B解析由棱柱的性質(zhì)可知，棱柱的側(cè)面都是四邊形．3．如圖所示，不是正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)的展開(kāi)圖的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案C解析可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體．4．下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺(tái)(僅填相應(yīng)序號(hào))．答案①③④⑥⑤解析結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺(tái)的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺(tái)．5.如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體的形狀是________．答案四棱柱解析由于傾斜角度較小，所以?xún)A斜后水槽中水形成的幾何體的形狀應(yīng)為四棱柱．1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(lái)(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例)．2．(1)各種棱柱之間的關(guān)系①棱柱的分類(lèi)棱柱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直棱柱\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正棱柱,一般的直棱柱)),斜棱柱))②常見(jiàn)的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見(jiàn)下表：名稱(chēng)底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€(gè)多邊形平行四邊形平行且相等與底面全等直棱柱平行且全等的兩個(gè)多邊形矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等正棱柱平行且全等的兩個(gè)正多邊形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等棱錐正棱錐一個(gè)正多邊形全等的等腰三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)且相等過(guò)底面中心與底面相似其他棱錐一個(gè)多邊形三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)與底面相似棱臺(tái)正棱臺(tái)平行且相似的兩個(gè)正多邊形全等的等腰梯形相等且延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)與底面相似其他棱臺(tái)平行且相似的兩個(gè)多邊形梯形延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)與底面相似一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．在棱柱中滿(mǎn)足()A．只有兩個(gè)面平行B．所有面都平行C．所有面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側(cè)棱也相互平行答案D解析由棱柱的定義可得只有D成立．2．四棱柱有幾條側(cè)棱，幾個(gè)頂點(diǎn)()A．四條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn)B．八條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn)C．四條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)D．六條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)答案C解析四棱柱有四條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)(可以結(jié)合正方體觀察求得)．3．下列說(shuō)法中，正確的是()A．有一個(gè)底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱臺(tái)的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形答案A4．觀察如圖所示的四個(gè)幾何體，其中判斷不正確的是()A．①是棱柱B．②不是棱錐C．③不是棱錐D．④是棱臺(tái)答案B解析結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺(tái)，③不是棱錐，故B錯(cuò)誤．5．某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開(kāi)圖應(yīng)該為()答案A解析兩個(gè)eq\x(☆)不能并列相鄰，B、D錯(cuò)誤；兩個(gè)eq\x(※)不能并列相鄰，C錯(cuò)誤，故選A.也可通過(guò)實(shí)物制作檢驗(yàn)來(lái)判定．6．下列說(shuō)法正確的有________．①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)；③棱臺(tái)的側(cè)面有的是平行四邊形，有的是梯形；④棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn)；⑤多面體至少有四個(gè)面．答案①②④⑤解析棱柱是由一個(gè)平面多邊形沿某一方向平移而形成的幾何體，因而側(cè)面是平行四邊形，故①對(duì)．棱錐是由棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)而得到的幾何體，因而其側(cè)面均是三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)，故②對(duì)．棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截后，截面與底面之間的部分，因而其側(cè)面均是梯形，且所有的側(cè)棱延長(zhǎng)后均相交于一點(diǎn)(即原棱錐的頂點(diǎn))，故③錯(cuò)④對(duì)．⑤顯然對(duì)．因而正確的有①②④⑤.7.如圖所示的幾何體中，所有棱長(zhǎng)都相等，分析此幾何體的構(gòu)成？有幾個(gè)面、幾個(gè)頂點(diǎn)、幾條棱？解這個(gè)幾何體是由兩個(gè)同底面的四棱錐組合而成的八面體．有8個(gè)面，都是全等的正三角形；有6個(gè)頂點(diǎn)；有12條棱．二、能力提升8．在正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱(chēng)為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有()A．20B．15C．12D．10答案D解析正五棱柱任意不相鄰的兩條側(cè)棱可確定一個(gè)平面，每個(gè)平面可得到正五棱柱的兩條對(duì)角線，5個(gè)平面共可得到10條對(duì)角線，故選D.9．在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何體是________．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體．答案①③④⑤解析在正方體ABCD－A1B1C1D1上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何體是：①矩形，如四邊形ACC1A1；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體，如A－A1BD；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如A－CB1D1；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體，如A－A1DC，所以填①③④⑤10．如圖，M是棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是________cm.答案eq\r(13)解析由題意，若以BC為軸展開(kāi)，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為2cm,3cm，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(13)cm.若以BB1為軸展開(kāi)，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為1,4，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(17)cm.故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是eq\r(13)cm.11.如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A、B、C重合，重合后記為點(diǎn)P.問(wèn)：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個(gè)幾何體共有幾個(gè)面，每個(gè)面的三角形有何特點(diǎn)？(3)每個(gè)面的三角形面積為多少？解(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐．(2)這個(gè)幾何體共有4個(gè)面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．(3)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－eq\f(1,2)a2－a2－a2＝eq\f(3,2)a2.三、探究與創(chuàng)新12．長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1(如圖所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，現(xiàn)有一甲殼蟲(chóng)從A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到C1來(lái)獲取食物，試畫(huà)出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．解把長(zhǎng)方體的部分面展開(kāi)，如圖所示．對(duì)甲、乙、丙三種展開(kāi)圖利用勾股定理可得AC1的長(zhǎng)分別為eq\r(90)、eq\r(7