人教備戰(zhàn)中考數(shù)學一元二次方程(大題培優(yōu)-易錯-難題)附詳細答案

一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1．解下列方程：（1）x2﹣3x=1．（2）（y+2）2﹣6=0．【答案】(1);(2)【解析】試題分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接開方法解即可；試題解析：解：（1）將原方程化為一般式，得x2﹣3x﹣1=0，∵b2﹣4ac=13＞0∴．∴．（2）（y+2）2=12，∴或，∴2．已知關于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若方程的兩根恰好是一個矩形兩鄰邊的長，且k＝2，求該矩形的對角線L的長．【答案】（1）k＞；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)關于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）當k=2時，原方程x2-5x+5=0，設方程的兩根是m、n，則矩形兩鄰邊的長是m、n，利用根與系數(shù)的關系得出m+n=5，mn=5，則矩形的對角線長為，利用完全平方公式進行變形即可求得答案.【詳解】（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，∴k＞；(2)當k＝2時，原方程為x2－5x＋5＝0，設方程的兩個根為m，n，∴m＋n＝5，mn＝5，∴矩形的對角線長為：.【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系、矩形的性質等，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0時，方程沒有實數(shù)根．3．計算題

（1）先化簡，再求值：÷（1+），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有兩個相等的實數(shù)根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根據(jù)分式的運算法則和運算順序，先算括號里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根據(jù)一元二次方程的根的判別式求解即可.詳解：（1）÷（1+）===x+1，當x=2017時，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4點睛：此題主要考查了分式的混合運算和一元二次方程的根的判別式，關鍵是熟記分式方程的運算順序和法則，注意通分約分的作用.4．如圖，在中，，，，現(xiàn)有兩點、的分別從點和點B同時出發(fā)，沿邊，BC向終點C移動．已知點，的速度分別為，，且當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動，設，兩點移動時間為．問是否存在這樣的，使得四邊形的面積等于？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】假設不成立，四邊形面積的面積不能等于，理由見解析【解析】【分析】根據(jù)題意，列出BQ、PB的表達式，再列出方程，判斷根的情況.【詳解】解：∵，，，∴．∴，；假設存在的值，使得四邊形的面積等于，則，整理得：，∵，∴假設不成立，四邊形面積的面積不能等于．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握方程根的判別方法、理解方程的意義是本題的解題關鍵.5．已知關于x的一元二次方程．若此方程有兩個實數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；若此方程的兩個實數(shù)根為，，且滿足，求m的值．【答案】（1）的最小整數(shù)值為；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根得,列式即可求解,（2）利用韋達定理即可解題.【詳解】（1）解：方程有兩個實數(shù)根，即的最小整數(shù)值為（2）由根與系數(shù)的關系得：，由得：，【點睛】本題考查了根的判別式和韋達定理,中等難度,熟悉韋達定理是解題關鍵.6．閱讀下面的例題，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合題意，舍去）．（2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合題意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2請參照例題解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0．【答案】x1=4，x2=﹣5．【解析】【分析】分為兩種情況：當x≥10時，原方程化為x2﹣x=0，當x＜10時，原方程化為x2+x﹣20=0，分別求出方程的解即可．【詳解】當x≥10時，原方程化為x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合題意，舍去），x2=1（不合題意，舍去）；當x＜10時，原方程化為x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，故原方程的根是x1=4，x2=﹣5．【點睛】本題考查了解一元二次方程——因式分解法，解此題的關鍵是能正確去掉絕對值符號．7．某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為46000米2，施工隊在綠化了22000米2后，將每天的工作量增加為原來的1.5倍，結果提前4天完成了該項綠化工程．（1）該項綠化工程原計劃每天完成多少米2？（2）該項綠化工程中有一塊長為20米，寬為8米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），問人行通道的寬度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）設未知數(shù)，根據(jù)題目中的的量關系列出方程；（2）可以通過平移，也可以通過面積法，列出方程【詳解】解：（1）設該項綠化工程原計劃每天完成x米2，根據(jù)題意得：﹣=4解得：x=2000，經(jīng)檢驗，x=2000是原方程的解;答：該綠化項目原計劃每天完成2000平方米；（2）設人行道的寬度為x米，根據(jù)題意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=（不合題意，舍去）．答：人行道的寬為2米．8．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，若點P從點A沿AB邊向B點以1cm/s的速度移動，點Q從B點沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，兩點同時出發(fā)．(1)問幾秒后，△PBQ的面積為8cm2？(2)出發(fā)幾秒后，線段PQ的長為4cm?(3)△PBQ的面積能否為10cm2？若能，求出時間；若不能，請說明理由．【答案】(1)2或4秒;(2)4cm；(3)見解析.【解析】【分析】（1）由題意，可設P、Q經(jīng)過t秒，使△PBQ的面積為8cm2，則PB=6-t，BQ=2t，根據(jù)三角形面積的計算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出表達式，解答出即可；（2）設經(jīng)過x秒后線段PQ的長為4cm，依題意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）將△PBQ的面積表示出來，根據(jù)△=b2-4ac來判斷．【詳解】(1)設P，Q經(jīng)過t秒時，△PBQ的面積為8cm2，則PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴(6－t)×2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴當P，Q經(jīng)過2或4秒時，△PBQ的面積為8cm2；(2)設x秒后，PQ＝4cm，由題意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝，x2＝2，故經(jīng)過秒或2秒后，線段PQ的長為4cm；(3)設經(jīng)過y秒，△PBQ的面積等于10cm2，S△PBQ＝×(6－y)×2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4×10＝－4＜0，∴△PBQ的面積不會等于10cm2.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，熟練的掌握一元二次方程的應用是本題解題的關鍵.9．如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點D出發(fā)，沿線段的方向以每秒2個單位長的速度運動；動點Q從點C出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長的速度向點運動；點P，分別從點D，C同時出發(fā)，當點運動到點時，點Q隨之停止運動，設運動的時間為t秒）.（1）當時，求的面積；（2）若四邊形為平行四邊形，求運動時間.（3）當為何值時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）過點作于，則PM=DC，當t=2時，算出BQ，求出面積即可；（2）當四邊形是平行四邊形時，，即，解出即可；（3）以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，分三種情況，①，②，③分別求出t即可.【詳解】解：（1）過點作于，則四邊形為矩形.∴，∵，當t=2時，則BQ=14，則=×14×12=84；（2）當四邊形是平行四邊形時，,即解得：∴當時，四邊形是平行四邊形.（3）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分為以下三種情況：①若，在中，，由得解得：；②若，在中，，由得，即，此時，,所以此方程無解，所以；③若，由得,得，（不合題意，舍去）；綜上所述，當或時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.【點睛】本題是對四邊形即可中動點問題的考查，熟練掌握動點中線段的表示、平行四邊形和等腰三角形的性質及判斷是解決