新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練5.3 平面向量的應(yīng)用（基礎(chǔ)版）（解析版）

5.3平面向量的應(yīng)用（精講）（基礎(chǔ)版）考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一證線段垂直【例1-1】（2022·山西運(yùn)城）在平面四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．13 D．26【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴AC⊥BD，所以四邊形ABCD面積為：SKIPIF1<0.故選：C.【例1-2】（2022·廣東）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為對(duì)角線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)（異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川省峨眉）若平面四邊形ABCD滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以四邊形ABCD為平行四邊形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故選：B2．（2022·福建·漳州三中）若O為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為非零向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直角三角形.故選：B3．（2022·上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.考點(diǎn)二夾角問(wèn)題【例2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知H為SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．由H為△ABC的垂心，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．同理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CN與BM交于點(diǎn)P，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如圖直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故選：D.2．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)）直角三角形ABC中，斜邊BC長(zhǎng)為a，A是線段PE的中點(diǎn)，PE長(zhǎng)為2a，當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)锳是線段PE的中點(diǎn)，PE長(zhǎng)為2a，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大的值為SKIPIF1<0.故選：A.3．（2022·福建省同安第一中學(xué)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于直線SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，SKIPIF1<0的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于直線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.考點(diǎn)三線段長(zhǎng)度【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】B【解析】由題意得|SKIPIF1<0，由平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和，得：SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0【例3-2】（2022·云南）已知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AC邊的中線的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理由SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,不符合三角形內(nèi)角和定理，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，負(fù)值舍去，即SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0故選：C【一隅三反】1．（2022·云南師大附中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則AD的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0M為BC邊上靠近C的三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)）如圖所示在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：C.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0邊上的中線長(zhǎng)為（

）A．49 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，根據(jù)余弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0邊上的中線長(zhǎng)為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.考點(diǎn)四幾何中的最值【例4】（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若線段CD上存在唯一的點(diǎn)E滿足SKIPIF1<0，則線段CD的長(zhǎng)的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】

如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為x軸和y軸正方向建立直角坐標(biāo)系.則SKIPIF1<0,設(shè)DE的長(zhǎng)為x，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由題意知：SKIPIF1<0，且點(diǎn)E存在于CD上且唯一，知CD的長(zhǎng)的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：B.【一隅三反】1．（2022·安徽安慶）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，則中線SKIPIF1<0的長(zhǎng)是___________.【答案】3【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0是中線SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02．（2022·江蘇·無(wú)錫市教育科學(xué)研究院）點(diǎn)SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形SKIPIF1<0的三條邊上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨假設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，如下圖示，所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·上海市晉元高級(jí)中學(xué)）“燕山雪花大如席”，北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式將傳統(tǒng)詩(shī)歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，天衣無(wú)縫，讓人們?cè)俅晤I(lǐng)略了中國(guó)悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力.順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊ABCDEF.若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)與SKIPIF1<0點(diǎn)重合時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影最大，此時(shí)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)與SKIPIF1<0點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,取得的最小值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．4．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)）如圖，在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】在等腰SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．考點(diǎn)五三角形的四心【例5】（2022·甘肅·蘭州一中）（多選）點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則點(diǎn)O為SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心C．若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心D．若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心【答案】AC【解析】對(duì)于A，設(shè)邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，即點(diǎn)SKIPIF1<0在中線SKIPIF1<0上，同理點(diǎn)SKIPIF1<0在中線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心.故A正確對(duì)于B，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，設(shè)邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中垂線，同理SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中垂線，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，故C正確對(duì)于D，由已知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，也即點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0的高上；同理，點(diǎn)SKIPIF1<0也在邊SKIPIF1<0的高上，所以則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，故D錯(cuò)誤.故選：AC【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)SKIPIF1<0中，點(diǎn)O?H?G分別是外心?垂心和重心，下列四個(gè)選項(xiàng)中結(jié)論正確的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】如圖：根據(jù)歐拉線定理可知，點(diǎn)O?H?G共線，且SKIPIF1<0.對(duì)于A，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，G是重心，則延長(zhǎng)AG與BC的交點(diǎn)SKIPIF1<0為BC中點(diǎn)，且AG＝2GD，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0顯然不正確.故選：ABC.2．（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)）（多選）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由G是三角形ABC的重心可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；過(guò)三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，如圖（1），易知D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B項(xiàng)正確；因?yàn)镚是三角形ABC的重心，所以有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由歐拉線定理可得SKIPIF1<0，故C項(xiàng)正確；如圖（2），由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D項(xiàng)正確，故選：BCD.3．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）(多選題)已知O是四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．四邊形SKIPIF1<0為正方形，點(diǎn)O是正方形SKIPIF1<0的中心B．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點(diǎn)O是四邊形SKIPIF1<0的對(duì)角線交點(diǎn)C．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點(diǎn)O是四邊形SKIPIF1<0的外接圓的圓心D．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點(diǎn)O是四邊形SKIPIF1<0對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若四邊形SKIPIF1<0為正方形，點(diǎn)O是正方形SKIPIF1<0的中心，則必有SKIPIF1<0，但反過(guò)來(lái)，由SKIPIF1<0推不出四邊形SKIPIF1<0為正方形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BCD，如圖所示，O是四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，由向量加法的平行四邊形法則知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即O是EF的中點(diǎn)；同理，設(shè)AD，BC的中點(diǎn)分別為M，N，由向量加法的平行四邊形法則知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即O是MN的中點(diǎn)；所以O(shè)是EF，MN的交點(diǎn)，故BC錯(cuò)誤，D正確；故選：ABC4．（2022·山東省平邑縣第一中學(xué)）（多選）在SKIPIF1<0所在平面內(nèi)有三點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心B．滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心C．滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心D．滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等邊三角形【答案】ABCD【解析】對(duì)于SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，故SKIPIF1<0正確；對(duì)于B，如圖所示，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，故B正確；對(duì)于C，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理可得：SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，故C正確；對(duì)于D，由SKIPIF1<0得：角SKIPIF1<0的平分線垂直于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，故D正確．故選：ABCD．考點(diǎn)六三角的面積【例6-1】（2022·全國(guó)·高三）點(diǎn)P菱形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則菱形ABCD的面積與SKIPIF1<0的面積的比為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】如圖，設(shè)SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積的比值是6.故選：B.【例6-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0為正SKIPIF1<0所在平面上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積比值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．2 D．3【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三角形SKIPIF1<0與三角形SKIPIF1<0的底邊相等，面積之比為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故選：B【一隅三反】1．（2022·上海交大附中）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以O(shè)為SKIPIF1<0的重心，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A2．（2022·全國(guó)·高三）P是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題設(shè)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共線且SKIPIF1<0，如下圖示：所以SKIPIF1<0.故選：A3．（2022·四川涼山）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)任意一點(diǎn)，若滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個(gè)“優(yōu)美點(diǎn)”．則下列結(jié)論中正確的有（

）①若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點(diǎn)，則SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0個(gè) B．SKIPIF1<0個(gè) C．SKIPIF1<0個(gè) D．SKIPIF1<0個(gè)【答案】D【解析】對(duì)于①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，①正確；對(duì)于②，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0與SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0之比為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②正確；對(duì)于③，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，③正確；對(duì)于④，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點(diǎn)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，④正確.故選：D.5.3平面向量的應(yīng)用（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一證線段垂直1．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）在平行四邊形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，且滿足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，則△AMN的形狀是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形.故選：C.2．（2022·新疆）在△ABC中，若SKIPIF1<0，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則△ABC為直角三角形.故選：B.3．（2021·浙江）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的是等腰三角形．故選：B．4．（2022·黑龍江）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】∵SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<02－SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0，∴SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即DE⊥AF.5．（2022·湖南）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.6．（2022·浙江）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】設(shè)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2-(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2=SKIPIF1<02+2e·SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0·SKIPIF1<0-SKIPIF1<02，由條件知：SKIPIF1<02=SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02+SKIPIF1<02，所以SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0·(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=0，即SKIPIF1<0，所以AD⊥BC.7．（2022·浙江）如圖，在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BD，AC相交于點(diǎn)O，M為BO中點(diǎn)．設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0題組二題組二夾角問(wèn)題1．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，以SKIPIF1<0點(diǎn)為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.2．（2022·江西）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直線分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：D.3．（2022·江蘇）（多選）已知向量SKIPIF1<0，記向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0為銳角 B．SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0為鈍角C．SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0為直角 D．SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0為平角【答案】ACD【解析】A.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為銳角，故正確；B.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角或平角，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角，故正確；D.SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平角，故正確.故選：ACD4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)入的取值范圍是：______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為銳角時(shí)，SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0