浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)等五校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期聯(lián)考試題含解析

PAGE26-浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)等五校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期聯(lián)考試題（含解析）選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合.則集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解指數(shù)不等式求得集合，再求得.【詳解】由，解得，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合交集的概念和運(yùn)算，考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知雙曲線的離心率為2，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)已知條件設(shè)，，，，再求漸近線方程即可.【詳解】由題知，設(shè)，，，所以.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸，所以漸近線方程為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，依據(jù)題意得到的關(guān)系為解題的關(guān)鍵，屬于簡潔題.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最短的棱與最長的棱長度之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出幾何體的直觀圖，計(jì)算出各條棱的棱長，由此可求得結(jié)果.【詳解】作出幾何體的直觀圖如下圖所示，由題意可知，該幾何體為四棱錐，且平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面平面，平面，平面，由三視圖中的數(shù)據(jù)可得，，，，，由勾股定理可得，同理可得，，，，，所以，四棱錐最短的棱長為，最長的棱長為，因此，該幾何體的最短的棱與最長的棱長度之比是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖計(jì)算四棱錐的棱長，依據(jù)三視圖還原幾何體是解答的關(guān)鍵，考查空間想象實(shí)力，屬于中等題.4.已知，滿意約束條件若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】作出滿意約束條件的可行域如圖所示：平移直線到點(diǎn)時(shí)，有最小值為∵恒成立∴，即故選D點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.須要留意的是：一、精確無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要留意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避開出錯(cuò)；三、一般狀況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.5.在中，是為銳角三角形的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若B為鈍角，A為銳角，則sinA>0，cosB<0，則滿意sinA>cosB，但△ABC為銳角三角形不成立，充分性不成立；若△ABC為銳角三角形，則都是銳角，即,即,則，即，必要性成立；故“”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件.本題選擇B選項(xiàng).6.函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故函數(shù)額為偶函數(shù)，解除A，當(dāng)時(shí)解除C，函數(shù)與的圖像只有2個(gè)交點(diǎn)即函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)，解除B.故選D.7.新冠來襲，湖北告急！有一支援鄂醫(yī)療小隊(duì)由3名醫(yī)生和6名護(hù)士組成，他們?nèi)恳才诺饺裔t(yī)院.每家醫(yī)院分到醫(yī)生1名和護(hù)士1至3名，其中護(hù)士甲和護(hù)士乙必需分到同一家醫(yī)院，則不同的安排方法有（）種A.252 B.540 C.792 D.684【答案】D【解析】【分析】先將分類狀況和分步步驟理清，然后依據(jù)分類加法、分步乘法計(jì)算原理，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)的計(jì)算公式，計(jì)算出不同的安排方法數(shù).【詳解】護(hù)士名，可分為或者兩類.先支配醫(yī)生，再支配護(hù)士.支配醫(yī)生，方法數(shù)有種，支配護(hù)士，由于“護(hù)士甲和護(hù)士乙必需分到同一家醫(yī)院”，故方法數(shù)有種.其中表示護(hù)士甲和護(hù)士乙共人一組的方法數(shù)，表示護(hù)士甲和護(hù)士乙與另一人共人一組的方法數(shù).所以總的方法數(shù)有種.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.8.如圖，矩形ABCD中，，，是AD的中點(diǎn)，將沿BE翻折，記為，在翻折過程中，①點(diǎn)在平面BCDE的射影必在直線AC上；②記和與平面BCDE所成的角分別為，，則的最大值為0；③設(shè)二面角的平面角為，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，推理可得面面，由射影的定義，線面成角的定義，二面角的定義，找到對應(yīng)的角，依據(jù)已知條件推理即可推斷角干脆的關(guān)系.【詳解】在矩形ABCD中，，，是AD的中點(diǎn)，連接,交于點(diǎn),可知,則,且,所以,所以,則,所以面,面,所以面面,過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則點(diǎn)必在直線上，故命題①正確；和與平面BCDE所成的角分別為，，即,因?yàn)?所以,,所以,當(dāng)重合時(shí)取等號，即所以命題②正確；因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，?因?yàn)?,所以，故③錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系、命題真假的推斷，考查線面角，面面角，線線成角問題，屬于中檔題.9.已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，若對隨意的，都有，且方程在區(qū)間上有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意知必存在唯一的正實(shí)數(shù)，滿意，①，∴②，由①②得：，∴，解得．故，由方程在區(qū)間上有兩解，

即有在區(qū)間上有兩解，由，可得，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增．在處取得最大值，，，分別作出，和的圖象，

可得兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，將的圖象向上平移，至經(jīng)過點(diǎn)，有兩個(gè)交點(diǎn)，由，即，解得，當(dāng)時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程兩解．故選A．10.已知數(shù)列，，，則當(dāng)時(shí)，下列推斷不肯定正確的是（）A. B.C. D.存在正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】C【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系式利用數(shù)學(xué)歸納法證明A正確，利用分析法證明B正確，取特值可說明C不正確，兩邊平方后利用放縮法可得，即可得到，分析恒成立的條件即可.【詳解】，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號，假設(shè)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，由以上可知，對成立，故A正確.若成立，則需成立，即成立，而成立，故原命題，B正確；取，則，，此時(shí)，，所以可知C不正確；，故，故取的正整數(shù)，則有時(shí)，恒成立，故D正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法，分析法證明，特值法解除，放縮法等不等式的性質(zhì)，考查推理實(shí)力，運(yùn)算實(shí)力，屬于難題.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.二項(xiàng)式的綻開式中，全部二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則________；且此綻開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是________【答案】(1).8(2).1120【解析】【分析】先依據(jù)全部二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，得，求得；再利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求得含x項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由全部二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，得，得，二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式令，得，故，故含x項(xiàng)的系數(shù)是1120.故答案是：8；1120【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，駕馭二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．12.已知復(fù)數(shù)，，若，則________；的取值范圍是________.【答案】(1).3；(2)..【解析】【分析】將化簡可得為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，表示到原點(diǎn)的距離的最大值；令，依據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)列式求出的取值范圍.【詳解】由，則，得，而，設(shè)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則，如圖所示:又圓的半徑，則；令，則直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，得.故答案為：3；【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的模的概念，留意將模轉(zhuǎn)化成距離，從而轉(zhuǎn)化成圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最值問題和直線與圓有交點(diǎn)的問題，充分運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思索.13.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，設(shè)兩人加工的零件中為一等品的個(gè)數(shù)為，則________；若，則________【答案】(1).(2).【解析】【分析】分析得到的可能取值為，且分別計(jì)算取每個(gè)值時(shí)的概率，依據(jù)公式計(jì)算，，再計(jì)算.【詳解】的可能取值為，則，，，則；，則，由，則故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量分布列的期望和方差，還考查了方差的性質(zhì)，列出分布列是解決問題的關(guān)鍵.14.已知在中，，，，延長BC至D，使，則________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用余弦定理，求得，利用正弦定理求得.【詳解】在三角形中，由余弦定理得，即，也即，解得（負(fù)根舍去）.在三角形中，由余弦定理得，也即，所以.三角形中，由余弦定理得，由于，所以，所以.在三角形中，由正弦定理得,所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于中檔題.15.已知，，若，則的最大值為________【答案】9【解析】【分析】由數(shù)量積公式證明，取，借助圖形進(jìn)行分析，即可得出答案.【詳解】如下圖所示設(shè)，則則的最大值即為的最大值當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，如下圖所示，此時(shí)取最大值故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求向量模長的取值范圍，涉及了數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.16.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿意，則xyz的最小值為________【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以，所以.由于，當(dāng)時(shí)，即，所以.當(dāng)時(shí)，即，所以.綜上所述，.所以，其對稱軸為，開口向下，所以當(dāng)，有最小值，即最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查基本不等式、一元二次不等式，屬于難題.17.設(shè)直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線恰有4條，則r的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】設(shè)，探討斜率的存在性，依據(jù)點(diǎn)差法，直線垂直的斜率關(guān)系，點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系，得出，再由點(diǎn)在圓上，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得出的范圍.【詳解】設(shè)若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為由，兩式相減得直線與圓相切，即由點(diǎn)在拋物線內(nèi)，則，即，即故時(shí)，直線有2條若直線的斜率不存在時(shí)，直線有2條所以當(dāng)時(shí)，直線恰有4條故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù)，且圖像上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離為.（1）求的值以及的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若且，求的值.【答案】（1），（）（2）【解析】【分析】（1）先利用利用三角恒等變換化簡解析式，依據(jù)圖像上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離求得，進(jìn)而求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用三角恒等變換的學(xué)問，化簡求得的值.【詳解】（1）由于圖像上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離為，所以.所以.由，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為（）.（2）由（1）得.依題意，，，而，所以，所以.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.19.在三棱錐中，，，，，點(diǎn)D在線段AB上，且滿意.（1）求證：（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）首先取的中點(diǎn)，連接，，易證平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證明.（2）過點(diǎn)作于O，連，，易證，得到，從而得到為二面角的平面角，且.設(shè)，利用余弦定理得到，依據(jù)得到，利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換得到到面的距離為的值，再求直線與平面所成角即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.平面.平面，所以.（2）過點(diǎn)作于O，連，因?yàn)椋?，為公共邊，所以，?所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫嫫矫?，所?令，則，，.平面平面，，所以平面.平面，.在中，由，得，，所以，得.又因?yàn)?，記到面的距離為，，.則，記直線與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題第一問考查利用線面垂直證明線線垂直，其次問考查幾何法求線面角，屬于難題.20.數(shù)列，，（1）是否存在常數(shù)，，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出，的值，若不存在，說明理由.（2）設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）存在；，（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）設(shè)，，由題設(shè)導(dǎo)出．存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列．（2），，當(dāng)時(shí)，由得，由此能夠?qū)С霎?dāng)時(shí)，．【詳解】解：（1）設(shè)可化為，即故解得可化為又故存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列（2）證明：由（1）得，故時(shí)，現(xiàn)證.當(dāng)時(shí)，，而，，故時(shí)不等式成立當(dāng)時(shí)，由得，綜上可得當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要細(xì)致審題，細(xì)致解答，留意計(jì)算實(shí)力的培育，屬于中檔題．21.已知橢圓，過點(diǎn)，且該橢圓的短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，的張角為直角.（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)且斜率大于0的直線與橢圓E相交于點(diǎn)P，Q，直線AP，AQ與y軸相交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，求得的值，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)直線和直線的方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡后寫出判別式和根與系數(shù)關(guān)系，求得的表達(dá)式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）由于橢圓的短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，的張角為直角，所以，所以，，（2）設(shè)直線l的方程為，，，直線AP的方程為，可得，直線AQ的方程為，可得.聯(lián)立，消去y，整理得.可得，由于，所以.，由于，所以，也即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于難題.22.已知函數(shù)（1）若，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，證明：（2）若在，處導(dǎo)數(shù)相等，求的取值范圍，使得對隨意的，，恒有成立.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，分析函數(shù)的大致圖象，即可求出滿意條件的的取值范圍；（2）先由題意知在不單調(diào)得，分與兩種狀況，探討的最大值，從而得證.【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：.時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減因?yàn)闀r(shí)，時(shí).所以有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，（其中）.時(shí)，即