《中級微觀經濟學》4-效用

4效用Utility8/16/20241中級微觀經濟學本章要點效用函數

邊際效用邊際替代率關鍵詞：效用函數8/16/20242中級微觀經濟學本章要求判斷效用函數的單調變換。認識常見幾種偏好的效用函數：完全替代偏好、完全互補偏好、擬線形偏好、柯布—道格拉斯偏好。已知效用函數，畫出無差異曲線。已知效用函數，計算邊際效用和邊際替代率。8/16/20243中級微觀經濟學效用現代消費理論使用偏好的概念來研究消費者的行為，而效用是描述消費者偏好的一種方法。8/16/20244中級微觀經濟學人類行為偏好

無差異曲線效用函數8/16/20245中級微觀經濟學消費者的偏好有兩種描述方法，一種是無差異曲線（幾何方法），另一種是效用函數（數學方法）。在現代經濟學中，效用和效用函數僅僅被看作是描述偏好的一種數學方法。8/16/20246中級微觀經濟學關于效用的不同觀點基數效用論：用絕對值來度量效用。序數效用論：關注于數值的相對排序關系。8/16/20247中級微觀經濟學基數效用19世紀末、20世紀初，西方經濟學家普遍使用基數效用的概念?；鶖担?，2，3，……不僅可以進行比較，還可以進行加總、求和等數學運算。8/16/20248中級微觀經濟學基數效用的缺陷主觀價值的測量難題“我們之所以利用數字，無非要使一種說明起來比較困難、而又是歷來缺乏研究的心理領域中的現象，能更容易地被加以論證罷了。”

——門格爾效用的絕對值不能測量。

——帕累托8/16/20249中級微觀經濟學對于構造需求函數而言，核心問題是消費品之間的選擇，因此可以通過觀察人們的主觀偏好特征來排列商品的效用等級。而基數效用的特征（便于加總、求和）對此則完全是多余的。序數效用就可以勝任。8/16/202410中級微觀經濟學序數效用序數：第一、第二、第三……只表示順序、等級，本身的數字量是沒有任何意義的。8/16/202411中級微觀經濟學消費者對各種可行消費方案可以排出個好壞次序，第一好、第二好、第三好……即不論他能否說出滿足程度到底有多少，但總可以說出“這種消費比那種消費更好一些，或較差一些，或沒有什么差異”。消費者對消費方案作出的這種評價和比較，就是消費者偏好。當然，這種評價不具有基數效用那樣的絕對意義。德布魯（Debreu，1954）證明，僅僅依賴偏好關系，就可以很好地定義效用概念，并且推導出了新古典的消費需求理論。8/16/202412中級微觀經濟學從此，效用不再是消費問題的原點，而成為描述偏好、乃至于消費者選擇行為的一種方法?，F代經濟學主要以序數效用論作為需求理論的基礎?！凹热换鶖敌в貌⒉皇敲枋鲞x擇行為所必需的，而且也沒有任何令人信服的方法來指派基數效用，所以我們將完全堅持序數效用的分析框架”

——范里安，第45頁。消費者的偏好則構成消費者選擇行為的出發(fā)點，效用成了描述消費者偏好的一種方法。8/16/202413中級微觀經濟學效用函數（UtilityFunctions）一個效用函數對于每一組可能的消費束賦予一個數字，使得更受偏好的消費束得到更大的數字。效用函數的存在性：如果消費者偏好具有完備性、反身性、傳遞性、連續(xù)性和強單調性，那么存在一個能代表該偏好的連續(xù)效用函數。1983年的經濟學諾獎獲得者吉拉德.德布魯（GerardDebreu1954)證明了這一點。具體證明方法參見任何一本高級微觀經濟學教科書。8/16/202414中級微觀經濟學效用函數（UtilityFunctions）一個效用函數U(x)代表一種偏好關系

x’x”U(x’)>U(x”)

x’x”U(x’)<U(x”)

x’~x”U(x’)=U(x”).pp8/16/202415中級微觀經濟學效用函數（UtilityFunctions）效用函數唯一重要的特征是它對消費束所進行的排序。（Utilityisanordinal(i.e.ordering)concept）.例如，如果有U(x)=6和U(y)=2，這時，消費束

x嚴格偏好于消費束

y。但不能說三倍的消費束

x與消費束

y一樣好。8/16/202416中級微觀經濟學效用函數不是唯一的一般存在著多種為消費束排序的方法。因此，對于一個效用關系而言，效用函數不唯一。8/16/202417中級微觀經濟學假定U(x1,x2)=x1x2

代表一種效用關系?？紤]消費束(4,1),（2,3)和(2,2)。

U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4;

即(2,3)>(4,1)~(2,2)。8/16/202418中級微觀經濟學U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定義V=U2則V(x1,x2)=x12x22

并且

V(2,3)=36>V(4,1)=V(2,2)=16

因此，同樣有

(2,3)(4,1)~(2,2).V和U代表同一種排列順序，因此，代表同一種偏好關系。pp8/16/202419中級微觀經濟學U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定義W=2U+10.那么W(x1,x2)=2x1x2+10則

W(2,3)=22>W(4,1)=W(2,2)=18。再次,

(2,3)(4,1)~(2,2)。W和U，

V代表同一種排序，從而代表同一種偏好關系。pp8/16/202420中級微觀經濟學效用函數的單調變換如果是一個代表某一偏好的效用函數，且是一個遞增的函數，那么代表了同樣的偏好關系。因為：當且僅當

根據效用函數的定義，也是代表了該偏好的效用函數。8/16/202421中級微觀經濟學因此，任何效用函數的正單調變換后的函數是代表原偏好關系的一個效用函數。8/16/202422中級微觀經濟學單調變化的例子：對原效用函數乘以一個正數，對原效用函數加上任意數，對原效用函數取奇次冪等。8/16/202423中級微觀經濟學判斷單調變換的方法1判斷單調變換的方法1（適用于效用函數是一元函數時，判斷單調變換）

（教材43頁）：

求導，如果導數大于零，則是單調變換，否則不是。

例題：課后作業(yè)第2題（教材55頁）

8/16/202424中級微觀經濟學8/16/202425中級微觀經濟學從效用函數到無差異曲線從幾何學上講，效用函數是給無差異曲線標記數字的方法，較高效用的無差異曲線得到較大的數字。因此，從效用函數到無差異曲線很簡單，只需畫出效用函數的等值曲線就可以了！

K=3K=28/16/202426中級微觀經濟學從無差異曲線得出效用函數從無差異曲線得出效用函數較困難，但我們可以考慮幾種常見的例子:8/16/202427中級微觀經濟學效用函數的例子完全替代

u(x1,x2)=ax1+bx2.完全互補u(x1,x2)=min{ax1,bx2}擬線性函數u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas，C-D)函數u(x1,x2)=x1c

x2d

8/16/202428中級微觀經濟學完全替代（PerfectSubstitution）

55991313x1x2x1+x2=5x1+x2=9x1+x2=13全部是線性的平行線重要的是商品的總數量，因此

u(x1,x2)=x1+x28/16/202429中級微觀經濟學完全替代（PerfectSubstitution）

8/16/202430中級微觀經濟學問題寫出下列消費者的效用函數，并畫出無差異曲線。1、王剛愿意用商品x1來代替商品x2

，但是為了補償所放棄的1單位商品x1

，要求獲得2單位的商品x2.8/16/202431中級微觀經濟學問題1x2x121Slope=dx2/dx1=-2效用函數為：u（x1,x2

）=2x1+x28/16/202432中級微觀經濟學問題2、李楠既喜歡喝汽水x1

，又喜歡吃冰棍x2

，但她認為三杯汽水和兩根冰棍是無差異的。8/16/202433中級微觀經濟學問題2x2x123Slope=dx2/dx1=-2/3所以，效用函數為：u（x1,x2

）=2/3x1+x2或：

u（x1,x2

）=2x1+3x28/16/202434中級微觀經濟學完全互補（perfectcomplementarity）x2x145omin{x1,x2}=8358358min{x1,x2}=5min{x1,x2}=3全部是L型的，其頂點在從原點出發(fā)的一條射線上重要的是最少的那一種商品決定了你的效用！因此u(x1,x2)=min{x1,x2}8/16/202435中級微觀經濟學完全互補（perfectcomplementarity）8/16/202436中級微觀經濟學完全互補（perfectcomplementarity）x2（糖）x1（茶）45omin{x1,1/2x2}=2122min{x1,1/2x2}=14（1，2）（2，4）X1=1/2x28/16/202437中級微觀經濟學問題張強每喝2杯水x就要吃3根冰棍y。寫出他的效用函數并畫出無差異曲線。8/16/202438中級微觀經濟學

x:y=2:33x=2yxy3x=2ymin{3x,2y}（2，3）3x=2y8/16/202439中級微觀經濟學擬線性（quasi-linear）效用函數形式為

u(x1,x2)=v(x1)+x2

的效用函數僅僅對于

x2

是線性的，對于x1卻是非線性的，因此，稱為擬線性效用函數。例如：u(x1,x2)=2x11/2+x2。8/16/202440中級微觀經濟學擬線性偏好的無差異曲線x2x1每一條曲線是對其他曲線的垂直平移。v(x1)+x2=k1v(x1)+x2=k2v(x1)+x2=k38/16/202441中級微觀經濟學C-D偏好的效用函數任何形式為

U(x1,x2)=x1c

x2d，c>0且d>0的效用函數被稱為柯布—道格拉斯效用函數（Cobb-Douglas

utilityfunction

）。

例如U(x1,x2)=x11/2x21/2(c=d=1/2)

V(x1,x2)=x1x23(c=1,d=3)8/16/202442中級微觀經濟學柯布—道格拉斯無差異曲線x2x18/16/202443中級微觀經濟學當然，柯布-道格拉斯效用函數的單調變換也表示同一個偏好。常見的兩個例子：（1）v(x1,x2)=ln（x1c

x2d）

=clnx1+dlnx2

（2）v(x1,x2)=x1ax21-a8/16/202444中級微觀經濟學總結完全替代

u(x1,x2)=ax1+bx2完全互補u(x1,x2)=min{ax1,bx2}擬線性函數u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas，C-D)函數u(x1,x2)=x1c

x2d

請記住這些基本效用函數，如果某些效用函數經過單調變換，可以得到類似的效用函數，就表示相同的偏好。例子：課后作業(yè)第4-6題8/16/202445中級微觀經濟學5、CES效用函數8/16/202446中級微觀經濟學邊際效用（MarginalUtilities）邊際量是

“增量”（incremental）。商品i

的邊際效用指當其消費數量改變，所引發(fā)的總效用量改變量和消費數量改變量的比例；即：8/16/202447中級微觀經濟學邊際效用（MarginalUtilities）如果效用函數為

U(x1,x2)=x11/2x22，則8/16/202448中級微觀經濟學例如，效用函數U（x1,x2）=x1+x2，

U（x1,x2）=2x1+2x2。代表同樣的偏好。但計算出的邊際效用不同。U（x1,x2）=x1+x2MU1=1U（x1,x2）=2x1+2x2MU1=28/16/202449中級微觀經濟學邊際效用和邊際替代率

（MarginalUtilitiesandMarginalRates-of-Substitution）無差異曲線的一般公式化為

U(x1,x2)ok,k是常數。全微分得：

8/16/202450中級微觀經濟學邊際效用和邊際替代率所以，這就是邊際替代率MRS。8/16/202451中級微觀經濟學邊際效用和邊際替代率：舉例假定U(x1,x2)=x1x2。則

所以8/16/202452中級微觀經濟學邊際效用和邊際替代率：舉例

MRS(1,8)=-8/1=-8

MRS(6,6)=-6/6=-1.x1x28616U=8U=36U(x1,x2)=x1x2;8/16/202453中級微觀經濟學擬線性效用函數的邊際替代率擬線性效用函數的形式為

U(x1,x2)=f(x1)+x2。所以8/16/202454中級微觀經濟學擬線性效用函數的邊際替代率x2x1MRS=-f‘(x1)和x2無關。