《中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》4-效用

4效用Utility8/16/20241中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)本章要點(diǎn)效用函數(shù)

邊際效用邊際替代率關(guān)鍵詞：效用函數(shù)8/16/20242中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)本章要求判斷效用函數(shù)的單調(diào)變換。認(rèn)識(shí)常見幾種偏好的效用函數(shù)：完全替代偏好、完全互補(bǔ)偏好、擬線形偏好、柯布—道格拉斯偏好。已知效用函數(shù)，畫出無(wú)差異曲線。已知效用函數(shù)，計(jì)算邊際效用和邊際替代率。8/16/20243中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用現(xiàn)代消費(fèi)理論使用偏好的概念來(lái)研究消費(fèi)者的行為，而效用是描述消費(fèi)者偏好的一種方法。8/16/20244中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)人類行為偏好

無(wú)差異曲線效用函數(shù)8/16/20245中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)消費(fèi)者的偏好有兩種描述方法，一種是無(wú)差異曲線（幾何方法），另一種是效用函數(shù)（數(shù)學(xué)方法）。在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中，效用和效用函數(shù)僅僅被看作是描述偏好的一種數(shù)學(xué)方法。8/16/20246中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)于效用的不同觀點(diǎn)基數(shù)效用論：用絕對(duì)值來(lái)度量效用。序數(shù)效用論：關(guān)注于數(shù)值的相對(duì)排序關(guān)系。8/16/20247中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)基數(shù)效用19世紀(jì)末、20世紀(jì)初，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家普遍使用基數(shù)效用的概念?；鶖?shù)：1，2，3，……不僅可以進(jìn)行比較，還可以進(jìn)行加總、求和等數(shù)學(xué)運(yùn)算。8/16/20248中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)基數(shù)效用的缺陷主觀價(jià)值的測(cè)量難題“我們之所以利用數(shù)字，無(wú)非要使一種說(shuō)明起來(lái)比較困難、而又是歷來(lái)缺乏研究的心理領(lǐng)域中的現(xiàn)象，能更容易地被加以論證罷了?！?/p>

——門格爾效用的絕對(duì)值不能測(cè)量。

——帕累托8/16/20249中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)于構(gòu)造需求函數(shù)而言，核心問題是消費(fèi)品之間的選擇，因此可以通過觀察人們的主觀偏好特征來(lái)排列商品的效用等級(jí)。而基數(shù)效用的特征（便于加總、求和）對(duì)此則完全是多余的。序數(shù)效用就可以勝任。8/16/202410中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)序數(shù)效用序數(shù)：第一、第二、第三……只表示順序、等級(jí)，本身的數(shù)字量是沒有任何意義的。8/16/202411中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)消費(fèi)者對(duì)各種可行消費(fèi)方案可以排出個(gè)好壞次序，第一好、第二好、第三好……即不論他能否說(shuō)出滿足程度到底有多少，但總可以說(shuō)出“這種消費(fèi)比那種消費(fèi)更好一些，或較差一些，或沒有什么差異”。消費(fèi)者對(duì)消費(fèi)方案作出的這種評(píng)價(jià)和比較，就是消費(fèi)者偏好。當(dāng)然，這種評(píng)價(jià)不具有基數(shù)效用那樣的絕對(duì)意義。德布魯（Debreu，1954）證明，僅僅依賴偏好關(guān)系，就可以很好地定義效用概念，并且推導(dǎo)出了新古典的消費(fèi)需求理論。8/16/202412中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)從此，效用不再是消費(fèi)問題的原點(diǎn)，而成為描述偏好、乃至于消費(fèi)者選擇行為的一種方法。現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)主要以序數(shù)效用論作為需求理論的基礎(chǔ)?！凹热换鶖?shù)效用并不是描述選擇行為所必需的，而且也沒有任何令人信服的方法來(lái)指派基數(shù)效用，所以我們將完全堅(jiān)持序數(shù)效用的分析框架”

——范里安，第45頁(yè)。消費(fèi)者的偏好則構(gòu)成消費(fèi)者選擇行為的出發(fā)點(diǎn)，效用成了描述消費(fèi)者偏好的一種方法。8/16/202413中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用函數(shù)（UtilityFunctions）一個(gè)效用函數(shù)對(duì)于每一組可能的消費(fèi)束賦予一個(gè)數(shù)字，使得更受偏好的消費(fèi)束得到更大的數(shù)字。效用函數(shù)的存在性：如果消費(fèi)者偏好具有完備性、反身性、傳遞性、連續(xù)性和強(qiáng)單調(diào)性，那么存在一個(gè)能代表該偏好的連續(xù)效用函數(shù)。1983年的經(jīng)濟(jì)學(xué)諾獎(jiǎng)獲得者吉拉德.德布魯（GerardDebreu1954)證明了這一點(diǎn)。具體證明方法參見任何一本高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書。8/16/202414中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用函數(shù)（UtilityFunctions）一個(gè)效用函數(shù)U(x)代表一種偏好關(guān)系

x’x”U(x’)>U(x”)

x’x”U(x’)<U(x”)

x’~x”U(x’)=U(x”).pp8/16/202415中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用函數(shù)（UtilityFunctions）效用函數(shù)唯一重要的特征是它對(duì)消費(fèi)束所進(jìn)行的排序。（Utilityisanordinal(i.e.ordering)concept）.例如，如果有U(x)=6和U(y)=2，這時(shí)，消費(fèi)束

x嚴(yán)格偏好于消費(fèi)束

y。但不能說(shuō)三倍的消費(fèi)束

x與消費(fèi)束

y一樣好。8/16/202416中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用函數(shù)不是唯一的一般存在著多種為消費(fèi)束排序的方法。因此，對(duì)于一個(gè)效用關(guān)系而言，效用函數(shù)不唯一。8/16/202417中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)假定U(x1,x2)=x1x2

代表一種效用關(guān)系?？紤]消費(fèi)束(4,1),（2,3)和(2,2)。

U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4;

即(2,3)>(4,1)~(2,2)。8/16/202418中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定義V=U2則V(x1,x2)=x12x22

并且

V(2,3)=36>V(4,1)=V(2,2)=16

因此，同樣有

(2,3)(4,1)~(2,2).V和U代表同一種排列順序，因此，代表同一種偏好關(guān)系。pp8/16/202419中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定義W=2U+10.那么W(x1,x2)=2x1x2+10則

W(2,3)=22>W(4,1)=W(2,2)=18。再次,

(2,3)(4,1)~(2,2)。W和U，

V代表同一種排序，從而代表同一種偏好關(guān)系。pp8/16/202420中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用函數(shù)的單調(diào)變換如果是一個(gè)代表某一偏好的效用函數(shù)，且是一個(gè)遞增的函數(shù)，那么代表了同樣的偏好關(guān)系。因?yàn)椋寒?dāng)且僅當(dāng)

根據(jù)效用函數(shù)的定義，也是代表了該偏好的效用函數(shù)。8/16/202421中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)因此，任何效用函數(shù)的正單調(diào)變換后的函數(shù)是代表原偏好關(guān)系的一個(gè)效用函數(shù)。8/16/202422中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)單調(diào)變化的例子：對(duì)原效用函數(shù)乘以一個(gè)正數(shù)，對(duì)原效用函數(shù)加上任意數(shù)，對(duì)原效用函數(shù)取奇次冪等。8/16/202423中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)判斷單調(diào)變換的方法1判斷單調(diào)變換的方法1（適用于效用函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，判斷單調(diào)變換）

（教材43頁(yè)）：

求導(dǎo)，如果導(dǎo)數(shù)大于零，則是單調(diào)變換，否則不是。

例題：課后作業(yè)第2題（教材55頁(yè)）

8/16/202424中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)8/16/202425中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)從效用函數(shù)到無(wú)差異曲線從幾何學(xué)上講，效用函數(shù)是給無(wú)差異曲線標(biāo)記數(shù)字的方法，較高效用的無(wú)差異曲線得到較大的數(shù)字。因此，從效用函數(shù)到無(wú)差異曲線很簡(jiǎn)單，只需畫出效用函數(shù)的等值曲線就可以了！

K=3K=28/16/202426中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)從無(wú)差異曲線得出效用函數(shù)從無(wú)差異曲線得出效用函數(shù)較困難，但我們可以考慮幾種常見的例子:8/16/202427中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用函數(shù)的例子完全替代

u(x1,x2)=ax1+bx2.完全互補(bǔ)u(x1,x2)=min{ax1,bx2}擬線性函數(shù)u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas，C-D)函數(shù)u(x1,x2)=x1c

x2d

8/16/202428中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)完全替代（PerfectSubstitution）

55991313x1x2x1+x2=5x1+x2=9x1+x2=13全部是線性的平行線重要的是商品的總數(shù)量，因此

u(x1,x2)=x1+x28/16/202429中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)完全替代（PerfectSubstitution）

8/16/202430中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題寫出下列消費(fèi)者的效用函數(shù)，并畫出無(wú)差異曲線。1、王剛愿意用商品x1來(lái)代替商品x2

，但是為了補(bǔ)償所放棄的1單位商品x1

，要求獲得2單位的商品x2.8/16/202431中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題1x2x121Slope=dx2/dx1=-2效用函數(shù)為：u（x1,x2

）=2x1+x28/16/202432中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題2、李楠既喜歡喝汽水x1

，又喜歡吃冰棍x2

，但她認(rèn)為三杯汽水和兩根冰棍是無(wú)差異的。8/16/202433中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題2x2x123Slope=dx2/dx1=-2/3所以，效用函數(shù)為：u（x1,x2

）=2/3x1+x2或：

u（x1,x2

）=2x1+3x28/16/202434中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)完全互補(bǔ)（perfectcomplementarity）x2x145omin{x1,x2}=8358358min{x1,x2}=5min{x1,x2}=3全部是L型的，其頂點(diǎn)在從原點(diǎn)出發(fā)的一條射線上重要的是最少的那一種商品決定了你的效用！因此u(x1,x2)=min{x1,x2}8/16/202435中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)完全互補(bǔ)（perfectcomplementarity）8/16/202436中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)完全互補(bǔ)（perfectcomplementarity）x2（糖）x1（茶）45omin{x1,1/2x2}=2122min{x1,1/2x2}=14（1，2）（2，4）X1=1/2x28/16/202437中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題張強(qiáng)每喝2杯水x就要吃3根冰棍y。寫出他的效用函數(shù)并畫出無(wú)差異曲線。8/16/202438中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

x:y=2:33x=2yxy3x=2ymin{3x,2y}（2，3）3x=2y8/16/202439中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)擬線性（quasi-linear）效用函數(shù)形式為

u(x1,x2)=v(x1)+x2

的效用函數(shù)僅僅對(duì)于

x2

是線性的，對(duì)于x1卻是非線性的，因此，稱為擬線性效用函數(shù)。例如：u(x1,x2)=2x11/2+x2。8/16/202440中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)擬線性偏好的無(wú)差異曲線x2x1每一條曲線是對(duì)其他曲線的垂直平移。v(x1)+x2=k1v(x1)+x2=k2v(x1)+x2=k38/16/202441中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)C-D偏好的效用函數(shù)任何形式為

U(x1,x2)=x1c

x2d，c>0且d>0的效用函數(shù)被稱為柯布—道格拉斯效用函數(shù)（Cobb-Douglas

utilityfunction

）。

例如U(x1,x2)=x11/2x21/2(c=d=1/2)

V(x1,x2)=x1x23(c=1,d=3)8/16/202442中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)柯布—道格拉斯無(wú)差異曲線x2x18/16/202443中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)然，柯布-道格拉斯效用函數(shù)的單調(diào)變換也表示同一個(gè)偏好。常見的兩個(gè)例子：（1）v(x1,x2)=ln（x1c

x2d）

=clnx1+dlnx2

（2）v(x1,x2)=x1ax21-a8/16/202444中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)總結(jié)完全替代

u(x1,x2)=ax1+bx2完全互補(bǔ)u(x1,x2)=min{ax1,bx2}擬線性函數(shù)u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas，C-D)函數(shù)u(x1,x2)=x1c

x2d

請(qǐng)記住這些基本效用函數(shù)，如果某些效用函數(shù)經(jīng)過單調(diào)變換，可以得到類似的效用函數(shù)，就表示相同的偏好。例子：課后作業(yè)第4-6題8/16/202445中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)5、CES效用函數(shù)8/16/202446中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際效用（MarginalUtilities）邊際量是

“增量”（incremental）。商品i

的邊際效用指當(dāng)其消費(fèi)數(shù)量改變，所引發(fā)的總效用量改變量和消費(fèi)數(shù)量改變量的比例；即：8/16/202447中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際效用（MarginalUtilities）如果效用函數(shù)為

U(x1,x2)=x11/2x22，則8/16/202448中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)例如，效用函數(shù)U（x1,x2）=x1+x2，

U（x1,x2）=2x1+2x2。代表同樣的偏好。但計(jì)算出的邊際效用不同。U（x1,x2）=x1+x2MU1=1U（x1,x2）=2x1+2x2MU1=28/16/202449中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際效用和邊際替代率

（MarginalUtilitiesandMarginalRates-of-Substitution）無(wú)差異曲線的一般公式化為

U(x1,x2)ok,k是常數(shù)。全微分得：

8/16/202450中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際效用和邊際替代率所以，這就是邊際替代率MRS。8/16/202451中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際效用和邊際替代率：舉例假定U(x1,x2)=x1x2。則

所以8/16/202452中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際效用和邊際替代率：舉例

MRS(1,8)=-8/1=-8

MRS(6,6)=-6/6=-1.x1x28616U=8U=36U(x1,x2)=x1x2;8/16/202453中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)擬線性效用函數(shù)的邊際替代率擬線性效用函數(shù)的形式為

U(x1,x2)=f(x1)+x2。所以8/16/202454中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)擬線性效用函數(shù)的邊際替代率x2x1MRS=-f‘(x1)和x2無(wú)關(guān)。