考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷14（共245題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷14（共9套）（共245題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、當(dāng)x→0+時，若lna(1+2x)、均是比x高階的無窮小，則a的取值范圍是()A、(2，+∞)．B、(1，2)．C、D、標準答案：B知識點解析：顯然，a≠0，當(dāng)x→0-時，lna(1+2x)～(2x)a=2axa，故由題意可得a＞1，且＞1，即1＜a＜2．2、設(shè)f’(x0)存在，則下列極限中等于f’(x0)的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：這是一個考查導(dǎo)數(shù)定義及其推廣形式的問題．故應(yīng)選D．3、已知f(0)=0，則f(x)在點x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：(反例排除法)取f(x)=｜x｜，則f(0)=0，f(x)在點x=0處不可導(dǎo)，但排除A．排除C．排除D．故應(yīng)選B．4、設(shè)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且(A是大于零的常數(shù))，則()A、f(x0)是f(x)的極大值．B、f(x0)是f(x)的極小值．C、在點x0的某一鄰域內(nèi)f(x)單調(diào)增加．D、在點x0的某一鄰域內(nèi)f(x)單調(diào)減少．標準答案：B知識點解析：由及極限的局部保號性知，存在x0的某一去心鄰域，使得在該鄰域內(nèi)，列表2：因為f(x)在點x0處可導(dǎo)，所以f(x)在點x0處連續(xù)，故由極值的第一充分條件知，f(x0)是f(x)的極小值．5、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且f’(x)＞0，F(xiàn)(x)=，則F(x)在(a，b)內(nèi)()A、單調(diào)增加．B、單調(diào)減少．C、是偶函數(shù)．D、是奇函數(shù)．標準答案：A知識點解析：考慮F(x)的單調(diào)性．由積分中值定理得于是因為f’(x)＞0，所以f(x)單調(diào)增加，從而當(dāng)a≤ξ≤x時，f(ξ)≤f(x)，因此F’(x)≥0，即F(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加．6、設(shè)曲線y=x2與y=4所圍成的圖形的面積為S，則下列各式中，錯誤的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由于定積分的結(jié)果與積分變量用什么符號表示無關(guān)，故如果B錯誤，則D錯誤；同樣如果D錯誤，則B錯誤，排除B、D．由于平面圖形關(guān)于y軸對稱，取z為積分變量，則平面圖形的面積為(4-x2)dx．故錯誤的是C．7、二元函數(shù)f(x，y)=在點(0，0)處()A、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在．B、不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在．C、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微．D、偏導(dǎo)數(shù)存在、不可微．標準答案：C知識點解析：這是一個二元分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性以及可微性的判斷問題，應(yīng)用相應(yīng)定義去判斷．連續(xù)性因為=f(0，0)(無窮小量與有界變量的乘積仍然是無窮小量)，所以f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)，不選B．偏導(dǎo)數(shù)的存在性由于f(x，y)中的自變量x，y具有輪換對稱性，故類似地有f’y(0，0)=0，不選A．可微性因為所以△z-dz=o(ρ)，即Az=dz+o(ρ)，其中故f(x，y)在點(0，0)處可微；應(yīng)選C．8、設(shè)y=f(x，t)，而t=t(x，y)由方程F(x，y，t)=0確定，其中f，F(xiàn)都具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：這是一個關(guān)于抽象方程組所確定的函數(shù)的求導(dǎo)問題．將方程y=f(x，t)，F(xiàn)(x，y，t)=0兩端求全微分，得dy=f’xdx+f’tdt，F(xiàn)’xdx+F’ydy+F’tdt=0，消去dt，得(f’tF’y+F’t)dy=(f’xF’t-f’tF’x)dx，于是9、設(shè)D=((x，y){x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，f(x)是D上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)＞0，a，b為常數(shù)，則=()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于被積函數(shù)是抽象函數(shù)表達式，所以不能直接計算．由積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點考慮用輪換對稱性．10、設(shè)∑={(x，y，z)｜x2+y2+z2=R2，z≥0}，Dxy={(x，y)｜x2+y2≤R2}，對于下列三個等式說法正確的是()A、只有①正確．B、只有②正確．C、只有③正確．D、都不正確．標準答案：D知識點解析：本題考查兩類曲面積分的計算方法．第一類曲面積分是利用“一代二換三投影”將其轉(zhuǎn)化為二重積分進行計算，第二類曲面積分是利用“一代二投三定向”將其轉(zhuǎn)化為二重積分進行計算．由于∑可以寫成，所以由于沒有指明曲面∑的側(cè)，所以故三個等式都不正確，應(yīng)選D．11、若冪級數(shù)an(x-1)n在x=-2點處收斂，則此冪級數(shù)在x=3點處()A、條件收斂．B、絕對收斂．C、發(fā)散．D、斂散性不能確定．標準答案：B知識點解析：本題主要考查阿貝爾定理的條件與結(jié)論．因為冪級數(shù)an(x-1)n在x=-2點處收斂，由阿貝爾定理，該冪級數(shù)在適合｜x-1｜＜｜-2-1｜=3的范圍內(nèi)，即x∈(-2，4)時絕對收斂，而3∈(-2，4)，所以此冪級數(shù)在x=3點處絕對收斂．故應(yīng)選B．12、設(shè)y1，y2，y3是二階線性非齊次微分方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，C1，C2是任意常數(shù)，則該微分方程的通解是()A、y=C1y1+C2y2+y3．B、y=C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C、y=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D、y=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．標準答案：D知識點解析：本題主要考查二階線性非齊次微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)．二階線性非齊次微分方程的通解等于二階線性齊次微分方程的通解加上二階線性非齊次微分方程的一個特解．A因為C1y1+C2y2不是二階線性齊次微分方程的通解，排除A．By=C1y1+C2y2=(C1+C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，而y1-y3，y2-y3是二階線性齊次微分方程的兩個線性無關(guān)解(如果其線性相關(guān)，則y1-y2=k(y2-y3)，y1=ky2+(1-k)y3，從而y1，y2，y3線性相關(guān)，與y1，y2，y3線性無關(guān)矛盾)，因此B是二階線性齊次微分方程的通解，而不是二階線性非齊次微分方程的通解，排除B．Cy=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3=C1(y1+y2)+C2(y2+y3)-y3，而y1+y3，y2+y3一般來說不是二階線性齊次微分方程的解，排除C．故只有選D．事實上D可以寫成y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3，其中C1(y1-y3)+C2(y2-y3)是二階線性齊次微分方程的通解，y3是二階線性非齊次微分方程的一個特解．所以y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3是二階線性非齊次微分方程的通解．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、設(shè)f(x)定義在(0，+∞)上，f(ex)=1+x，f[φ(x)]=1+x+lnx，則φ(x)_____．標準答案：xex知識點解析：這是一個函數(shù)記號靈活表示的問題．令ex=t，則x=lnt，由f(ex)=1+x，得f(t)=1+lnt．從而f[φ(x)]=1+lnφ(x)=1+x+lnx，所以lnφ(x)=x+lnx，φ(x)=xex．14、=_____.標準答案：-1知識點解析：15、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=1-xey確定，則曲線y=y(x)在x=0對應(yīng)點的切線方程為________．標準答案：y=1-ex知識點解析：當(dāng)x=0時，由y=1-xey，得y=1，所以x=0對應(yīng)曲線y=y(x)上點的坐標為(0，1)．方程y=1-xey兩邊對x求導(dǎo)，得所以切線斜率為．故所求切線方程為y-1=-e(x-0)，即y=1-ex．16、曲線y=e-x2的凸區(qū)間是______，凹區(qū)間是________．標準答案：知識點解析：y’=e-x2.(-2x)，y’’=e-x2.(-2x)2+e-x2.(-2)=2e-x2(2x2-1)，令y’’=0，得x1=．列表8：故函數(shù)曲線的凸區(qū)間是17、函數(shù)f(x)=在點x0=1處帶佩亞諾型余項的四階泰勒公式為________．標準答案：1+(x-1)2+(x-1)4+o[(x-1)4]知識點解析：18、=_______.標準答案：知識點解析：19、心形線ρ=a(1+cosθ)(a＞0)的全長為________．標準答案：8a知識點解析：心形線關(guān)于極軸對稱(如圖40所示)，根據(jù)極坐標方程下的弧長公式，心形線的全長為20、如果=x2-y2，則f’x(x，y)=_______．標準答案：知識點解析：這是一個二元函數(shù)記號的靈活表示與偏導(dǎo)數(shù)計算的綜合問題，先求出f(x，y)的表達式，再求f’x(x，y)．令x+y=u，，所以21、二次積分=_______.標準答案：3-2sin1-2cos1知識點解析：雖然理論上存在原函數(shù)，但由于其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故根據(jù)所給積分次序畫出積分區(qū)域圖，交換積分次序進行計算．由已知二次積分知，積分區(qū)域由直線y=0，y=1，x=y及曲線圍成，如圖45所示，交換積分次序，得22、設(shè)空間曲線г：x=acost，y=asint，z=kt(0≤t≤2π，k為任意非零常數(shù))，則∫г(x2+y2+z2)ds=________．標準答案：知識點解析：本題考查空間曲線的第一類曲線積分的計算，方法是將其轉(zhuǎn)化為定積分計算．23、設(shè)=______.標準答案：a-b-0知識點解析：因為(un-un-1)=b，由級數(shù)收斂的定義知，其部分和sn=(u1-u0)+2(u2-u1)+…+n(un-un-1)=-u0-u1-u2-…-un-1+nun=-u0-+(n+1)un的極限為由已知條件，知故級數(shù)的和為un-u2-b=a-b-u0．24、將f(x)=(0≤x≤π)展開成正弦級數(shù)為________．標準答案：知識點解析：先將f(x)延拓成[-π，π]上的奇函數(shù)，然后再延拓成周期為2π的周期函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)公式，有an=0(n=0，1，2，…)，由于將f(x)延拓成周期為2π的奇函數(shù)，x=0是間斷點，x=π是連續(xù)點，且f(x)的正弦級數(shù)在x=0及x=π處收斂于0，故在(0，π]上，收斂于f(x)．于是f(x)的正弦級數(shù)為25、微分方程y’’+y=x2的通解為_____．標準答案：y=C1cosx+C2sinx+x2-2知識點解析：這是一個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程求通解問題．首先求y’’+y=0的通解．y’’+y=0的特征方程為r2+1=0，特征根為r=±i，所以其通解為Y=C1cosx+C2sinx．其次求y’’+y=x2的一個特解．設(shè)其一個特解為y*=Ax2+Bx+C，則y*’=2Ax+B，y*’’=2A，將其代入到y(tǒng)’’+y=x2并化簡，得Ax2+Bx+2A+C=x2，比較等式兩邊x同次冪的系數(shù)，得A=1，B=0，2A+C=0，所以A=1，B=0，C=-2，故y*=x2-2．最后寫出y’’+y=x2的通解，為y=Y+y’=C1cosx+C2sinx+x2-2．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、下列命題中不正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因為增加或去掉有限項不改變數(shù)列的斂散性，故A正確．由數(shù)列與子數(shù)列之間的關(guān)系，B正確．由收斂數(shù)列必是有界數(shù)列，C正確．故應(yīng)選D．事實上，取，顯然xn≤an≤yn，且2、函數(shù)f(x)=的間斷點()A、不存在．B、正好1個．C、正好2個．D、正好3個．標準答案：C知識點解析：由f(x)的表達式或圖形知，f(x)正好有兩個間斷點3、設(shè)x=y-εsiny(0＜ε＜為常數(shù))，它的反函數(shù)是y=y(x)，則等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：(反函數(shù)求導(dǎo)法)再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，得4、使函數(shù)f(x)=適合羅爾定理條件的區(qū)間是()A、[0，1]．B、[-1，1]．C、D、[1，2]．標準答案：A知識點解析：本題主要考查羅爾定理的條件．函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)．因為所以f(x)在點x=0處不可導(dǎo)，排除B、C．由于f(x)在[1，2]的端點處的函數(shù)值不相等，故應(yīng)選A．5、下列等式成立的是()A、∫｜x｜dx=x2+C．B、C、∫f’(2x)dx=f(2x)+C．D、∫e｜x｜=e｜x｜+C．標準答案：B知識點解析：選項A，當(dāng)x≥0時，∫｜x｜dx=∫xdx=x2+C；當(dāng)x＜0時，∫｜x｜dx=-∫xdx=x2+C，排除A．選項B，，故B正確．選項C，，排除C．選項D，當(dāng)x≥0時，∫e｜x｜dx=∫exdx=ex+C；當(dāng)x＜0時，∫e｜x｜dx=∫e-xdx=-∫e-xd(-x)=-e-x+C，排除D．6、等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：因為被積函數(shù)是周期為兀的周期函數(shù)，由周期函數(shù)的積分特點，有7、半圓形閘門半徑為R(m)，將其垂直放人水中，且直徑與水面齊平．設(shè)水的密度為ρ，如果坐標原點取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力P為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：建立如圖18所示的坐標系，取x為積分變量，x∈[0，R]．對于[0，R]上的任一微元[x，x+dx]，其上所受壓力微元為故閘門所受壓力為8、已知z=f(xy，x2+y2)，其中f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=()A、f’1+xyf’’11+4xyf’’22．B、f’1+xyf"11+2(x2+y2)f’’12+4xyf’’22．C、xyf’’11+2(x2+y2)f’’12+4xyf’’22．D、xyf’’11+4xyf’’22．標準答案：B知識點解析：本題考查二元復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計算=yf’1+2xf’2，=(xf’’11+2yf’’12)y+f’1+(xf’’21+2yf’’22).2x，由于f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以f’’12=f’’21，于是=f’1+xyf’’11+2(x2+y2)f’’12+4xyf’’22．9、直角坐標下的二次積分化為極坐標下的二次積分為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由已知二次積分知，積分區(qū)域D由直線x=0，y=x及曲線y=1+圍成，如圖23所示．于是，在極坐標下，積分區(qū)域為再將被積表達式轉(zhuǎn)化為極坐標下的表達式，有10、在力F=xi+yi的作用下，一質(zhì)點從點A(a，0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0，b)，力F所做的功為()A、(b2-a2)．B、(a2-b2)．C、(b2-a2)．D、(a2-b2)．標準答案：A知識點解析：本題主要考查第二類曲線積分的物理意義與計算方法．橢圓的參數(shù)方程為(0≤θ≤2π)．根據(jù)第二類曲線積分的物理意義，力F所做的功為11、設(shè)級數(shù)條件收斂，將其中的正項取出(負項處補為0)組成的級數(shù)記為，將其中的負項取出(正項處補為0)組成的級數(shù)記為，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由已知條件知bn=(an+｜an｜)，cn=(an-｜an｜)，因為級數(shù)條件收斂，所以都發(fā)散．12、如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一個特解，則該方程滿足初始條件y(0)=2的特解為()A、y=cos2x+2．B、y=cos2x+1．C、y=2cosc．D、y=2cos2x．標準答案：D知識點解析：因為y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一個特解，將其代入微分方程，得-2sin2x+P(x)cos2x=0．所以P(x)=2tan2x．原微分方程為y’+2tan2x.y=0，這是一個一階線性齊次微分方程或可分離變量的微分方程，分離變量得=-2tan2xdx．等式兩邊積分，得=-2∫tan2xdx，即ln｜y｜=ln｜cos2x｜+ln｜C｜，于是y=Ccos2x．由y(0)=2，得C=2．故所求特解為y=2cos2x．13、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是()A、y’’’+y’’-4y’-4y=0．B、y’’’+y’’+4y’+4y=0．C、y’’’-y’’-4y’+4y=0．D、y’’’-y+4y’-4y=0．標準答案：D知識點解析：這是一個由三階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解求微分方程的問題．根據(jù)通解的結(jié)構(gòu)可知，r1=1，r2,3=±2i是其特征根，從而特征方程為(r-1)(r+2i)(r-2i)=0，即r3-r2+4r-4=0，故所求微分方程為y’’’-y’’+4y’-y=0．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、設(shè)0＜a＜b，則=_______.標準答案：b知識點解析：15、設(shè)f(x)在x=1點處連續(xù)，且，則f’(1)=_______．標準答案：2知識點解析：由及f(x)在x=1點處連續(xù)，得=f(1)=0，于是由導(dǎo)數(shù)的定義有16、設(shè)f(x)=則f’(0)=_______．標準答案：0知識點解析：利用導(dǎo)數(shù)的定義求分段函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)．17、=_____．標準答案：abc知識點解析：這是一個1∞型未定式的極限，用對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化計算．18、=________.標準答案：知識點解析：這是一個積分上限函數(shù)求導(dǎo)問題，可直接利用公式計算．19、設(shè)由兩曲線y=x2與y=ax3(0＜a＜1)所圍成圖形的面積為，則a=_______．標準答案：知識點解析：由解得兩曲線的交點為(0，0)與，于是兩曲線圍成圖形的面積可表示為由題設(shè)知20、xOy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為_______，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為_______．標準答案：知識點解析：一般地，xOy面上的曲線f(x，y)=0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為由上面公式，得xOy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為=1；繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為21、函數(shù)f(x，y)=x2+y2在條件下的極值為________．標準答案：知識點解析：(用條件極值的拉格朗日乘數(shù)法)作拉格朗日函數(shù)解得是f(x，y)=x2+y2在條件下唯一可能的極值點．把條件代入目標函數(shù)，得f(x，y)=x2+y2=x2+，將目標函數(shù)看作一元函數(shù)，利用一元函數(shù)極值的充分條件判斷，可知是f(x，y)=x2+y2在條件下的極小值．故當(dāng)時，f(x，y)的極值為22、設(shè)平面區(qū)域D由直線x=1，y=及曲線x2+y2=1圍成，則二重積分f(x，y)dxdy在極坐標下的二次積分為______．標準答案：知識點解析：直線x=1的極坐標方程為r=secθ，直線y=1的極坐標方程為r=cscθ，曲線(圓)x2+y2=1的極坐標方程為r=1，平面區(qū)域D如圖50所示，直線y=x將積分區(qū)域D分成兩部分，在極坐標下積分區(qū)域D={(r，θ)｜0≤θ≤，1≤r≤secθ}∪{(r，θ)｜，1≤r≤cscθ}，于是，二重積分在極坐標下的二次積分為23、設(shè)Σ為平面z=2x+3y(x≥0，y≥0，x+y≤2)，則曲面積分(x+y+z)dS=_________．標準答案：知識點解析：本題考查第一類曲面積分的計算．利用“一代二換三投影”將其轉(zhuǎn)化為二重積分進行計算．24、冪級數(shù)xn的收斂半徑為_______．標準答案：知識點解析：記an=(n=1，2，…)，則故冪級數(shù)的收斂半徑R=25、已知f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，且對任意x，y滿足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在點x=0處可導(dǎo)，且f’(0)=e，則f(x)=_______．標準答案：xex1知識點解析：這是一個已知函數(shù)方程求函數(shù)問題，其一般方法是將已知函數(shù)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，得到微分方程，解微分方程得到所求函數(shù)．但由于本題f(x)僅已知其在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，條件太弱，方程兩邊不能求導(dǎo)數(shù)，所以考慮用導(dǎo)數(shù)的定義建立微分方程．在已知等式中，取x=y=0，得f(0)=0．由導(dǎo)數(shù)的定義，得=f(x)+exf’(0)=f(x)+ex+1．于是，f(x)滿足的微分方程為這是一階線性微分方程，可以利用一階線性微分方程的通解公式求解，也可以用下面簡便方法求解．因為f’(x)-f’(x)=ex+1，將方程兩邊乘以e-x，得e-xf’(x)-e-xf’(x)=e，即[e-xf(x)]’=e，等式兩邊積分，得e-xf(x)=ex+C，所以f(x)=Cex+xex+1，由f(0)=0，得C=0，故f(x)=xex+1．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、函數(shù)f(x)=x3一3x+k只有一個零點，則k的范圍為()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2標準答案：C知識點解析：，令f’(x)=3x2－3=0，得x=±1，f’’(x)=6x，由f’’(一1)=一6＜0，得x=一1為函數(shù)的極大值點，極大值為f(一1)=2+k，由f’’(1)=6＞0，得x=1為函數(shù)的極小值點，極小值為f(1)=一2+k，因為f(x)=x3一3x+k只有一個零點，所以2+k＜0或一2+k＞0，故｜k｜＞2，選(C)．2、在曲線y=(x－1)2上的點(2，1)處作曲線的法線，由該法線、x軸及該曲線所圍成的域為D(y＞0)，則區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：過曲線y=(x一1)2上點(2，1)的法線方程為y=x+2，該法線與x軸的交點為(4，0)，則由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V=π∫12(x一1)4dx+π∫24，選(D)．3、設(shè)收斂，則下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：4、微分方程y’’一4y=x+2的通解為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：微分方程y’’一4y=0的特征方程為λ2一4=0，特征值為一2，2，則方程y’’一4y=0的通解為C1e－2x+C2e2x，顯然方程y’’一4y=x+2有特解，選(D)．5、f(x)=則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但f’(x)在x=0處不連續(xù)D、可導(dǎo)且f’(x)在x=0處連續(xù)標準答案：D知識點解析：二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、________．標準答案：2知識點解析：7、當(dāng)x→0時，x—sinxcos2x～cxk，則c=________，k=_______．標準答案：c=，k=3知識點解析：8、設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為=__________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求．標準答案：知識點解析：暫無解析10、求．標準答案：知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)連續(xù)，且對任意的x，y∈(一∞，+∞)有f(x＋y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．標準答案：當(dāng)x=y=0時，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．對任意的x∈(一∞，+∞)，則f(x)=x2+x+C，因為f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)=∫0xdt，討論f(x)的單調(diào)性、凹凸性、拐點、水平漸近線．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求．標準答案：知識點解析：暫無解析14、計算．標準答案：x=1為被積函數(shù)的無窮間斷點，則知識點解析：暫無解析15、設(shè)a，b為非零向量，且｜b｜=1，．標準答案：．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x，y)=，試討論f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性和可微性．標準答案：知識點解析：暫無解析17、把f(x，y)dxdy寫成極坐標的累次積分，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x｝．標準答案：D=知識點解析：暫無解析18、計算曲線積分，其中L為不經(jīng)過原點的逆時針光滑閉曲線．標準答案：(1)當(dāng)O(0，0)在L所圍成區(qū)域的外部時，由格林公式(2)當(dāng)O(0，0)在L所圍成區(qū)域的內(nèi)部時，作Cr：x2＋4y2=r2(其中r＞0，Cr在L內(nèi)部，方向為逆時針方向)，再令由L和Cr－所圍成的區(qū)域為Dr，由格林公式知識點解析：暫無解析19、求冪級數(shù)的收斂域．標準答案：知識點解析：暫無解析20、f(x)=，求f(x)的間斷點并分類．標準答案：x=k(k=0，一1，一2，…)及x=1為f(x)的間斷點．知識點解析：暫無解析21、當(dāng)x＞0時，證明：．標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在(一a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f'(0)=2．22、證明：對0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；標準答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt，顯然F(x)在[0，x]上可導(dǎo)，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=xf[(θx)一f(－θx)]．知識點解析：暫無解析23、求．標準答案：令=A，由∫0xf(t)dt＋∫0－xf(t)dt=x[f(θx)一f(-θx)]，得知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0．證明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x，y)=．(1)f(x，y)在點(0，0)處是否連續(xù)?(2)f(x，y)在點(0，0)處是否可微?標準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，計算，其中D是由y=x3，y=1，x=一1圍成的區(qū)域．標準答案：設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，則知識點解析：暫無解析27、設(shè)an=∫01x2(1一x)ndx，討論級數(shù)an的斂散性，若收斂求其和．標準答案：知識點解析：暫無解析28、位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(0，2)，在該點處的切線水平，曲線上任一點(x，y)處的曲率與及1+y’2之積成反比，比例系數(shù)為k=，求y=y(x)·標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)收斂，則下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：(A)不對，如發(fā)散；(B)不對，如也收斂；(C)不對，如發(fā)散，選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)2、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=________，b=________．標準答案：a=1，b=一1；知識點解析：f(0+0)==3+2b，f(0)=1，f(0一0)=，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0+0)=f(0)=f(0—0)，故a=1，b=一1．3、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0且f’(0)=b，若F(x)=在x=0處連續(xù)，則A=_______．標準答案：a＋b知識點解析：因為F(x)在x=0處連續(xù)，所以A=a+b．4、=_________．標準答案：知識點解析：5、點M(3，一4，4)到直線的距離為_________．標準答案：知識點解析：點M0(4，5，2)在直線上，s=｛2，一2，1｝為直線的方向向量，，則點M(3，一4，4)到直線的距離為d=．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)6、求．標準答案：知識點解析：暫無解析7、求．標準答案：知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)=且f’(0)存在，求a，b的值．標準答案：f(0一0)=b，f(0)=f(0+0)=0，由f(x)在x=0處連續(xù)得b=0；f－’(0)==a，f＋’(0)==2．因為f’(0)存在，所以f－’(0)=f＋’(0)，故a=2．知識點解析：暫無解析9、由方程sin(xy)+ln(y—x)=x確定函數(shù)y=y(x)，求｜x=0．標準答案：x=0代入sin(xy)+ln(y一x)=x得y=1，sin(xy)+ln(y一x)=x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得cos(xy)．=1．將x=0，y=1代入得=1．知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．標準答案：令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(1)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，故f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得．標準答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得ln2一lnl=，其中η∈(1，2)，f(2)一f(1)=f’(ζ)(2一1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：12、存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標準答案：令φ(x)=e－x2f(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x2[f’(x)一2xf(x)]且e－x2≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析13、存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．標準答案：令φ(x)=xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知識點解析：暫無解析14、求．標準答案：由A(x一4)(x一3)2+B(x一2)(x一3)2+C(x一2)(x一3)(x一4)＋D(x一2)(x一4)=1得，C=0，D=－1，知識點解析：暫無解析15、求．標準答案：知識點解析：暫無解析16、求曲線L：(a＞0)所圍成的平面區(qū)域的面積．標準答案：令L：(0≤t≤2π)，第一卦限的面積為故所求的面積為A=4A1=．知識點解析：暫無解析17、計算下列定積分：標準答案：(1)(2)(3)知識點解析：暫無解析18、設(shè)曲線y=a+x－x3，其中a＜0，當(dāng)x＞0時，該曲線在x軸下方與y軸、x軸所圍成圖形的面積和在x軸上方與x軸所圍成圖形的面積相等，求a．標準答案：設(shè)曲線y=a＋x—x3與x軸正半軸的交點橫坐標為α，β(α＜β)，由條件得一∫0α(a+x—x3)dx=∫αβ(a+x—x3)dx，移項得∫0α(a+x—x3)dx+∫αβ(a+x—x3)dx=∫0β(a+x—x3)dx=0β(4a+2β—β3)=0．因為β＞0，所以4a+2β一β3=0．又因為(β，0)為曲線y=a+x—x3與x軸的交點，所以有a+β—β3=0，從而有．知識點解析：暫無解析19、求曲面∑：x2一y2+2z2=8上與平面π：x—y+2z一5=0平行的切平面．標準答案：設(shè)切點坐標為(x，y，z)，法向量為n=｛2x，一2y，4z｝=2｛x，一y，2z｝，由=t得x=t，y=t，z=t，代入曲面得t=±2，切點為M1(一2，一2，一2)及M2(2，2，2)，所求的切平面為π1：(x+2)一(y+2)+2(z+2)=0，即π1：x—y+2z+4=0，π2：(x一2)一(y一2)+2(z一2)=0，即π2：x—y+2z一4=0．知識點解析：暫無解析20、討論f(x，y)=在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標準答案：因為=0，所以=0=f(0，0)，即函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為=0，所以fx’(0，0)=0，根據(jù)對稱性得fy’(0，0)=0，即函數(shù)f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．△z=fx’(0，0)x—fy’(0，0)y=f(x，y)一fx’(0，0)x—fy’(0，0)y=，因為不存在，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)不可微．知識點解析：暫無解析21、計算dxdy，其中D=｛(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1｝．標準答案：由對稱性得I=dxdy，則知識點解析：暫無解析22、計算sinx2cosy2dxdy，其中D：x2+y2≤a2(x≥0，y≥0)．標準答案：由對稱性得I=sinx2cosy2dxdy=siny2cosx2dxdy，知識點解析：暫無解析23、，其中L為由x軸，x2+y2=4及y=x所圍成的第一封限內(nèi)的區(qū)域的邊界．標準答案：令L1：y=0(0≤x≤2)，L2：，L3：y=x(0≤x≤)，知識點解析：暫無解析24、計算y(x—z)dydz+x(z—y)dxdy，其中∑為z=位于平面z=1及z=2之間部分的外側(cè)．標準答案：∑1：z=1(x2+y2≤1)取下側(cè)，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上側(cè)，所以原式=0．知識點解析：暫無解析25、設(shè)an為發(fā)散的正項級數(shù)，令Sn=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．證明：收斂．標準答案：顯然｛Sn｝n=1∞。單調(diào)增加，因為級數(shù)=∞，對交錯級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析26、設(shè)位于第一卦限的曲線y=f(x)上任一點P(x，y)的切線在x軸上的截距等于該點法線在y軸上截距的相反數(shù)，且曲線經(jīng)過點(1，0)，求該曲線．標準答案：切線為Y—y=y’(X一x)，令Y=0得X=x一；法線為Y—y=一(X一x)，令X=0得Y=y＋，由題意得，令μ=，即積分得一μ+2ln(μ+1)=一lnx+C，初始條件代入得C=0，所求曲線為=一lnx．知識點解析：暫無解析27、求微分方程cosy—cosxsin2y=siny的通解．標準答案：由cosy—cosxsin2y=siny得—cosxsin2y=siny．令μ=siny，則一μ=cosx．μ2，令μ－1=z，則＋z=－cosx，解得z=[∫(－cosx)e∫dxdx＋C]e－∫dx=[一∫excosxdx+C]ex=[ex(sinx＋cosx)+C]e－x=Ce－x一(sinx+cosx)則(sinx+cosx)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、曲線的漸近線有()．A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：B知識點解析：由為水平漸近線，顯然該曲線沒有斜漸近線，又因為x→1及x→－2時，函數(shù)值不趨于無窮大，故共有兩條漸近線，應(yīng)選(B)．2、矩形閘門寬a米，高h米，垂直放在水中，上邊與水面相齊，閘門壓力為()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh標準答案：A知識點解析：取[x，x+dx][0，h]，dF=ρg×x×a×dx=ρgaxdx，則F=ρg∫0haxdx=ρg∫0hahdh，選(A)．3、在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()．A、只有1條B、只有2條C、至少3條D、不存在標準答案：B知識點解析：在t=t0處曲線的切向量為T=｛1，一2t0，3t02｝，切線與平面x+2y+z=4平行的充分必要條件是n．T=0，即1—4t0+3t02=0，解得t0=或t0=1，選(B)．4、若級數(shù)μn收斂(μn＞0)，則下列結(jié)論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：令Sn=μ1+μ2+…+μn，因為=0．令Sn’=(μ1+μ2)+(μ2+μ3)+…+(μn+μn＋1)=2Sn一μ1+μn＋1，于是Sn一μ1，存在，選(C)，(A)、(B)、(D)都不對．5、微分方程y’’一4y=e2x+x的特解形式為()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx＋cC、axe2x＋bx2＋cxD、axe2x+bx＋c標準答案：D知識點解析：y’’一4y=0的特征方程為λ2一4=0，特征值為λ1=一2，λ2=2．y’’一4y=e2x的特解形式為y1=axe2x，y’’一4y=x的特解形式為y2=bx+c，故原方程特解形式為axe2x+bx+c，應(yīng)選(D)．6、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜<δ內(nèi)連續(xù)B、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜＜δ內(nèi)可導(dǎo)C、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且f’(x0)=f’(x)D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)不存在，則f(x)在x0處不可導(dǎo)標準答案：C知識點解析：設(shè)f(x)=顯然f(x)在x=0處連續(xù)，對任意的x0≠0，因為不存在，所以f(x)在x0處不連續(xù)，(A)不對；同理f(x)在x=0處可導(dǎo)，對任意的x0≠0，因為f(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0處也不可導(dǎo)，(B)不對；二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)7、=________．標準答案：知識點解析：8、=________．標準答案：知識點解析：9、I(x)=∫0xdμ在區(qū)間[－1，1]上的最大值為________．標準答案：ln3知識點解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)10、求．標準答案：知識點解析：暫無解析11、求．標準答案：知識點解析：暫無解析12、求y=f(x)=的漸近線．標準答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)k＞0，討論常數(shù)k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定義域內(nèi)沒有零點、有一個零點及兩個零點．標準答案：知識點解析：暫無解析14、求．標準答案：知識點解析：暫無解析15、求∫－11(2+sinx)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析16、討論f(x，y)=，在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標準答案：△z－fx’(0，0)x一fy’(0，0)y=f(x，y)一fx’(0，0)x—fy’(0，0)y=，因為不存在，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)不可微．知識點解析：暫無解析17、把二重積分f(x，y)dxdy寫成極坐標下的累次積分的形式(先r后θ)，其中D由直線x+y=1，x=1，y=1圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)曲線積分∫L[f’(x)+2f(x)+ex]ydx+[f’(x)-x]dy與路徑無關(guān)，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)連續(xù)可導(dǎo)，求f(x)．標準答案：P(x，y)=[f’(x)+2f(x)+ex]y，Q(x，y)=f’(x)一x，=f’’(x)－1，=f’(x)+2f(x)+ex，因為曲線積分與路徑無關(guān)，所以，z整理得f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1，特征方程為λ2一λ一2=0，特征值為λ1=一1，λ2=2，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=0的通解為f(x)=C1e－x+C2e2x；令方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex的特解為f1(x)=aex，代入得；方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=1的特解為f2(x)=，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的特解為f0(x)=(ex+1)，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的通解為f(x)=C1－x+C2e2x一(ex+1)，知識點解析：暫無解析19、求冪級數(shù)的收斂域．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，f(a)＜0，而f(x)存在且大于零，證明：f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點．標準答案：令=k＞0，所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時，有，特別地，f(X0)＞0，因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知識點解析：暫無解析21、證明：當(dāng)x＞0時，(x2一1)lnx≥(x一1)2．標準答案：令φ(x)=(x2一1)lnx一(x一1)2，φ(1)=0．故x=1為φ(x)的極小值點，也為最小值點，而最小值為φ(1)=0，所以x＞0時，φ(x)≥0，即(x2一1)lnx≥(x一1)2．知識點解析：暫無解析設(shè)S(x)=∫0x｜cosx｜dt·22、證明：當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，2n≤S(x)＜2(n+1)；標準答案：當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，∫0nπ｜cost｜dt≤∫0π｜cost｜dt＜∫0(n＋1)π｜cost｜dt，∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cost｜dt==2n，∫0(n＋1)π｜cost｜dt=2(n＋1)，則2n≤S(x)＜2(n+1)．知識點解析：暫無解析23、求．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=0．證明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．標準答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x－a)∫abf’2(x)dx積分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x一a)dx．∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x，y)=，討論f(x，y)在(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性．標準答案：0≤｜f(x，y)｜≤｜xy｜，知識點解析：暫無解析26、設(shè)Ω：x2+y2+z2≤1，證明：．標準答案：令f(x，y，z)=x+2y一2z+5，因為fx’=1≠0，fy’=2≠0，fz’=-2≠0，所以f(x，y，z)在區(qū)域Ω的邊界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y一2z+5+λ(x2＋y2+z2—1)，知識點解析：暫無解析27、若正項級數(shù)收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，=ecoty，求f(x，y)．標準答案：即f(x，y)=φ(y)e－x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e－xsiny．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設(shè){an}，{bn}，{cn}均為非負數(shù)列，且則必有()A、an＜bn對任意n成立．B、bn＜cn對任意n成立．C、極限不存在．D、極限不存在．標準答案：D知識點解析：(特例排除法)取an=(n=1，2，…)，則選項A、B、C均可排除．2、要使f(x)=在(-∞，+∞)內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，則()A、a=π，b=0．B、a=π，b=1．C、a=，b=1．D、a=，b=0．標準答案：A知識點解析：由于初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，要使f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，只需f(x)在x=0點連續(xù)，即成立，因為不存在，所以b=0，從而3、設(shè)f(0)=0，且(常數(shù))，則f(x)在點x=0處()A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)且f’(0)=A．標準答案：D知識點解析：因為(常數(shù))，所以故f(x)在點x=0處連續(xù)．進一步，所以f(x)在點x=0處可導(dǎo)且f’(0)=A．故應(yīng)選D．4、設(shè)函數(shù)y=2sinx+sin3x，則在點x=處()A、y取得最小值．B、y取得極小值．C、y取得極大值．D、y不取極值．標準答案：C知識點解析：由y’=2cosx+cos3x，y’’=-2sinx-3sin3x，得所以是駐點，由極值的第二充分條件知，在點處y取得極大值．5、設(shè)∮f(x)dx=arccosx+C，則等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：等式∫f(x)dx=arccosx+C兩端對x求導(dǎo)，得f(x)=，所以6、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f’(0)≠0，又存在有界函數(shù)θ(x)≠0(x≠0)滿足，則等于()A、0．B、C、1．D、2．標準答案：B知識點解析：根據(jù)已知條件f’(0)≠0，將已知等式改寫成[f(t)-f(0)]dt=x[f(θx)-f(0)]，將上式兩端乘以，得7、設(shè)a，b，c均為非零向量，則與a不垂直的向量是()A、(a.c)b-(a.b)c．B、C、a×b．D、a+(a×b)×a．標準答案：D知識點解析：利用兩個非零向量垂直(正交)這兩個向量的內(nèi)積等于零．由向量的運算法則有A項a.[(a.c)b-(a.b)c]=(a.c)(a.b)-(a.b)(a.c)=0，B項a.(a.a)=a.b-a.b=0，C項a.(a×b)=0，D項a.[a+(a×b)×a]=a.a=｜a｜2≠0．故與a不垂直的向量是a+(a×b)×a，應(yīng)選D．8、設(shè)函數(shù)x=z(x，y)由方程z+x=yf(x2-z2)確定，其中f(u)可導(dǎo)，則=()A、y．B、x．C、yf(x2-y2)．D、z．標準答案：B知識點解析：這是一個三元方程所確定的二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)問題，本題采用方程兩邊求全微分，再利用全微分形式不變性得到方程z+x=yf(x2-z2)兩邊求全微分，得dz+dz=fdy+yf’(2xdx-2zdz)，所以由全微分形式不變性，得9、設(shè)I=xy2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，則I等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由于4個選項中只有先對y后對x的二次積分與極坐標下的二次積分，因此只需要將積分區(qū)域D寫成直角坐標下的X型區(qū)域與極坐標下的區(qū)域，并考慮被積表達式的變化即可．在直角坐標下，在極坐標下，D={(x，y)｜0≤θ≤，0≤r≤1}，于是故應(yīng)選C．10、在從點O(0，0)到點A(π，0)的曲線族L：y=asinx(a＞0)中，使曲線積分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小的a等于()A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：A知識點解析：本題是第二類曲線積分的計算與一元函數(shù)最值計算的綜合問題．在計算第二類曲線積分時，類似于上題，也有兩種方法，這里用直接計算法．記I(a)=∫L(1+y2)dx+(2x+y)dy令I(lǐng)’(a)=-4+4a2=4(a2-1)=0，得a=1(a=-1舍去)，I’’(a)=8a，I’’(1)=8＞0，故I(a)在a=1處取得極小值，也是最小值．故應(yīng)選A．11、設(shè)有無窮級數(shù)，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：(推理法)若中至少有一個不成立，由級數(shù)收斂的必要條件知，中至少有一個發(fā)散．故應(yīng)選B．12、微分方程=(x-y)(x+y)，=cosy+x，③y2dx-(y2+2xy-y)dy=0中，一階線性微分方程是()A、①．B、②．C、③．D、①、②、③均不是．標準答案：C知識點解析：可直接觀察出方程①、②不是一階線性微分方程．對于方程③，將其變形為將x看成未知函數(shù)，y為自變量，則該方程就是一階線性微分方程．故應(yīng)選C．13、差分方程yt+1-yt=3t2+1具有的特解形式為()A、yt*=At2+B．B、yt*=At3+Bt+Ct．C、yt*=At2+Bt2．D、yt*=At2+Bt+C．標準答案：B知識點解析：因為a=1，且一階線性差分方程yt+1-yt=3t2+1的非齊次項f(t)=3t2+1是二次多項式，所以其具有的特解形式為yt*=t(At2+Bt+C)=At3+Bt2+Ct．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、=_____.標準答案：1知識點解析：由于，所以15、已知f(x)由方程cos(xy)+lny-x=1確定，則=______．標準答案：2知識點解析：這是一個關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義與隱函數(shù)求導(dǎo)的綜合問題．其方法是先將所求極限湊成f(x)在點x=0處的導(dǎo)數(shù)定義的推廣形式，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)求出f’(x)．進一步求出f’(0)．在已知等式中，取x=0得y-1，即f(0)=1．因為，將方程cos(xy)+lny-x=1兩邊對x求導(dǎo)，得將x=0，y=1代入上式，得16、設(shè)f(t)=，則f’’(t)=______．標準答案：4(1+t)e2t知識點解析：因為f(t)==te2t，所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t，f’’(t)=2e2t+2(1+2t)e2t=4(1+t)e2t．17、曲線y=(x-5)的拐點坐標為________．標準答案：(-1，-6)知識點解析：令y’’=0，得x=-1；當(dāng)x=0時y’’不存在，列表10：故曲線的拐點坐標為(-1，-6)．18、設(shè)f(x)在[0，+∞)內(nèi)連續(xù)，且=_______．標準答案：1知識點解析：這是一個型未定式的極限，用洛必達法則時，只要考慮到積分上限的導(dǎo)數(shù)即可．19、位于曲線y=xe-x(0≤x＜+∞)下方，x軸上方的無界圖形的面積為_______．標準答案：1知識點解析：這是一個無界區(qū)域的面積問題，可用無窮限的反常積分計算．所求面積為20、設(shè)f(x，y)在點(a，b)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則=______.標準答案：2f’x(a，b)知識點解析：由于所求極限與偏導(dǎo)數(shù)的定義形式非常接近，故考慮利用偏導(dǎo)數(shù)的定義求極限．由f(x，y)在點(a，b)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，可知=f’x(a，b)+f’x(a，b)=2f’x(a，b)．21、設(shè)n是曲面z=x2+y2在點M(1，1，2)處指向下側(cè)的法向量，則函數(shù)u=x2+yz在點M處沿方向n的方向?qū)?shù)為_______．標準答案：知識點解析：令F(x，y，z)=x2+y2-z，則曲面z=x2+y2在點M處指向下側(cè)的法向量n=(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z)｜M=(2x，2y，-1)｜(1,1,2)=(2，2，-1)，將其單位化，得，n0=，則n的方向余弦為由方向?qū)?shù)計算公式，u在點M處沿方向n的方向?qū)?shù)為22、設(shè)平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分=______.標準答案：知識點解析：在直角坐標下，無論是用X型區(qū)域還是用Y型區(qū)域，計算都比較煩瑣，可考慮用極坐標計算．在極坐標下，積分區(qū)域D={(r，θ)｜，0≤r≤2sinθ}，如圖52所示，則23、向量A=xi+yj+zk通過閉區(qū)域Ω={(x，y，z)｜0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}的邊界曲面流向外側(cè)的通量為________．標準答案：3知識點解析：本題考查第二類曲面積分的物理意義及計算．一般地，Pdydz+Qdzdx+Rdxdy表示向量場A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)七通過曲面∑向著指定側(cè)的通量(或流量)，其中函數(shù)P，Q，R均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．設(shè)Ω的邊界為∑，則所求通量為24、設(shè)函數(shù)f(x)=anxn(-∞＜x＜∞)，f(0)=0，且滿足[(n+1)an+1+an]xn=ex，則f(x)的表達式為_______．標準答案：(ex-e-x)知識點解析：因為f(x)=，則[(n+1)an+1+an]xn=ex，上式可化為f’(x)+f(x)=ex，等式兩邊乘以ex，得[f(x)ex]’=e2x，兩邊積分，得f(x)ex=e2x+C，由f(0)=0，得C=25、設(shè)函數(shù)f(x)在[2，+∞)上可導(dǎo)且f(2)=1，如果f(x)的反函數(shù)g(x)滿足=x2f(x)+x，則f(4)=_____．標準答案：知識點解析：當(dāng)x≥2時，將已知方程兩邊對x求導(dǎo)得g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，因為g(x)是f(x)的反函數(shù)，所以g[f(x)]=x，于是，上式可寫成xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，即(x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1，這是一個一階線性微分方程，利用一階線性微分方程的通解公式，有由f(2)=1，得C=3-ln2，所以于是考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=0處()A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標準答案：D知識點解析：顯然=f(0)=0，f(x)在x=0點連續(xù)．由于所以f－’(0)=0．又故f+’(0)=0，從而f’(0)存在，且f’(0)=0，應(yīng)選D．2、設(shè)f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=∫0x(x2－t2)f(t)dt，且當(dāng)x→0時，F(xiàn)’(x)與x’是同階無窮小，則k等于()A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：用洛必達法則，極限存在且不為0，所以k=3，選C．3、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0．則方程在(a，b)內(nèi)的根有()A、0個B、1個C、2個D、無窮多個標準答案：B知識點解析：令則F(x)在[a，b]上連續(xù)，而且F(b)=∫abf(t)dt＞0，故F(x)=0在(a，b)內(nèi)至少有一個根．又所以F(x)單調(diào)增加，它在(a，b)內(nèi)最多只有一個零點．故F(x)=0在(a，b)內(nèi)僅有一個根．應(yīng)選B．4、已知曲面z=x2+y2上點P處的切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，則點P的坐標是()A、(1，－1，2)B、(11，1，2)C、(1，1，2)D、(－1，－1，2)標準答案：D知識點解析：切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，可知切平面的法向量為(2，2，1)．又由z=x2+y2可得曲線切平面的法向量(zx’，zy’，－1)=(2x，2y，－1)．令(2x，2y，－1)∥(2，2，1)，解得x=－1，y=－1，代入z=x2+y2，解得z=2．所以P點坐標為(－1，－1，2)．5、化為極坐標系中的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由可得x2+(y－1)2=1(y≥1)，所以積分區(qū)域D是圓x2+(y－1)2≤1的右半圓在直線y=x上方的部分，其極坐標形式為D=6、設(shè)區(qū)域其中常數(shù)a＞b＞0．D1是D在第一象限部分，f(x，y)在D上連續(xù)，等式成立的一個充分條件是()A、f(－x，－y)=f(x，y)B、f(－x，－y)=－f(x，y)C、f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)D、f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)標準答案：D知識點解析：當(dāng)C成立時，f(x，y)關(guān)于x和y都是奇函數(shù)，積分應(yīng)為零，不選C，因為題中未說類似于C，可知也不選A，B．當(dāng)D成立時，f(x，y)關(guān)于x和y分別都是偶函數(shù)，將D在各個象限中的部分分別記為D1，D2，D3與D4，于是故選D．7、微分方程y’’+4y=sin2x有特解形如()A、Asin2xB、Acos2xC、x(A+Bcos2x+Csin2x)D、A+x(Bcos2x+Csin2x)標準答案：D知識點解析：原方程可以寫成由待定系數(shù)法可知該方程有形如(Ⅰ))的特解．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)8、極限=______．標準答案：2知識點解析：9、曲線v的全部漸近線為______．標準答案：x=0；和y=1知識點解析：因為x=0為鉛直漸近線；y=1為水平漸近線．10、設(shè)曲線y=y(x)在點與直線4x－4y－3=0相切，且y=y(x)滿足方程則該曲線在相應(yīng)x∈[一1，1]上(x，y)點的曲率為______．標準答案：知識點解析：由時，p=1，得c1=0．從而在(x，y)點的曲率11、xx(1+lnx)的全體原函數(shù)為_______．標準答案：x2+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：因為(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C．12、設(shè)f(x)連續(xù)，則[∫0xtf(x2－t2)dt]=_____．標準答案：xf(x2)知識點解析：13、向量場A(z，3x，2y)在點M(x，y，z)處的旋度rotA=______．標準答案：(2，1，3)知識點解析：設(shè)向量場A=Pi+Qj+Rk，則因P=z，Q=3x，R=2y，則14、設(shè)由平面圖形a≤x≤b，0≤y≤f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體力的密度為1，則該旋轉(zhuǎn)體＄對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為______．標準答案：知識點解析：由題意有15、設(shè)則其以2π為周期的傅里葉級數(shù)在x=±π處收斂于______．標準答案：知識點解析：由狄利克雷收斂定理及f(x)的周期性可知，無論f(x)在x=±π處是連續(xù)還是間斷，其傅里葉級數(shù)的和S(±π)都可用統(tǒng)一表示．因f(π－)=5，f(－π+)=x2｜x=－π=π2，故16、函數(shù)在[－π，π]上展開為傅里葉級數(shù)(ancosnx+bnsinnx)，則an=______，bn=______，和函數(shù)S(x)=______．標準答案：知識點解析：f(x)在[－π，π]上滿足狄利克雷收斂定理條件，進行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈(－π，π)．由收斂定理可知：其中傅里葉級數(shù)的系數(shù)為：an=0，n=0，1，2，…(在[－π，π]上，f(x)除去間斷點x=0外，是奇函數(shù)，所以其傅里葉級數(shù)必為正弦級數(shù))，17、設(shè)是f(x)的以2π為周期的傅里葉級數(shù)．則=______．標準答案：知識點解析：傅里葉系數(shù)又由狄利克雷定理知，三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)18、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析19、已知y=x2sin2x，求y(50)．標準答案：y(50)=(sin2x.x2)(50)=(sin2x)(50).x2+50(sin2x)(49)(x2)’+(sin2x)(48).(x2)’’．由于知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)f(x)=nx(1－x)n在[0，1]上的最大值M(n)及標準答案：容易求得f’(x)=n[1－(n+1)x](1－x)n－1，f’’(x)=n2[(n+1)x－2](1－x)n－2．令f’(x)=0，得駐點為f(x)的極大值點，且極大值將它與邊界點函數(shù)值f(0)=0，f(1)=0，比較得f(x)在[0，1]上的最大值知識點解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)x=x(y)由方程x(y－x)2=y所確定，試求不定積分標準答案：令y－x=t，則(y－t)t2=y，故得t3－3t=A(t3+t2－t－1)+B(t2+2t+1)+C(t3－t2－t+1)+D(t2－2t+1)=(A+C)t3+(A+B－C+D)t2+(－A+2B－C－2D)t－A+B+C+D．比較t的同次冪的系數(shù)得知識點解析：暫無解析22、已知標準答案：令上式兩邊對a求導(dǎo)得令y=2ax，則dy=2adx，所以由于I(0)=0，所以C=0，令a=1，得到知識點解析：暫無解析23、求過兩點A(0，1，0)，B(－1，2，1)且與直線x=－2+t，y=1－4t，z=2+3t平行的平面方程．標準答案：設(shè)所求平面的法向量為n=(a，b，c)，而直線的方向向量為s=(1，－4，3)，A，B兩點連線=(－1，1，1)，所以有解方程得a：b：c=7：4：3，因此可取平面的法向量為n=(7，4，3)，由點法式得平面方程為7(x－0)+4(y－1)+3(z－0)=0，即7x+4y+3z－4=0．知識點解析：暫無解析24、求直線L：旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面方程．標準答案：設(shè)點M0(x0，y0，z0)為直線L上一點，當(dāng)直線L繞L1旋轉(zhuǎn)時，點M0旋轉(zhuǎn)到點M(x，y，z)，此時有將式②代入式①，得到(x－2)2+(y－3)2=(2z+3)2+(3z+1)2，即x2+y2－13z2－4x－6y－18z+3=0．知識點解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx’(0，0)=a，fy’(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，tx)]，求φ’(0)．標準答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，得φ(t)=f(u，v)，φ’(t)==f1’(u，v).1+f2’(u，v).[f1’(t，t2).1+f2’(t，t2).2t]=f1’[t，f(t，t2)]+f2’[t，f(t，t2)].[f1’(t，t2)+f2’(t，t2).2t]，所以φ’(0)=f1’(0，0)+f2’(0，0).[f1’(0，0)+f2’(0，0)×2×0]=a+b(a+0)=a(1+b)．知識點解析：暫無解析26、設(shè)A，B，C為常數(shù)，B2－AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．證明：必存在非奇異線性變換ξ=λ1x+y，η=λ2x+y(λ1，λ2為常數(shù))，將方程標準答案：代入所給方程，將該方程化為由于B2－AC＞0，A≠0，所以代數(shù)方程Aλ2+2Bλ+C=0有兩個不相等的實根λ1與λ2．此時λ1λ2A+(λ1+λ2)B+C=且變換的系數(shù)行列式λ1－λ2≠0．知識點解析：暫無解析27、計算I=∮L(y2－z2)dx+(2z2－x2)dy+(3x2－y2)dz，其中L是平面x+y+z=2與柱面｜x｜+｜y｜=1的交線，從z軸正向往負向看L，L是逆時針方向．標準答案：(用參數(shù)式計算)由于L是由4個直線段構(gòu)成的四邊形，所以用參數(shù)式計算時，要分段計算．L：｜x｜+｜y｜=1，z=2－x－y．當(dāng)x≥0，y≥0時，L1：y=1－x，z=2－x－y=1，x從1到0，有∫L1(y2－z2)dz+(2z2－x2)dy+(3x2－y2)dz=∫10[(1－x)2－1+(2－x2)(－1)]dx=當(dāng),x≤0，Y≥0時，L2：y=1+x，z=1－2x，x從0到－1，有．∫L2=∫0－1(2x+4)dx=－3．當(dāng)x≤0，y≤0時，L3：y=－1－x，z=3，x從－1到0，有∫L3=∫－10(2x2+2x－26)dx=當(dāng)x≥0，y≤0時，L4：y=x－1，z=3－2x，x從0到1，有∫L4=∫01(－18x+12)dx=3．所以I=∫L1+∫L2+∫L3+∫L4=－24．知識點解析：暫無解析28、設(shè)φ(x)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，且φ’(x)=φ(x)，φ(0)=0．(1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解；(2)在(1)中方程是否有以2π為周期的解?若有，請寫出所需條件，若沒有，請說明理由．標準答案：本題考查微分方程的求解與解的討論，尤其是(2)關(guān)于解的討論，是考試中的重點，請復(fù)習(xí)備考的學(xué)生重視．(1)該方程為一階非齊次線性微分方程，通解為y=e－∫sinxdx[∫φ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C]=ecosx[∫φ(x)ecosx.e－cosxdx+C]=ecosx[∫φ(x)dx+C]=ecosx[Ф(x)+C](C為任意常數(shù))．(2)因通解中cosx為2π為周期的函數(shù)，故只需Ф(x+2π)=Ф(x)即可．因為Ф’(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1，又Ф((0)=0，于是Ф(x)=∫0xφ(t)dt．而Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫02πφ(t)dt，所以，當(dāng)∫02πφ(t)dt，時，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π為周期．因此，當(dāng)∫02πφ(t)dt=0時，方程有以2π為周期的解．知識點解析：暫無解析29、利用變換y=f(ex)求微分方程y’’－(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．標準答案：令t=ex，y=f(t)，則y’=f’(t).ex=tf’(t)，y’’=[tf’(t)]x’=exf’(t)+tf’’(t).ex=tf’(t)+t2f’’(t)，代入方程得t2f’’(t)+tf’(t)－(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f’’(t)－2f’(t)+f(t)=t，解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以原方程的通解為y=(C1+C2ex)eex+ex+2，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：2、設(shè)級數(shù)都發(fā)散，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因為(｜μn＋νn｜)為正項級數(shù)，若(｜μn＋νn｜)收斂，因為0≤｜μn｜≤｜μn｜+｜νn｜，0≤｜μn｜≤｜μn｜+｜νn｜，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法知，νn都收斂，矛盾．3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=一1，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0是f(x)的駐點但不是極值點標準答案：C知識點解析：4、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，下列變上限積分函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()．A、∫0xt[f(t)一f