高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)回扣（六）解析幾何學(xué)案 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

基礎(chǔ)回扣(六)解析幾何

［要點(diǎn)回扣］

1.直線的傾斜角與斜率

(1)傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k,即k=

tana(aW90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；傾斜角ae［0,“)；

(2)經(jīng)過兩點(diǎn)A(小，”)、8(如⑸的直線的斜率為二二(MWXZ).

Xl-X2

［對(duì)點(diǎn)專練1］直線XCOS。+#了-2=0的傾斜角的范圍是.

［答案］［「o，n~||-5n,n、j

2.直線的方程

(1)點(diǎn)斜式：y—%=A(x—x。)，它不包括垂直于x軸的直線.

(2)斜截式：尸kx+b,它不包括垂直于x軸的直線.

(3)兩點(diǎn)式：上二也=匚包，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.

度一力照一E

(4)截距式：2+1=1，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線.

(5)一般式：Ax+By+C=Q(^A,6不同時(shí)為0).

［對(duì)點(diǎn)專練2］已知直線過點(diǎn)P(l,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為

［答案］5工一產(chǎn)=0或x+y-6=0

3.點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離

|/4Ab+Z^b+C\

⑴點(diǎn)戶(施，㈤到直線Ar+少+C=0的距離為d=

V7+?

IG—Cl

⑵兩平行線/1：力x+斂+G=0,In如+G=0I司的距離為

［對(duì)點(diǎn)專練3］兩平行直線3x+2y—5=0與6x+4y+5=0間的距離為

［答案］景而

4.兩直線的位置關(guān)系

在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，在用直線一般式

方程研究兩直線位置關(guān)系時(shí)，件是兩直線平行的充分但不必要條件，同理％&=-1

A2b2.5

也是兩直線垂直的充分但不必要條件.

［對(duì)點(diǎn)專練4］設(shè)直線/：x+z?y+6=0和&：(k2)x+3y+2〃=0,當(dāng)必=

時(shí)，乙〃4當(dāng)m=時(shí)，當(dāng)________________時(shí)九與人相交；當(dāng)m=

時(shí)，11與W重合.

［答案］—11腎3且后^-13

5.圓的方程

在圓的一般方程/+/+加+￡>+尸=0中不要忽視條件4+片一4Q0.

［對(duì)點(diǎn)專練5］若方程(a+2)/+2ax+a=0表示圓，則a=.

［答案］T

6.與圓有關(guān)的距離問題

在圓中，注意利用半徑、半弦長及弦心距組成的直角三角形.注意將圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)、

定直線的距離轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離.

［對(duì)點(diǎn)專練6］雙曲線與一4=1的左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)為4、4,0是雙曲線右支上任意

ab

一點(diǎn)，則分別以線段用、44為直徑的兩圓的位置關(guān)系為.

［答案］內(nèi)切

7.圓錐曲線的定義

對(duì)圓錐曲線的定義要做到“咬文嚼字”，抓住關(guān)鍵詞，例如橢圓中定長大于定點(diǎn)之間的

距離，雙曲線定義中是到兩定點(diǎn)距離之差的“絕對(duì)值”，否則只是雙曲線的其中一支.在拋

物線的定義中必須注意條件：1^1,否則定點(diǎn)的軌跡可能是過點(diǎn)廠且垂直于直線/的一條直

線.

［對(duì)點(diǎn)專練7］已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)4(0,1),6(0,-1),動(dòng)點(diǎn),"到兩定點(diǎn)從6的距離之

和為4,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是.

［答案］

8.圓錐曲線的方程

求橢圓、雙曲線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步驟，即先

確定焦點(diǎn)的位置，再設(shè)出其方程，求出待定系數(shù).

22

［對(duì)點(diǎn)專練8］與雙曲線］一已=1有相同的漸近線，且過點(diǎn)(一3,2#)的雙曲線方程

為-

［答案］-4/-f/=l

9.圓錐曲線的幾何性質(zhì)

橢圓中，注意焦點(diǎn)、中心、短軸端點(diǎn)所組成的直角三角形.橢圓的焦點(diǎn)在長軸上，橢圓

上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離a-c,最大距離a+c；雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，雙曲線上的點(diǎn)

到相應(yīng)焦點(diǎn)的最小距離c—a.

［對(duì)點(diǎn)專練9］已知￡、“是橢圓"+/=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使

I如I?I尸以取最大值的點(diǎn)尸為()

A.(-2,0)B.(0,1)

C.(2,0)D.(0,1)或(0,-1)

［答案］D

10.弦長問題

(1)斜率為4的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)%)，月(如㈤，

P\Pl\="\Z(l+a2)［(、+*2)2-4汨及］或

IA.|=q(l+n】(力+悶2—4%二］.

(2)過拋物線/=2px(p>0)焦點(diǎn)廠的直線1交拋物線于CGn,%)、以如㈤，則弦長ICD\

=X\-\-X2-\-p.

［對(duì)點(diǎn)專練10］已知尸是拋物線/=x的焦點(diǎn)，4,8是該拋物線上的兩點(diǎn)，戶|十,蘇1

=3,則線段4?的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.

［答案］I

［易錯(cuò)盤點(diǎn)］

易錯(cuò)點(diǎn)1直線傾斜角與斜率關(guān)系不清致誤

【例1】已知直線xsina+y=0,則該直線的傾斜角的變化范圍是.

［錯(cuò)解］由題意得，直線xsin。+尸0的斜率A=-sin。，

-n3

???一IWsinaWl,二一1W辰1,直線的傾斜角的變化范圍是了，.

［錯(cuò)因分析］直線斜率A=tanP(萬為直線的傾斜角)在［0,")上是不單調(diào)的且不連

續(xù).

［正解］由題意得，直線xsina+y=0直線的斜率在=-sina,

-3

當(dāng)

-兀

,.?一iWsinaWl,，一lWAWl,當(dāng)一1W衣0時(shí)，傾斜角的變化范圍是4JI

-

0WAW1時(shí)，傾斜角的變化范圍是［0,了.

故直線的傾斜角的變化范圍是［「O,小JT］口匕「3n，nJ、.

名師糾錯(cuò)A

由直線的斜率求傾斜角，一般利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助正切函數(shù)在［0,口)上的圖

象，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角的范圍.在這里要特別注意，正切函數(shù)在［0,")上的圖象并不是

單調(diào)函數(shù)，這一點(diǎn)是最容易被忽略而致錯(cuò)的.

［對(duì)點(diǎn)專練1］

(1)傾斜角為135°,在y軸上的截距為一1的直線方程是()

A.x—y+l=0B.x—y—1—O

C.x+y—l=O1).x+y+l=0

(2)已知點(diǎn)4(2,1),6(—2,2),若直線/過點(diǎn)《一/一(J旦總與線段相有交點(diǎn)，則直

線J的斜率k的取值范圍是.

［解析］(1)直線的斜率為女=tanl35°=—1,所以直線方程為y=一又-1,即x+y+

1=0,故選D.

⑵當(dāng)直線1由位置為繞點(diǎn)戶轉(zhuǎn)動(dòng)到位置以時(shí)，1的斜率逐漸變大直至當(dāng)/垂直于x

軸時(shí)，當(dāng)直線/垂直于X軸時(shí)/無斜率，再轉(zhuǎn)時(shí)斜率為負(fù)值逐漸變大直到陽的位置，所以

R11

直線/的斜率右扇與，或“一了，故々的取值范圍是

［答案］⑴D⑵(一8,-yU1,+8)

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略斜率不存在的直線致誤

【例2】已知直線九1+2)*+(1—力尸1與72：(t-l)x+(2t+3)y+2=0互相

垂直，則t的值為.

［錯(cuò)解］直線△的斜率％=一三/4-2,

1—t

直線4的斜率&=一3布,

VlxViz,二尢?左=一1,即卜哥)=7

解得t=-\.

［錯(cuò)因分析］(1)盲目認(rèn)為兩直線的斜率存在，忽視對(duì)參數(shù)的討論.(2)忽視兩直線有一

條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在時(shí)，兩直線垂直這一情形.

［正解］解法一：(1)當(dāng)4,A的斜率都存在時(shí)，

由k\?&=-1,得t——\.

(2)若小的斜率不存在，

19

此時(shí)t=l,乙的方程為戶右心的方程為尸一￡

30

顯然Z_L/z,符合條件；

若心的斜率不存在，此時(shí)r=一宗

易知人與人不垂直，綜上Z——1或t—1.

解法二：7i±7a<=>(t+2)(t—1)+(1—t)(2t+3)=0<=>t=l或t=—1.

名師糾錯(cuò)A

解決含有參數(shù)的直線的位置關(guān)系問題時(shí)，切記對(duì)直線的斜率存在與不存在進(jìn)行分類討

論，以避免出錯(cuò).

［對(duì)點(diǎn)專練2］

(1)“直線ax—y=O與直線(a+l)*-ay=l垂直”是“a=-2”成立的是()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)過點(diǎn)4(2,—3)與圓Gf+/-2*=0相切的直線方程為.

［解析］⑴由直線ax一尸0與直線(a+l)x—a尸1垂直，得a(a+l)+a=O,解得a

=0或a=—2.選B.

(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》-1)2+/=1.

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線*=2與圓C相切;

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y+3=〃(x—2),即協(xié)一y—2A—3=0,

|A—2A—314

由RTT=i'得右下

4

，直線方程為y+3=一鼻(x—2),即4x+3y+l=0.

O

故所求直線方程為戶2或4x+3y+1=0.

［答案］(DB⑵x=2或4x+3y+l=0

易錯(cuò)點(diǎn)3忽視圓的條件致誤

【例3］己知過點(diǎn)?(2,1)有且只有一條直線與圓GV+/+2ax+ay+2a2+。-1=0

相切，則實(shí)數(shù)a=.

［錯(cuò)解］?.?過點(diǎn)〃有且只有一條直線與圓C相切，

.?.點(diǎn)尸在圓C上，

.?.4+1+4a+a+2a?+a—1—0.

得a—~\或a——2.

［錯(cuò)因分析］忽視了*+/+2ax+ay+2a?+a—1=0表示圓的條件.

［正解］由(2&產(chǎn)+才-4(2/+a—1)>0,

2

即3a2+4a-4<0,得一2〈水鼻.

?.?過點(diǎn)。有且只有一條直線與圓c相切，

???點(diǎn)P在圓。上，得4+1+4a+a+2/+a—1=0,解得a=—1或a=—2(舍去).

綜上所述，a的值為-1.

名師糾錯(cuò)A

二元二次方程表示圓是有條件的，必須有〃+^—490.本題的失分原因是忽視了這個(gè)

條件.在解決此類問題時(shí)，可以直接判斷〃+盧一4力0,也可以配方后，判斷方程右側(cè)大于

0,因?yàn)橛覀?cè)相當(dāng)于用

［對(duì)點(diǎn)專練3］

⑴若圓/+/+0牙一；=0與直線尸一1相切，其圓心在y軸的左側(cè)，則m=.

(2)已知圓C的方程為，+/+4%+2/+才=0,過點(diǎn)4(1,2)與圓C相切的直線有兩條，

則a的取值范圍為.

［解析］⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+?+y2=0早B，圓心到直線尸-1的距離"要

=10—(一1)1，解得加=土木,因?yàn)閳A心在y軸的左側(cè)，所以加=乖.

(2)將圓C的方程配方有(矛+券+(y+1尸=生含.?.生言＞0.①

.??圓心。的坐標(biāo)為(一會(huì)一1),半徑r=小丁?

當(dāng)點(diǎn)4在圓外時(shí)，過點(diǎn)/可作圓的兩條切線，,MCI＞r,

即MT+Q+D嚀,

化簡得才+a+9〉0.②

由①②得一乎＜a＜乎，

.七的取值范圍是一平2平.

［答案］⑴#(2)—平＜a＜羋

OO

易錯(cuò)點(diǎn)4忽視圓錐曲線的焦點(diǎn)位置致誤

【例4］已知雙曲線7夕*「1的一條漸近線方程為尸4鏟，則該雙曲線的離心率為

b4

［錯(cuò)解］據(jù)已知得故雙曲線的離心率e=

［錯(cuò)因分析］只要他>。，方程4-9=1就表示雙曲線.錯(cuò)解中錯(cuò)將雙曲線誤認(rèn)為焦點(diǎn)

a4

在x軸上.事實(shí)上只要〃K0,〃<0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上，此時(shí)應(yīng)有7=鼻.

Oo

［正解］分兩種情況討論:

八、八[n4n16

①力0,n>0；A

\J/n3/na9

—[~n4na16

②欣0,水0；yJ-=-,-=?=T.

名師糾錯(cuò)A

求與橢圓或雙曲線的離心率有關(guān)的問題時(shí)，一定要關(guān)注焦點(diǎn)的位置對(duì)離心率的影響，必

要時(shí)進(jìn)行分類討論.

［對(duì)點(diǎn)專練4］

⑴已知橢圓卷+5=1的離心率k誓，則實(shí)數(shù)4的值為（）

5k5

-25

A.3B.3或可

C.#D.

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心,兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線。的一條漸近線的傾斜角為2,

O

則雙曲線。的離心率為（）

A.2或艱B.2

2^3

D.2

c.3

［解析］⑴①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，才=5,F=k,c=5—k,

得左=3；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a=kf故=5,(f=a—t)=k—^,

解之得k=—綜合①@知，適合條件的實(shí)數(shù)〃=3或:故選B.

⑵①當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),由題意知雙曲線C：=1(a>0,=0)的漸近線

方程為尸±5x,所以］=tang=，5,所以c=苗步+層=2分故雙曲線。的離心

22

②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在F軸上時(shí)，由題意知雙曲線C：/a=l(a>0,力0)的漸近線方程

為尸土%,所以］=tanF=，5,所以a=yfib,c=^/a2+Z>2=2Z>,故雙曲線。的離心率e

c2b2-\/3

=二而=3'

綜上所述，雙曲線C的離心率為2或羋，故選B.

O

［答案］(DB(2)B

易錯(cuò)點(diǎn)5忽視限制條件致誤

【例5】己知圓G：(x+3>+/=l和圓G：(*—3)2+/=9,動(dòng)圓材同時(shí)與圓G及

圓G外切，則動(dòng)圓圓心材的軌跡方程為

［錯(cuò)解］如圖所示，設(shè)動(dòng)圓,"與圓G及圓&分別外切于力和8

根據(jù)兩圓外切的條件，得U垢一

\AC,\=\MA\,\MCl\-\BCi\=\MB\.

因?yàn)镮%I=|奶I，

所以|閱|一|"；|=|制|一|制|,

^\MG\-\Ma\=\Ba\-\AG\=2.

所以點(diǎn)"到兩定點(diǎn)G、C的距離的差是常數(shù).

又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)."的軌跡為雙曲線，其中a=l,c=3,則。2=8.

2

故點(diǎn)材的軌跡方程為V—5=1.

［錯(cuò)因分析］錯(cuò)誤運(yùn)用雙曲線定義出錯(cuò).本題中，巾候1—1加;1=2,與雙曲線定義相比,

左邊少了外層絕對(duì)值，因此只能是雙曲線的一支.如果不注意，就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果，即點(diǎn)

2

"的軌跡方程為f一卷=1.

O

［正解］如圖所示，設(shè)動(dòng)圓物與圓G及圓C分別外切于力和合

根據(jù)兩圓外切的條件，得“傷一

\ACx\=\MA\,\Ma\-\Ba\=\MB\.

因?yàn)閨例I=MB\,

所以|匐|一|閨|=|磔|一|舐|,

即|骯|一|垢|=|6如一>4G1=2.

所以點(diǎn)"到兩定點(diǎn)6、C的距離的差是常數(shù).

又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)材的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)"與C的距離大，與G的距

離小)，其中a=l,c=3,則Z/=8.

2

故點(diǎn)M的軌跡方程為六一5=1(X0).

O

|名師糾錯(cuò)A

應(yīng)注意平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)￡,K的距離之差等于定長2a(a>0)的點(diǎn)的軌跡不一定是雙曲

線；當(dāng)定長2a〈陰用時(shí)，表示的只是雙曲線的一支；當(dāng)2a=用4時(shí)，表示的是一條射線;

當(dāng)2a>|A用時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

［對(duì)點(diǎn)專練5］

⑴直線尸M+lGeR)與橢圓5+5=1恒有公共點(diǎn).則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,5)

C.［1,5)U(5,+8)D.(1,+8)

22

(2)雙曲線2a一%b=l(a>0,6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為A、A,若戶為雙曲線上一點(diǎn)，且|班|=

2PB\,則雙曲線離心率的取值范圍為.

［解析］(1)由于直線恒過點(diǎn)(0,1),若恒有交點(diǎn)，所以勿21,但是當(dāng)必=5時(shí)曲線表示

的是圓，故選C

⑵設(shè)I班|=m,NF\PFz=隈0<OWg,

「9pQ/77

當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處時(shí)，。=n.e-=—=—=3.

a2,am

當(dāng)?！曦＃蓷l件，得|如1=2加，出知2=序+&力尸―4病os且||所|一|松||=

加=2a

2am、

又一IXcos所以e《(l,3).

綜上，eG(1,3］.

［答案］(DC(2)(1,3］

易錯(cuò)點(diǎn)6忽視“4>0”致誤

2

【例6】已知橢圓G5+/=1,過點(diǎn)"(2,0)的直線與橢圓。交于48兩點(diǎn)，設(shè)P

fff2、后

為橢圓上一點(diǎn)，且滿足的+如=口夕(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

［錯(cuò)解］由題意知直線四的斜率存在，即tro.

設(shè)直線4?的方程為尸-X—2),

4(xi,%)，6(x2,㈤，P(x,y),

y=k{x—2)

由2，得(1+2芯)/-8六*+842—2=0.

,+y=1

8芥8〃一2

汨+片志?XlX2=T+^'

-?—?-?

*：OA+OB=tOP,，(xi+如刃+度)=1(x,力，

M+.8」

x=-i-=xi+2-y

尸7=7［"屈+意—4川=7^??

:尸點(diǎn)在橢圓上,

.(8肩口：2(—4疔

,?[“l(fā)+2〃)]"[t(l+22)]2—2，

AB\=W+3\x\—Xi\<r~,

o

20

2

，(1+1)[(x\+x2)—4XI%2]<—.

■/J6418^-2120

，(1+升)[q+2勒2-4?1+2/§，

1

得(44一1)(14步+13)>0,4一

［錯(cuò)因分析］求t的范圍的前提是直線也與橢圓相交，聯(lián)立方程后忽略了4〉0這一條

件.

［正解］由題意知直線46的斜率存在，即力W0.

設(shè)直線4?的方程為y=A(x—2),A(xi,%),B(xz,㈤，P(x,y),

y^k(x—2)

由《Vz，得(1+2/)9一8/矛+8〃-2=0.

刀+了=1

由/=64d一4(2尸+1)(8片一2)>0,得廬/

8:8：—2

為+短=7^，汨尼=7^,

;OA+OB=tOPf

、小+.8—

/.(X1+如y\+y2)=t(x,""=~1=a1+2五

了=半=5-小+加一4幻=萬爸?

:點(diǎn)尸在橢圓。上，

(8打：(一44)2

,°：(1+2〃2)產(chǎn)21(1+2b]z=2,

.?.16d=#(l+2爐).

IPA-PB\y/l+必|E—4

OO

20

(1+^2)[(