高考數(shù)學二輪復習 基礎回扣（六）解析幾何學案 理-人教版高三全冊數(shù)學學案

基礎回扣(六)解析幾何

［要點回扣］

1.直線的傾斜角與斜率

(1)傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k,即k=

tana(aW90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；傾斜角ae［0,“)；

(2)經(jīng)過兩點A(小，”)、8(如⑸的直線的斜率為二二(MWXZ).

Xl-X2

［對點專練1］直線XCOS。+#了-2=0的傾斜角的范圍是.

［答案］［「o，n~||-5n,n、j

2.直線的方程

(1)點斜式：y—%=A(x—x。)，它不包括垂直于x軸的直線.

(2)斜截式：尸kx+b,它不包括垂直于x軸的直線.

(3)兩點式：上二也=匚包，它不包括垂直于坐標軸的直線.

度一力照一E

(4)截距式：2+1=1，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線.

(5)一般式：Ax+By+C=Q(^A,6不同時為0).

［對點專練2］已知直線過點P(l,5),且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為

［答案］5工一產(chǎn)=0或x+y-6=0

3.點到直線的距離及兩平行直線間的距離

|/4Ab+Z^b+C\

⑴點戶(施，㈤到直線Ar+少+C=0的距離為d=

V7+?

IG—Cl

⑵兩平行線/1：力x+斂+G=0,In如+G=0I司的距離為

［對點專練3］兩平行直線3x+2y—5=0與6x+4y+5=0間的距離為

［答案］景而

4.兩直線的位置關系

在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，在用直線一般式

方程研究兩直線位置關系時，件是兩直線平行的充分但不必要條件，同理％&=-1

A2b2.5

也是兩直線垂直的充分但不必要條件.

［對點專練4］設直線/：x+z?y+6=0和&：(k2)x+3y+2〃=0,當必=

時，乙〃4當m=時，當________________時九與人相交；當m=

時，11與W重合.

［答案］—11腎3且后^-13

5.圓的方程

在圓的一般方程/+/+加+￡>+尸=0中不要忽視條件4+片一4Q0.

［對點專練5］若方程(a+2)/+2ax+a=0表示圓，則a=.

［答案］T

6.與圓有關的距離問題

在圓中，注意利用半徑、半弦長及弦心距組成的直角三角形.注意將圓上動點到定點、

定直線的距離轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離.

［對點專練6］雙曲線與一4=1的左焦點為頂點為4、4,0是雙曲線右支上任意

ab

一點，則分別以線段用、44為直徑的兩圓的位置關系為.

［答案］內(nèi)切

7.圓錐曲線的定義

對圓錐曲線的定義要做到“咬文嚼字”，抓住關鍵詞，例如橢圓中定長大于定點之間的

距離，雙曲線定義中是到兩定點距離之差的“絕對值”，否則只是雙曲線的其中一支.在拋

物線的定義中必須注意條件：1^1,否則定點的軌跡可能是過點廠且垂直于直線/的一條直

線.

［對點專練7］已知平面內(nèi)兩定點4(0,1),6(0,-1),動點,"到兩定點從6的距離之

和為4,則動點M的軌跡方程是.

［答案］

8.圓錐曲線的方程

求橢圓、雙曲線及拋物線的標準方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步驟，即先

確定焦點的位置，再設出其方程，求出待定系數(shù).

22

［對點專練8］與雙曲線］一已=1有相同的漸近線，且過點(一3,2#)的雙曲線方程

為-

［答案］-4/-f/=l

9.圓錐曲線的幾何性質(zhì)

橢圓中，注意焦點、中心、短軸端點所組成的直角三角形.橢圓的焦點在長軸上，橢圓

上的點到焦點的最小距離a-c,最大距離a+c；雙曲線的焦點總在實軸上，雙曲線上的點

到相應焦點的最小距離c—a.

［對點專練9］已知￡、“是橢圓"+/=1的兩個焦點，尸為橢圓上一動點，則使

I如I?I尸以取最大值的點尸為()

A.(-2,0)B.(0,1)

C.(2,0)D.(0,1)或(0,-1)

［答案］D

10.弦長問題

(1)斜率為4的直線與圓錐曲線交于兩點%)，月(如㈤，

P\Pl\="\Z(l+a2)［(、+*2)2-4汨及］或

IA.|=q(l+n】(力+悶2—4%二］.

(2)過拋物線/=2px(p>0)焦點廠的直線1交拋物線于CGn,%)、以如㈤，則弦長ICD\

=X\-\-X2-\-p.

［對點專練10］已知尸是拋物線/=x的焦點，4,8是該拋物線上的兩點，戶|十,蘇1

=3,則線段4?的中點到y(tǒng)軸的距離為.

［答案］I

［易錯盤點］

易錯點1直線傾斜角與斜率關系不清致誤

【例1】已知直線xsina+y=0,則該直線的傾斜角的變化范圍是.

［錯解］由題意得，直線xsin。+尸0的斜率A=-sin。，

-n3

???一IWsinaWl,二一1W辰1,直線的傾斜角的變化范圍是了，.

［錯因分析］直線斜率A=tanP(萬為直線的傾斜角)在［0,")上是不單調(diào)的且不連

續(xù).

［正解］由題意得，直線xsina+y=0直線的斜率在=-sina,

-3

當

-兀

,.?一iWsinaWl,，一lWAWl,當一1W衣0時，傾斜角的變化范圍是4JI

-

0WAW1時，傾斜角的變化范圍是［0,了.

故直線的傾斜角的變化范圍是［「O,小JT］口匕「3n，nJ、.

名師糾錯A

由直線的斜率求傾斜角，一般利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助正切函數(shù)在［0,口)上的圖

象，數(shù)形結合確定傾斜角的范圍.在這里要特別注意，正切函數(shù)在［0,")上的圖象并不是

單調(diào)函數(shù)，這一點是最容易被忽略而致錯的.

［對點專練1］

(1)傾斜角為135°,在y軸上的截距為一1的直線方程是()

A.x—y+l=0B.x—y—1—O

C.x+y—l=O1).x+y+l=0

(2)已知點4(2,1),6(—2,2),若直線/過點《一/一(J旦總與線段相有交點，則直

線J的斜率k的取值范圍是.

［解析］(1)直線的斜率為女=tanl35°=—1,所以直線方程為y=一又-1,即x+y+

1=0,故選D.

⑵當直線1由位置為繞點戶轉(zhuǎn)動到位置以時，1的斜率逐漸變大直至當/垂直于x

軸時，當直線/垂直于X軸時/無斜率，再轉(zhuǎn)時斜率為負值逐漸變大直到陽的位置，所以

R11

直線/的斜率右扇與，或“一了，故々的取值范圍是

［答案］⑴D⑵(一8,-yU1,+8)

易錯點2忽略斜率不存在的直線致誤

【例2】已知直線九1+2)*+(1—力尸1與72：(t-l)x+(2t+3)y+2=0互相

垂直，則t的值為.

［錯解］直線△的斜率％=一三/4-2,

1—t

直線4的斜率&=一3布,

VlxViz,二尢?左=一1,即卜哥)=7

解得t=-\.

［錯因分析］(1)盲目認為兩直線的斜率存在，忽視對參數(shù)的討論.(2)忽視兩直線有一

條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在時，兩直線垂直這一情形.

［正解］解法一：(1)當4,A的斜率都存在時，

由k\?&=-1,得t——\.

(2)若小的斜率不存在，

19

此時t=l,乙的方程為戶右心的方程為尸一￡

30

顯然Z_L/z,符合條件；

若心的斜率不存在，此時r=一宗

易知人與人不垂直，綜上Z——1或t—1.

解法二：7i±7a<=>(t+2)(t—1)+(1—t)(2t+3)=0<=>t=l或t=—1.

名師糾錯A

解決含有參數(shù)的直線的位置關系問題時，切記對直線的斜率存在與不存在進行分類討

論，以避免出錯.

［對點專練2］

(1)“直線ax—y=O與直線(a+l)*-ay=l垂直”是“a=-2”成立的是()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)過點4(2,—3)與圓Gf+/-2*=0相切的直線方程為.

［解析］⑴由直線ax一尸0與直線(a+l)x—a尸1垂直，得a(a+l)+a=O,解得a

=0或a=—2.選B.

(2)圓C的標準方程為(》-1)2+/=1.

①當直線的斜率不存在時，直線*=2與圓C相切;

②當直線斜率存在時，設直線的方程為y+3=〃(x—2),即協(xié)一y—2A—3=0,

|A—2A—314

由RTT=i'得右下

4

，直線方程為y+3=一鼻(x—2),即4x+3y+l=0.

O

故所求直線方程為戶2或4x+3y+1=0.

［答案］(DB⑵x=2或4x+3y+l=0

易錯點3忽視圓的條件致誤

【例3］己知過點?(2,1)有且只有一條直線與圓GV+/+2ax+ay+2a2+。-1=0

相切，則實數(shù)a=.

［錯解］?.?過點〃有且只有一條直線與圓C相切，

.?.點尸在圓C上，

.?.4+1+4a+a+2a?+a—1—0.

得a—~\或a——2.

［錯因分析］忽視了*+/+2ax+ay+2a?+a—1=0表示圓的條件.

［正解］由(2&產(chǎn)+才-4(2/+a—1)>0,

2

即3a2+4a-4<0,得一2〈水鼻.

?.?過點。有且只有一條直線與圓c相切，

???點P在圓。上，得4+1+4a+a+2/+a—1=0,解得a=—1或a=—2(舍去).

綜上所述，a的值為-1.

名師糾錯A

二元二次方程表示圓是有條件的，必須有〃+^—490.本題的失分原因是忽視了這個

條件.在解決此類問題時，可以直接判斷〃+盧一4力0,也可以配方后，判斷方程右側(cè)大于

0,因為右側(cè)相當于用

［對點專練3］

⑴若圓/+/+0牙一；=0與直線尸一1相切，其圓心在y軸的左側(cè)，則m=.

(2)已知圓C的方程為，+/+4%+2/+才=0,過點4(1,2)與圓C相切的直線有兩條，

則a的取值范圍為.

［解析］⑴圓的標準方程為(x+?+y2=0早B，圓心到直線尸-1的距離"要

=10—(一1)1，解得加=土木,因為圓心在y軸的左側(cè)，所以加=乖.

(2)將圓C的方程配方有(矛+券+(y+1尸=生含.?.生言＞0.①

.??圓心。的坐標為(一會一1),半徑r=小丁?

當點4在圓外時，過點/可作圓的兩條切線，,MCI＞r,

即MT+Q+D嚀,

化簡得才+a+9〉0.②

由①②得一乎＜a＜乎，

.七的取值范圍是一平2平.

［答案］⑴#(2)—平＜a＜羋

OO

易錯點4忽視圓錐曲線的焦點位置致誤

【例4］已知雙曲線7夕*「1的一條漸近線方程為尸4鏟，則該雙曲線的離心率為

b4

［錯解］據(jù)已知得故雙曲線的離心率e=

［錯因分析］只要他>。，方程4-9=1就表示雙曲線.錯解中錯將雙曲線誤認為焦點

a4

在x軸上.事實上只要〃K0,〃<0時焦點在y軸上，此時應有7=鼻.

Oo

［正解］分兩種情況討論:

八、八[n4n16

①力0,n>0；A

\J/n3/na9

—[~n4na16

②欣0,水0；yJ-=-,-=?=T.

名師糾錯A

求與橢圓或雙曲線的離心率有關的問題時，一定要關注焦點的位置對離心率的影響，必

要時進行分類討論.

［對點專練4］

⑴已知橢圓卷+5=1的離心率k誓，則實數(shù)4的值為（）

5k5

-25

A.3B.3或可

C.#D.

（2）以坐標原點為對稱中心,兩坐標軸為對稱軸的雙曲線。的一條漸近線的傾斜角為2,

O

則雙曲線。的離心率為（）

A.2或艱B.2

2^3

D.2

c.3

［解析］⑴①當焦點在x軸上時，才=5,F=k,c=5—k,

得左=3；②當焦點在y軸上時，a=kf故=5,(f=a—t)=k—^,

解之得k=—綜合①@知，適合條件的實數(shù)〃=3或:故選B.

⑵①當雙曲線的焦點在x軸上時,由題意知雙曲線C：=1(a>0,=0)的漸近線

方程為尸±5x,所以］=tang=，5,所以c=苗步+層=2分故雙曲線。的離心

22

②當雙曲線的焦點在F軸上時，由題意知雙曲線C：/a=l(a>0,力0)的漸近線方程

為尸土%,所以］=tanF=，5,所以a=yfib,c=^/a2+Z>2=2Z>,故雙曲線。的離心率e

c2b2-\/3

=二而=3'

綜上所述，雙曲線C的離心率為2或羋，故選B.

O

［答案］(DB(2)B

易錯點5忽視限制條件致誤

【例5】己知圓G：(x+3>+/=l和圓G：(*—3)2+/=9,動圓材同時與圓G及

圓G外切，則動圓圓心材的軌跡方程為

［錯解］如圖所示，設動圓,"與圓G及圓&分別外切于力和8

根據(jù)兩圓外切的條件，得U垢一

\AC,\=\MA\,\MCl\-\BCi\=\MB\.

因為I%I=|奶I，

所以|閱|一|"；|=|制|一|制|,

^\MG\-\Ma\=\Ba\-\AG\=2.

所以點"到兩定點G、C的距離的差是常數(shù).

又根據(jù)雙曲線的定義，得動點."的軌跡為雙曲線，其中a=l,c=3,則。2=8.

2

故點材的軌跡方程為V—5=1.

［錯因分析］錯誤運用雙曲線定義出錯.本題中，巾候1—1加;1=2,與雙曲線定義相比,

左邊少了外層絕對值，因此只能是雙曲線的一支.如果不注意，就會得出錯誤的結果，即點

2

"的軌跡方程為f一卷=1.

O

［正解］如圖所示，設動圓物與圓G及圓C分別外切于力和合

根據(jù)兩圓外切的條件，得“傷一

\ACx\=\MA\,\Ma\-\Ba\=\MB\.

因為|例I=MB\,

所以|匐|一|閨|=|磔|一|舐|,

即|骯|一|垢|=|6如一>4G1=2.

所以點"到兩定點6、C的距離的差是常數(shù).

又根據(jù)雙曲線的定義，得動點材的軌跡為雙曲線的左支(點"與C的距離大，與G的距

離小)，其中a=l,c=3,則Z/=8.

2

故點M的軌跡方程為六一5=1(X0).

O

|名師糾錯A

應注意平面內(nèi)到兩個定點￡,K的距離之差等于定長2a(a>0)的點的軌跡不一定是雙曲

線；當定長2a〈陰用時，表示的只是雙曲線的一支；當2a=用4時，表示的是一條射線;

當2a>|A用時，點的軌跡不存在.

［對點專練5］

⑴直線尸M+lGeR)與橢圓5+5=1恒有公共點.則實數(shù)0的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,5)

C.［1,5)U(5,+8)D.(1,+8)

22

(2)雙曲線2a一%b=l(a>0,6>0)的兩個焦點為A、A,若戶為雙曲線上一點，且|班|=

2PB\,則雙曲線離心率的取值范圍為.

［解析］(1)由于直線恒過點(0,1),若恒有交點，所以勿21,但是當必=5時曲線表示

的是圓，故選C

⑵設I班|=m,NF\PFz=隈0<OWg,

「9pQ/77

當點P在右頂點處時，。=n.e-=—=—=3.

a2,am

當?！曦?，由條件，得|如1=2加，出知2=序+&力尸―4病os且||所|一|松||=

加=2a

2am、

又一IXcos所以e《(l,3).

綜上，eG(1,3］.

［答案］(DC(2)(1,3］

易錯點6忽視“4>0”致誤

2

【例6】已知橢圓G5+/=1,過點"(2,0)的直線與橢圓。交于48兩點，設P

fff2、后

為橢圓上一點，且滿足的+如=口夕(。為坐標原點)，當時，求實數(shù)t的取值范圍.

［錯解］由題意知直線四的斜率存在，即tro.

設直線4?的方程為尸-X—2),

4(xi,%)，6(x2,㈤，P(x,y),

y=k{x—2)

由2，得(1+2芯)/-8六*+842—2=0.

,+y=1

8芥8〃一2

汨+片志?XlX2=T+^'

-?—?-?

*：OA+OB=tOP,，(xi+如刃+度)=1(x,力，

M+.8」

x=-i-=xi+2-y

尸7=7［"屈+意—4川=7^??

:尸點在橢圓上,

.(8肩口：2(—4疔

,?[“l(fā)+2〃)]"[t(l+22)]2—2，

AB\=W+3\x\—Xi\<r~,

o

20

2

，(1+1)[(x\+x2)—4XI%2]<—.

■/J6418^-2120

，(1+升)[q+2勒2-4?1+2/§，

1

得(44一1)(14步+13)>0,4一

［錯因分析］求t的范圍的前提是直線也與橢圓相交，聯(lián)立方程后忽略了4〉0這一條

件.

［正解］由題意知直線46的斜率存在，即力W0.

設直線4?的方程為y=A(x—2),A(xi,%),B(xz,㈤，P(x,y),

y^k(x—2)

由《Vz，得(1+2/)9一8/矛+8〃-2=0.

刀+了=1

由/=64d一4(2尸+1)(8片一2)>0,得廬/

8:8：—2

為+短=7^，汨尼=7^,

;OA+OB=tOPf

、小+.8—

/.(X1+如y\+y2)=t(x,""=~1=a1+2五

了=半=5-小+加一4幻=萬爸?

:點尸在橢圓。上，

(8打：(一44)2

,°：(1+2〃2)產(chǎn)21(1+2b]z=2,

.?.16d=#(l+2爐).

IPA-PB\y/l+必|E—4

OO

20

(1+^2)[(