雙曲線專項訓練- 高三數(shù)學一輪復習

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁雙曲線專項訓練-高三數(shù)學上學期一輪復習檢測卷一、單選題1．過點的直線與雙曲線的公共點只有1個，則滿足條件的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2．雙曲線：的左，右頂點分別為，曲線上的一點關于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（

）A．3 B． C． D．3．雙曲線的上焦點到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（

）A． B．4 C． D．24．若雙曲線的離心率為，右焦點為，點E的坐標為，則直線OE（O為坐標原點）與雙曲線的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于軸的弦為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，則的周長為（

）A．20 B．22 C．28 D．367．已知點是雙曲線右支上的一點，點分別是圓和圓上的點．則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．98．雙曲線的兩焦點分別為，過的直線與其一支交于，兩點，點在第四象限.以為圓心，的實軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點，且，則的漸近線方程是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知雙曲線：，左右焦點分別為，若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．若軸，則C．若雙曲線上一點滿足，則的周長為D．存在雙曲線上一點，使得點到C的兩條漸近線的距離之積為10．已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為 B．的標準方程為C．的漸近線方程為 D．直線經過的一個焦點11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點．若，則（

）A． B． C． D．三、填空題12．雙曲線C：的兩個焦點為、，點在雙曲線C上，且滿足，則雙曲線C的標準方程為．13．已知雙曲線：與橢圓：有公共的焦點，，且與在第一象限的交點為M，若的面積為1，則a的值為．14．設、為雙曲線Γ：左、右焦點，且Γ的離心率為，若點M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點N，且，則.四、解答題15．設雙曲線，斜率為1的直線l與交于兩點，當l過的右焦點F時，l與的一條漸近線交于點，(1)求的方程；(2)若l過點，求.16．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為2，離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線有唯一的公共點，求的值．17．已知雙曲線：（，）的右頂點，斜率為1的直線交于、兩點，且中點.(1)求雙曲線的方程；(2)證明：為直角三角形；(3)若過曲線上一點作直線與兩條漸近線相交，交點為，，且分別在第一象限和第四象限，若，，求面積的取值范圍.18．某高校的志愿者服務小組受“進博會”上人工智能展示項目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如下圖：A、B兩個信號源相距10米，O是AB的中點，過O點的直線l與直線AB的夾角為．機器貓在直線l上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足；接收到A點的信號比接收到B點的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）．在時刻時，測得機器鼠距離O點為4米．(1)以O為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系（如圖），求時刻時機器鼠所在位置的坐標；(2)游戲設定：機器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風險．如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？19．已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點A，B.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上一點，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】易知直線的斜率存在，設：，聯(lián)立雙曲線方程可得，分類討論當、時，求出對應的k，即可下結論.【詳解】當直線的斜率不存在時，顯然與雙曲線沒有公共點.當直線的斜率存在時，設方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，若即，此時直線和雙曲線的公共點只有1個.當時，；當時，.當時，，整理可得，因為，所以有兩個不等的實數(shù)根，又不是的根，且此時直線和雙曲線的公共點只有1個.綜上可知，直線和雙曲線的公共點只有1個時，對應直線有4條.故選：C.2．B【分析】依題求出點坐標，設出點，得，寫出，利用點在雙曲線上，化簡的表達式，計算即得.【詳解】如圖，,不妨設，則，依題意，，因點在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.3．A【分析】由點到直線的距離公式、焦點、漸近線以及的關系即可求解.【詳解】由對稱性，不妨設，雙曲線的漸近線是，則由題意，解得，故所求為.故選：A.4．C【分析】根據(jù)給定條件，求出，進而求出直線的斜率，再與漸近線的斜率比較即可得解.【詳解】由雙曲線的離心率為，得，則，，因此點E的坐標為，雙曲線C的漸近線斜率為，而直線的斜率，所以直線OE與雙曲線的交點個數(shù)為2個．故選：C5．C【分析】根據(jù)幾何關系轉化為關于的齊次方程，再轉化為關于離心率的方程，即可求解.【詳解】由題意可知，雙曲線的通徑長為，如圖所示，則AB=2b2a，若，所以由于，所以，解得，因為，所以．故選：C6．C【分析】先根據(jù)雙曲線定義列出，，然后結合求出的周長.【詳解】由題意知，，所以，又，所以，所以的周長為．故選：C．7．B【分析】根據(jù)圓的性質分析可得，再結合雙曲線的定義運算求解.【詳解】由雙曲線可知，且圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，由圓的性質可知：，可得，可知，為雙曲線的焦點，則，可得，所以的最小值為5.故選：B.8．C【分析】設，則，由已知結合雙曲線定義，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，進而可求答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，設，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因為，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．9．BC【分析】求出漸近線方程，圓心、半徑，根據(jù)已知列出方程，求出的值，即可得出離心率；求出的方程，代入雙曲線得出點坐標，即可得出B項；根據(jù)雙曲線的定義結合已知求出的值，即可得出C項；設，求出距離之積，結合雙曲線的方程，即可判斷D項.【詳解】對于A項，由，可得雙曲線的漸近線方程為.圓的圓心為，半徑為.因為雙曲線的漸近線與圓相切，所以有到的距離，解得，所以雙曲線的方程為，，，，所以，離心率，故A項錯誤；對于B項，由A知，，所以的方程為.代入雙曲線方程可得，，所以，故B項正確；對于C項，由已知，根據(jù)雙曲線的定義可知，，所以有.又，所以的周長為，故C項正確；對于D項，設，雙曲線的漸近線方程為，則點到直線的距離，到直線的距離，所以.又在雙曲線上，所以有，，故D項錯誤.故選：BC.10．AD【分析】依題意可得，再根據(jù)兩條漸近線的夾角為及，即可求出雙曲線的方程、離心率、漸近線及焦點坐標；【詳解】依題意得，則，因為兩條漸近線的夾角為，所以兩條漸近線的傾斜角分別為，所以，所以，所以雙曲線方程為，所以離心率，漸近線方程為，焦點坐標為、，顯然直線過點；故選：AD11．BC【分析】結合橢圓和雙曲線的定義即可求解.【詳解】設焦距為，橢圓的長軸長為，短軸長為，雙曲線的長軸長為，短軸長為，則在中，，根據(jù)對稱性，設橢圓與雙曲線的交點在第二象限，由雙曲線的定義知：，由橢圓的定義知：，則，又，，則，則，又，解得，則，A錯誤；，B正確；，C正確；，D錯誤.故選：BC12．【分析】設，，進而根據(jù)向量垂直的坐標表示得，再根據(jù)點在雙曲線上待定系數(shù)求解即可．【詳解】解：由題，設，，因為，所以，因為，所以，解得，因為，解得，所以，雙曲線的標準方程為．故答案為：．13．【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的定義求解、的長，再結合余弦定理求出，進而得到，再根據(jù)面積公式求解即可.【詳解】設，分別為左、右焦點，根據(jù)橢圓以及雙曲線定義可得所以，，所以，由余弦定理可得，所以，故，因此的面積為，解得．故答案為：.14．3【分析】根據(jù)離心率公式求出，畫出草圖，結合雙曲線定義可解．【詳解】如圖，畫出草圖．由的離心率為，且，可得，解得.因為，所以由雙曲線的定義，可得.故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）由雙曲線的性質得到右焦點，由點斜式寫出直線方程，由點同時在漸近線和直線上組成方程組，解出即可；（2）方法一：直曲聯(lián)立，求出兩點坐標，再用兩點間距離公式求解弦長；方法二：直曲聯(lián)立，用韋達定理表示出，再代入弦長公式求解即可.【詳解】（1）的右焦點為，當l過的右焦點F時，直線l的方程為，由于點在漸近線上，所以，由于點在直線l上，所以，得，解得，所以雙曲線的方程是.（2）方法一：因為l過點且斜率為1，故直線，由得，即，解得或，當時，，故，當時，，故，所以，方法二：因為l過點且斜率為1，故直線，由得，即，設Ax1則，所以.16．(1)(2)或2．【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）將直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，對進行分類討論，從而求得的值.【詳解】（1）雙曲線的焦點為，一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為，而離心率，且，，方程為.（2）聯(lián)立，得,即，當時，顯然有一個解，此時，負根舍去；當時，，，負根舍去，綜上，或2．17．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設出、兩點坐標，借助點差法計算即可得；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得與、兩點坐標有關韋達定理，通過計算即可得為直角三角形；（3）設直線方程為：，，，，結合題意計算可得，又，，可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可得與兩點坐標有關韋達定理，代入化簡可得，結合面積公式計算即可用表示該三角形面積，構造相應函數(shù)借助對勾函數(shù)性質可得函數(shù)單調性即可得面積范圍.【詳解】（1）設Mx1,y1，N，兩點在雙曲線上，，由①－②得，即，，，即，，又，，雙曲線的方程為：；（2）由已知可得，直線的方程為：，即，聯(lián)立，，則，，，，為直角三角形；（3）由題意可知，若直線有斜率則斜率不為0，故設直線方程為：，設，，，，，，點在雙曲線上，，，③，又，，，④，聯(lián)立，，⑤，⑥，，分別在第一象限和第四象限，，，由④式得：，⑦，將⑤⑥代入⑦得：，，令，，由對勾函數(shù)性質可得在上單調遞減，在上單調遞增，，.【點睛】關鍵點點睛：本題第（3）小問關鍵點在于借助向量的線性關系，結合點在對應曲線及直線上，通過計算用表示出該三角形面積，難點在于計算.18．(1)(2)沒有“被抓”風險【分析】（1）根據(jù)題意和雙曲線定義，可得機器鼠所在的點的軌跡方程，利用與其聯(lián)立，計算即得點的坐標；（2）依題考慮與直線平行且距離不超過的直線，判斷機器鼠是否有“被抓”風險，就可以轉化為與是否有交點問題，而這可以通過方程聯(lián)立，計算方程根的判別式的符號得到.【詳解】（1）如圖，設機器鼠在點處，則由題意，得，所以，P為以A、B為焦點，實軸長為8，焦距為10的雙曲線右支上的點，該雙曲線的方程為，由，即：，將其與雙曲線方程聯(lián)立，解得：，故得，即在時刻時，機器鼠所在位置的坐標為．（2）因為與直線l平行且距離不超過1.5的直線方程為，則由可得：．考慮與是否有交點，聯(lián)立，得，故，因為，所以，所以，與沒有交點，即機器鼠保持目前的運動軌跡不變，沒有“被抓”風險．【點睛】思路點睛：本題主要考查動點的軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題，屬于較難題.解題思路包括：①求動點軌跡，一般將其與圓錐曲線的定義進行比較，符合定義則可以用其標準方程得到軌跡方程；②對于此題中的“機器鼠是否有“被抓”風險”，要將其理解為直線與是否有交點問題即可迎刃而解.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線的基本量求解即可；（2）方法一：設直線AP：，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結合Px0,y0在雙曲線上，化簡可得，同理，代入化簡，結合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可；方法二：設直線DE：，，，聯(lián)立方程得出韋達定理，再根據(jù)P，A，D三點共線，P，B，E三點共線，列式化簡可得，進而可得，結合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可.【詳解】（1）由題意得：，解得，所以雙曲線的方程為.（2）方法一：設直線AP：，，則，消y得：，得：，又因為Px0,y0所以，即.同理設直線BP：，，可得，所以.因為，所以，因為，所以.把代入雙曲線方程得，解得，則點.設與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，因為，所以.則.因為，所以，所以.方法二：設直線DE：，，，則，消x得：，所以，，得，因為P，A，D三