新疆克孜勒蘇柯爾克孜自治州阿克陶縣2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題（含答案解析）

新疆克孜勒蘇柯爾克孜自治州阿克陶縣2022-2023學年九年級(上)期末數(shù)學試卷1一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)1.反比例函數(shù)圖像經(jīng)過的點是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、當時，，過點，不符合題意；B、當時，，過點，不符合題意；C、當時，，過點，不符合題意；D、當時，，過點，符合題意；故選：D【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的有關性質(zhì)．2.已知2x=5y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：∵2x=5y，∴．故選B．3.對于拋物線的說法不正確的是（）A.拋物線的開口向下 B.拋物線的頂點坐標是（1，2）C.拋物線的對稱軸是直線 D.當時，y的最小值是2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：，，開口向下，A選項正確，不符合題意；拋物線的頂點為（1，2），B選項正確，不符合題意；拋物線的對稱軸是直線，C選項正確，不符合題意；當時，y的最大值是2，D選項錯誤，符合題意；故選：D【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關知識．4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正確的是（）A.sinA＝ B.cosA＝ C.tanA＝ D.cotA＝【答案】B【解析】【分析】先利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對各選項分別進行計算，再利用排除法求解即可．【詳解】解：，，，，A、，故選項錯誤，不符合題意；B、，故選項正確，符合題意；C、，故選項錯誤，不符合題意；D、，故選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應用，解題的關鍵是熟記在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，余切為鄰邊比對邊．5.已知二次函數(shù)向左平移h個單位，再向下平移k個單位，得到二次函數(shù)，則h和k的值分別為（）A.1，3 B.3，-4 C.1，-3 D.3，-3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律進行解答即可．【詳解】解：∵拋物線y=（x+2）2-1向左平移h個單位，再向下平移k個單位，∴平移后拋物線的解析式為y=（x+2+h）2-k-1．

又∵平移后拋物線的解析式為y=（x+3）2-4．

∴2+h=3，-k-1=-4，

∴h=1，k=3，

故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關鍵．6.如圖，是的邊上一點，那么下面四個命題中錯誤的是（）A.如果，則B.如果，則C.如果，則D.如果，則【答案】D【解析】【分析】由兩個角對應相等的兩個三角形相似可判斷，由兩邊對應成比例，且夾角相等可判斷，從而可得答案．【詳解】解：A中∠ADB=∠ABC，∠A為公共角，所以，故A不符合題意；B中∠ABD=∠C，∠A為公共角，所以，故B不符合題意；C中對應邊成比例，∠A為公共角，所以，故不符合題意；D中對應邊成比例，但夾角不相等，所以不一定相似，故符合題意．故選：D．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．7.二次函數(shù)(為常數(shù))的圖象不經(jīng)過第三象限，當≤3時，的最大值為，則的值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求得a的值，本題得以解決．【詳解】∵二次函數(shù)＝a（x?4）2?16a，∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝4，又∵二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象不經(jīng)過第三象限，∴a＞0，∵當2≤x≤3時，y的最大值為?3，∴當x＝2時，a×22?8a×2＝?3，解得a＝．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．8.如圖，在ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，，則DE：EC=【】A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE∴△DEF∽△BAF∴∵，∴DE：AB=2：5∵AB=CD，∴DE：EC=2：3故選B．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．9.如圖，在矩形中，的平分線與交于E，點F在的延長線上，，連接，與交于G，有四個結(jié)論：①；②；③④．其中正確的是（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④【答案】A【解析】【分析】①只要證明為等腰直角三角形即可；②只要證明即可；③假設，則，推出，由，推出，顯然不可能，故③錯誤，④由，可得，由，推出，推出，由，得，故④正確．【詳解】解：①平分，為直角，∴，又，∴為等腰直角三角形，∴，又∵四邊形矩形，∴，∴，①正確；②∵，∴為等腰直角三角形，∴則有，，又∵，，∴，在和中，，∴，∴，②正確，③假設，則，由②可得∴，則，連接，如下圖：由題意可得：，，∴，∴，，∴，即為等腰直角三角形，∴，∴，顯然不可能，故③錯誤，④∵，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故④正確，正確為：①②④故選A．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．10.如圖，已知A，B是反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的兩點，BC∥x軸，交y軸于點C，動點P從坐標原點O出發(fā)，沿O→A→B→C（圖中“→”所示路線）勻速運動，終點為C，過P作PM⊥x軸，垂足為M．設三角形OMP的面積為S，P點運動時間為r，則S關于t的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合點P的運動，將點P的運動路線分成O→A、A→B、B→C三段位置來進行分析三角形OMP面積的計算方式，通過圖形的特點分析出面積變化的趨勢，從而得到答案．【詳解】設∠AOM＝α，點P運動的速度為a，當點P從點O運動到點A的過程中，S，從而可知圖象本段應為拋物線，且S隨著t的增大而增大；當點P從A運動到B時，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知△OPM的面積為k，保持不變，故本段圖象應為與橫軸平行的線段；當點P從B運動到C過程中，OM長在減少，△OPM的高與在B點時相同，故本段圖象應該為一段下降的線段；故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象性質(zhì)、銳角三角函數(shù)性質(zhì)，解題的關鍵是明確點P在O→A、A→B、B→C三段位置時三角形OMP的面積計算方式．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)11.已知點A（-3，y1），B（-2，y2），C（3，y3）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是______________________．【答案】y3＜y1＜y2##【解析】【分析】抓住-k2-1＜0，反比例函數(shù)的圖象的兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，據(jù)此求解即可．【詳解】∵-k2-1＜0，∴反比例函數(shù)的圖象的兩個分支分別位于二四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．∵3＞0，∴C（3，y3）在第四象限，∴y3＜0．∵-3＜-2＜0，∴點A（-3，y1），B（-2，y2）在第二象限．∵-3＜-2，∴0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故答案為：y3＜y1＜y2．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，分布在兩個象限是解題的關鍵．12.如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為__________.【答案】9【解析】【分析】由∠ADE=60°，可證得△ABD∽△DCE；可用等邊三角形的邊長表示出DC的長，進而根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求得△ABC的邊長．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC-BD=AB-3；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴，即；解得AB=9．故答案為9．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠證得△ABD∽△DCE是解答此題的關鍵．13.如圖，在矩形中，是對角線，，垂足為E，連接，若的坡度是，則的值是___________．【答案】【解析】【分析】過點作于點，易證，從而可求出，，設，則，根據(jù)三角形的面積可求出，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．詳解】解：如圖，過點作于點，則，∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，，在與中，，∴，，，，，設，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．14.如圖，在中，，，，且，若，點是線段上的動點，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】過點作于點，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合已知條件可得，進而可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理得到，當時，最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，過點作于點，，，，解得或（舍去），，，，，，解得或者（舍去），，,，，在中，，，，時，最小，，又，，，即，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關鍵．三、（本大題共兩小題，每題8分，共16分）15.計算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了二次根式的混合運算，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握二次根式的運算法則．代入特殊角的三角函數(shù)值，先算乘方，然后算乘法，最后算加減．【詳解】解：原式．16.已知：，求的值．【答案】【解析】【分析】由，可設x=2a，則y=3a，z=4a，將它們代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴設x＝2a，y＝3a，z＝4a，∴＝＝＝．【點睛】本題考查了代數(shù)式的求值，換元法是解本題的關鍵．四、（本大題共兩小題，每題8分，共16分）17.觀察下列等式的規(guī)律：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；…….；按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)直接寫出第6個等式：(2)請寫出你猜想的第n個等式(用含n的代數(shù)式表示)，并證明．【答案】（1）；（2），證明見解析【解析】【分析】（1）通過觀察即可得到第6個等式；（2）根據(jù)已知等式得到第n個等式，并進行證明.【詳解】（1）根據(jù)前5個等式，得到第6個等式為：，（2）根據(jù)前5個等式，得到第n個等式為：，證明：等式左邊====右邊，∴.【點睛】此題考查數(shù)字的規(guī)律探究，通過觀察和類比得到一般規(guī)律是解題的關鍵.18.已知：△ABC在直角坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．（1）畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是；（2）以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；（3）四邊形AA2C2C的面積是平方單位．【答案】（1）（2，﹣2）（2）見解析（3）7.5【解析】【分析】（1）將△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，如圖所示，找出所求點坐標即可；（2）以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，找出所求點坐標即可；（3）根據(jù)四邊形的面積等于兩個三角形面積之和解答即可．【小問1詳解】如圖所示，畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是（2，﹣2）；【小問2詳解】如圖所示，以B為位似中心，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，∴，根據(jù)畫出點，∴，根據(jù)畫出點，點與點重合，連接、、，即可得到△A2B2C2；【小問3詳解】四邊形AA2C2C的面積是＝故答案為：7.5【點睛】本題主要考查了利用平移變換和位似變換進行作圖，解決問題的關鍵是掌握：平移圖形時，要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．五、（本大題共兩小題，每題10分，共20分）19.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）點在軸上，且滿足的面積等于4，請直接寫出點的坐標．【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）【解析】【分析】（1）根據(jù)點B坐標求出m，得到反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求出點A坐標，再將A，B代入一次函數(shù)解析式；（2）設點P的坐標為（a，0），求出直線AB與x軸交點，再結(jié)合△ABP的面積為4得到關于a的方程，解之即可．【詳解】解：（1）由題意可得：點B（3，-2）在反比例函數(shù)圖像上，∴，則m=-6，∴反比例函數(shù)的解析式為，將A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），將A，B代入一次函數(shù)解析式中，得，解得：，∴一次函數(shù)解析式為；（2）∵點Px軸上，設點P的坐標為（a，0），∵一次函數(shù)解析式為，令y=0，則x=2，∴直線AB與x軸交于點（2，0），由△ABP的面積為4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴點P的坐標為（1，0）或（3，0）．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關問題；通常先求得反比例函數(shù)解析式；較復雜三角形的面積可被x軸或y軸分割為2個三角形的面積和．20.圖1，圖2分別是一滑雪運動員在滑雪過程中某一時刻的實物圖與示意圖，已知運動員的小腿與斜坡垂直，大腿與斜坡平行，且三點共線，若雪仗長為，，，求此刻運動員頭部到斜坡的高度（精確到）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】1.3m【解析】【分析】由三點共線，連接GE，根據(jù)ED⊥AB，EF∥AB，求出∠GEF=∠EDM=90°，利用銳角三角函數(shù)求出GE，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DE，即可得到答案.詳解】三點共線，連接GE，∵ED⊥AB，EF∥AB，∴∠GEF=∠EDM=90°，在Rt△GEF中，∠GFE=62°，，∴m，在Rt△DEM中，∠EMD=30°，EM=1m，∴ED=0.5m，∴h=GE+ED=0.75+0.5m，答：此刻運動員頭部到斜坡的高度約為1.3m.【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關鍵.六、（本題滿分12分）21.某超市將購進一批口罩進行銷售，已知購進4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，購進5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元，兩種口罩以相同的售價銷售，甲口罩的銷量（盒）與售價（元）之間的關系為：；當售價為40元時，乙口罩可銷售100盒，售價每提高1元，少銷售5盒．（1）求甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為多少元？（2）當乙口罩的售價為多少元時，乙口罩的銷售總利潤最大？此時兩種口罩的銷售利潤總和為多少？【答案】（1）甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為20元、30元（2）當乙口罩的售價為45元時，乙口罩的銷售總利潤最大，此時兩種口罩的銷售利潤總和為2125元【解析】【分析】（1）設甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為m元、n元，由題意列方程組，求解即可．（2）設乙口罩的銷售利潤為w元，由題意可列出關于x的二次函數(shù)，將其改寫成頂點式，即可知道乙口罩的售價及此時乙口罩的最大利潤，繼而求出甲口罩利潤，即可求解．【小問1詳解】解：設甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為m元、n元，由題意得，解得，即甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為20元、30元．【小問2詳解】解：設乙口罩的銷售利潤為w元，由題意得：，當乙口罩的售價為45元時，乙口罩的銷售利潤最大，為1125元，當乙口罩的售價為45元時，（盒），甲口罩的銷售利潤為（元），∴此時兩種口罩的銷售利潤總和為：（元），綜上可知，當乙口罩的售價為45元時，乙口罩的銷售總利潤最大，此時兩種口罩的銷售利潤總和為2125元．七、（本題滿分12分）22.將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q，設AP＝x．（1）當點Q在邊CD上時，求證：PQ＝PB．（2）在（1）的情況下，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（3）當點P在線段AC上滑動時，當△PCQ是等腰三角形時，求x的值．【答案】（1）見解析（2）（3）0或1【解析】【分析】（1）過點P作MNBC，分別交AB、CD于點M、N，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可證明△QNP≌△PMB，可證明PQ＝PB；（2）設AP＝x，結(jié)合（1）的結(jié)論可分別表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面積，從而表示出四邊形PBCQ的面積，從而得到y(tǒng)與x的關系式；（3）△PCQ可以成為等腰三角形．當點Q在DC邊上時，利用勾股定理可得到x的方程；當點Q在DC的延長線上時，由PQ＝CQ，可得到x的方程；當Q與點C重合時，不滿足條件；從而可求得滿足條件的x的值．【小問1詳解】證明：過點P作MNBC，分別交AB、CD于點M、N，如圖1，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，∴NP＝NC＝MB．∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．又∵∠QNP＝∠PMB＝90°在△QNP和△PMB中，，∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB；【小問2詳解】由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．設AP＝x，則AM＝MP＝NQ＝DNx，BM＝PN＝CN＝1x，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣2x＝1x∴，，∴，∵當Q點到點C時則P點到達AC的中點，∴AP的最大值為AC，∴．【小問3詳解】△PCQ可能成為等腰三角形．①當點Q在邊DC上，由PQ＝CQ得：解得（舍去）；②當點Q在邊DC的延長線上時，如圖2，由PC＝CQ得：xx﹣1，解得x＝1．③當點Q與C點重合，△PCQ不存在．綜上所述，x＝0或1時，△PCQ為等腰三角形．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識．在（1）中構(gòu)