新高考數(shù)學一輪復習講義第2章　§2.3　函數(shù)的奇偶性、周期性（原卷版）

§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性考試要求1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行簡單的應用．知識梳理1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.()(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)．()(3)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)．()(4)若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)的一個周期．()教材改編題1．若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上()A．單調(diào)遞增，且有最小值f(1)B．單調(diào)遞增，且有最大值f(1)C．單調(diào)遞減，且有最小值f(2)D．單調(diào)遞減，且有最大值f(2)2．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且當x>0時，有f(x)＝x＋2x，則f(－2)＝________.3．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若f(1)＝1，則f(2023)＝________.題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1(多選)下列命題中正確的是()A．奇函數(shù)的圖象一定過坐標原點B．函數(shù)y＝xsinx是偶函數(shù)C．函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)D．函數(shù)y＝eq\f(x2－x,x－1)是奇函數(shù)思維升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)題型二函數(shù)奇偶性的應用命題點1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x>0，,ax3＋b，x<0))為偶函數(shù)，則2a＋b等于()A．3B.eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(3,2)(2)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝2x＋x－1，則當x<0時，f(x)等于()A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1命題點2利用奇偶性解不等式例3函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0.則不等式eq\f(fx－2f－x,x)>0的解集為()A．(－2,2)B．(－∞，0)∪(0,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)思維升華(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．跟蹤訓練2(1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，若f(a)＝1，則f(－a)等于()A．1B．3C．4D．5(2)已知函數(shù)f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)<f(2)，則實數(shù)x的取值范圍是()A．(1,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))∪(4，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))∪(1,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))(3)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________.題型三函數(shù)的周期性例4(1)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝－f(x)，且當1≤x≤2時，f(x)＝x－1，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))的值等于()A.eq\f(5,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)(2)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且當x∈[0,2]時，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[2,4]上的解析式為____________________．思維升華(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題．跟蹤訓練3(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其周期為4，當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2，則()A．f(2023)＝0B．f(x)的值域為[－1,2]C．f(x)在[4,6]上單調(diào)遞減D．f(x)在[－6,6]上有8個零點課時精練1．(多選)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x2．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則“f(x)是偶函數(shù)”是“|f(x)|是偶函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0<x<1時，f(x)＝4x，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)等于()A．0B．2C．4D．－24．已知函數(shù)f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lgπ)，c＝f(log0.26)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋16．(多選)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對?x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)＝log2(2－x)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的一個周期為4B．f(2022)＝1C．當x∈[2,3]時，f(x)＝－log2(4－x)D．函數(shù)f(x)在[0,2021]內(nèi)有1010個零點7．寫出一個定義域為R，周期為π的偶函數(shù)f(x)＝________.8．若函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則不等式f(lnx)＋f(lnx－1)>0的解集是________．9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．10．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)．11．已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足：?x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，則下列結(jié)論錯誤的是()A．f(0)＝2 B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)為奇函數(shù) D．f(2)＝－112．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足：①對于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝eq\f(1,fx)；②函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；③當x∈(0,1]時，f(x)＝x＋ex，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))，f

eq\