新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié) 函數(shù)的概念與性質(zhì)（含解析）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)1.一般函數(shù)定義域的求法列出是函數(shù)有意義的自變量的不等式（組），求解即可得到函數(shù)的定義域．常涉及的依據(jù)有：（1）SKIPIF1<0為整式時(shí)，定義域?yàn)镽；（2）SKIPIF1<0為分式時(shí)，定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)的集合；（3）如果SKIPIF1<0為0次冪或負(fù)指數(shù)冪型函數(shù)，那么定義域?yàn)槭沟脙绲讛?shù)不等于零的全體實(shí)數(shù)；（4）SKIPIF1<0為二次根式（偶次根式）時(shí)，定義域?yàn)槭贡婚_(kāi)方數(shù)非負(fù)的實(shí)數(shù)的集合；（5）如果函數(shù)是一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么他的定義域是各基本函數(shù)定義域的交集；（6）由實(shí)際問(wèn)題建立的函數(shù)，其定義域還要符合實(shí)際意義．2．復(fù)合函數(shù)定義域的求法（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是指SKIPIF1<0的取值范圍所組成的集合；（2）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域還是指SKIPIF1<0的取值范圍，而不是SKIPIF1<0的取值范圍；（3）已知SKIPIF1<0的定義域是A，求SKIPIF1<0的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0的取值范圍為A，求出SKIPIF1<0的取值范圍；（4）已知SKIPIF1<0的定義域?yàn)锽，求SKIPIF1<0的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的取值范圍為B，求出SKIPIF1<0的取值范圍（值域），此范圍就是SKIPIF1<0的定義域；（5）同在對(duì)應(yīng)關(guān)系“SKIPIF1<0”下的范圍相同，即SKIPIF1<0三個(gè)函數(shù)中的SKIPIF1<0的范圍相同．3．求函數(shù)值域常用的方法（1）直接法；（2）換元法；（3）配方法；（4）判別式法；（5）分離常數(shù)法；（6）圖象法；（7）不等式法；（8）函數(shù)單調(diào)性法．4．函數(shù)解析式的求法（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)解析式可以用待定系數(shù)法來(lái)求解，先設(shè)函數(shù)解析式，然后根據(jù)已知條件求解相關(guān)參數(shù)；（2）已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0或已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0，一般采用換元法或配湊法；（3）消去法：已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足的關(guān)系式，要求SKIPIF1<0時(shí)，可用SKIPIF1<0代替兩邊的所有的SKIPIF1<0，得到關(guān)于SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的方程組，解得SKIPIF1<0；（4）賦值法：給自變量賦予特殊值，觀察規(guī)律，從而求出函數(shù)的解析式．5．函數(shù)單調(diào)性的判定方法（1）定義法，步驟：取值、作差、定號(hào)、判斷；（2）圖象法，根據(jù)函數(shù)圖象的升降情況進(jìn)行判斷；（3）直接法，運(yùn)用已知的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性．6．求復(fù)合函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)性的步驟（1）將復(fù)合函數(shù)分解成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）分別確定這兩個(gè)函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間；（3）若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)性同增或同減，則SKIPIF1<0為增函數(shù)；若一増一減，則SKIPIF1<0為減函數(shù)．7．函數(shù)奇偶性的判定方法（1）定義法：用定義判定（證明）函數(shù)奇偶性的一般步驟：首先確定函數(shù)的定義域，驗(yàn)證函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若否，函數(shù)SKIPIF1<0是非奇非偶函數(shù)，若是，繼續(xù)判斷SKIPIF1<0之一是否成立．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0為偶函數(shù)，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0為奇函數(shù)，若SKIPIF1<0都不成立，則函數(shù)SKIPIF1<0是非奇非偶函數(shù)，若SKIPIF1<0都成立，則函數(shù)SKIPIF1<0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．也可以利用等價(jià)命題判斷，即SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）SKIPIF1<0是奇函數(shù)；SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）SKIPIF1<0是偶函數(shù)．（2）圖象法：圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱SKIPIF1<0是奇函數(shù)；圖像關(guān)于y軸對(duì)稱SKIPIF1<0是偶函數(shù)．（3）性質(zhì)法：在定義域的公共部分內(nèi)，兩個(gè)奇函數(shù)的和或差仍是奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積（商）為偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)之積（商）為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積（商）為奇函數(shù)（注：取商時(shí)應(yīng)使分母不為0）．8．復(fù)合函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性對(duì)于復(fù)合函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0為偶函數(shù)；若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0為奇函數(shù)；若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0為偶函數(shù)；若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0為偶函數(shù)．9．奇、偶函數(shù)的幾個(gè)重要結(jié)論（1）在保證定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的奇偶性相同．（2）若SKIPIF1<0是具有奇偶性的單調(diào)函數(shù)，則奇（偶）函數(shù)在正負(fù)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性是相同（反）的，簡(jiǎn)稱“奇同偶異”．（3）SKIPIF1<0的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則SKIPIF1<0是偶函數(shù)，SKIPIF1<0是奇函數(shù)．（4）若SKIPIF1<0的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則SKIPIF1<0可以表示成如下形式：SKIPIF1<0，這個(gè)式子的特點(diǎn)是：右邊是一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和．所以任意一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱的函數(shù)都可以寫(xiě)成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和．10.冪函數(shù)的定義域和值域（1）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，值域?yàn)镾KIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0為正整數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，值域?yàn)镾KIPIF1<0；SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，值域?yàn)镾KIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0為負(fù)整數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，值域?yàn)镾KIPIF1<0；SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，值域?yàn)镾KIPIF1<0；（4）當(dāng)SKIPIF1<0為正分?jǐn)?shù)SKIPIF1<0時(shí)，化為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的奇偶性求解；（5）當(dāng)SKIPIF1<0為負(fù)分?jǐn)?shù)SKIPIF1<0時(shí)，化為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的奇偶性求解.11.判斷冪函數(shù)奇偶性的方法令SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互質(zhì)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.（1）若SKIPIF1<0是奇數(shù)，則SKIPIF1<0的奇偶性取決于SKIPIF1<0是奇數(shù)還是偶數(shù).當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0是奇函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0是偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0是偶函數(shù).（2）若SKIPIF1<0是偶數(shù)，則SKIPIF1<0必是奇數(shù)，此時(shí)SKIPIF1<0既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).類型一：函數(shù)的概念及性質(zhì)例1．設(shè)定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù),且f（x）在（－∞，0）為增函數(shù)．若對(duì)于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則有()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，畫(huà)出y=f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合知，只有選項(xiàng)D正確．【總結(jié)升華】對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合考查是高考命題熱點(diǎn)問(wèn)題．這類問(wèn)題往往涉及函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及題目中給出的函數(shù)性質(zhì)．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于“各個(gè)擊破”，也就是涉及哪個(gè)性質(zhì)，就利用該性質(zhì)來(lái)分析解決問(wèn)題．例2．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，若所有點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則SKIPIF1<0的值為（）A．－2B．－4C．－8D．不能確定【答案】B【解析】依題意，設(shè)關(guān)于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0．依題意，當(dāng)s∈[x1，x2]的取值一定時(shí)，SKIPIF1<0取遍SKIPIF1<0中的每一個(gè)組，相應(yīng)的圖形是一條線段；當(dāng)s取遍[x1，x2]中的每一個(gè)值時(shí)，所形成的圖形是一個(gè)正方形區(qū)域（即相當(dāng)于將前面所得到的線段在坐標(biāo)平面內(nèi)平移所得），因此有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又a＜0，因此a=－4，選B項(xiàng)．例3．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．（1）畫(huà)出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象；（2）若不等式SKIPIF1<0的解集非空，求a的取值范圍．【答案】（1）右圖；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由于SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示．（2）由函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)y=ax的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0或a＜―2時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)y=ax的圖象有交點(diǎn)．故不等式SKIPIF1<0的解集非空時(shí)，a的取值范圍為SKIPIF1<0．例4．已知函數(shù)SKIPIF1<0（x≠0，常數(shù)a∈R）．（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0在x∈[2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行分類討論，然后利用奇函數(shù)的定義去證明即可．（2）由題意知，任取2≤x1＜x2，則有SKIPIF1<0恒成立，即可得SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)a=0時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2）（－∞，16]．【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，SKIPIF1<0，對(duì)任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，SKIPIF1<0（a≠0，x≠0），取x=±1，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2）解法一：設(shè)2≤x1＜x2，SKIPIF1<0，要使函數(shù)SKIPIF1<0在x∈[2，+∞）上為增函數(shù)，必須SKIPIF1<0恒成立．∵x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1+x2)恒成立．又∵x1+x2＞4，∴x1x2(x1+x2)＞16．∴a的取值范圍是（－∞，16]．解法二：當(dāng)a=0時(shí)，SKIPIF1<0，顯然在[2，+∞）上為增函數(shù)．當(dāng)a＜0時(shí)，反比例函數(shù)SKIPIF1<0在[2，+∞）上為增函數(shù)，∴SKIPIF1<0在[2，+∞）上為增函數(shù)．當(dāng)a＞0時(shí)，同解法一．【總結(jié)升華】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，因而也是高考命題的熱點(diǎn)．應(yīng)運(yùn)用研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的基本方法，來(lái)分析解決問(wèn)題．類型二：函數(shù)的綜合問(wèn)題例5．（1）已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[－1，2]上最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值；（2）已知函數(shù)SKIPIF1<0，x∈[－1，1]，求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值．【思路點(diǎn)撥】第（1）小題中應(yīng)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行全面討論，即按a=0，a＞0，a＜0三種情況分析；第（2）小題中的拋物線開(kāi)口方向確定，對(duì)稱軸不穩(wěn)定．【答案】（1）－3或SKIPIF1<0；（2）略【解析】（1）SKIPIF1<0．①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[－1，2]上的值為常數(shù)1，不合題意；②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[－1，2]上是增函數(shù)，最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[―1，2]上是減函數(shù)，最大值為SKIPIF1<0，a=―3．綜上，a的值為－3或SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，對(duì)稱軸為直線x=a，且拋物線的開(kāi)口向上，如下圖所示：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[―1，1]上是減函數(shù)，最小值為SKIPIF1<0；當(dāng)―1＜a＜1時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[－1，1]上是先減后增，最小值為SKIPIF1<0；當(dāng)a≤―1時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[―1，1]上是增函數(shù)，最小值為SKIPIF1<0．【總結(jié)升華】求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法是：一看拋物線的開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與已知閉區(qū)間的相對(duì)位置，作出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡(jiǎn)圖，利用數(shù)形結(jié)合方法就可得到問(wèn)題的解．對(duì)于“定區(qū)間、動(dòng)對(duì)稱軸”這一類型，依對(duì)稱軸在定區(qū)間左側(cè)、右側(cè)和在區(qū)間內(nèi)三種情況，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，即可得到函數(shù)的最值．．類型三：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例6．提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度SKIPIF1<0（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度SKIPIF1<0（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)，研究表明；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，車(chē)流速度SKIPIF1