考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共267題）

考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共9套）（共267題）考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設f(χ)可導，則當△χ→0時，△y－dy是△χ的()．A、高階無窮小B、等價無窮小C、同階無窮小D、低階無窮小標準答案：A知識點解析：因為f(χ)可導，所以f(χ)可微分，即△y＝dy＋o(△χ)，所以△y－dy是△χ的高階無窮小，選A．2、設函數(shù)f(χ)＝則在點χ＝0處f(χ)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導但導數(shù)不連續(xù)D、導數(shù)連續(xù)標準答案：D知識點解析：因為f(χ)＝0，f(χ)＝f(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0處連續(xù)；由得f(χ)在χ＝0處可導，且f′(0)＝0；當χ＞0時，f′(χ)＝3χ2sin－χcos；當χ＜0時，f′(χ)＝2χ，因為＝f′(0)，所以f(χ)在χ＝0處導數(shù)連續(xù)，選D．3、設f(χ)＝則在χ＝1處f(χ)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導但不是連續(xù)可導D、連續(xù)可導標準答案：D知識點解析：因為(χ2＋χ＋1)＝3＝f(1)，所以f(χ)在χ＝1處連續(xù)．因為＝3，所以f(χ)在χ＝1處可導．當χ≠1時，f′(χ)＝2χ＋1，因為f′(χ)＝3＝f′(1)，所以f(χ)在χ＝1處連續(xù)可導，選D．4、若f(－χ)＝－f(χ)，且在(0，＋∞)內(nèi)f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，則在(－∞，0)內(nèi)()．A、f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B、f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C、f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D、f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0標準答案：C知識點解析：因為f(χ)為奇函數(shù)，所以f′(χ)為偶函數(shù)，故在(－∞，0)內(nèi)有f′(χ)＞0．因為f〞(χ)為奇函數(shù)，所以在(－∞，0)內(nèi)f〞(χ)＜0，選C．5、f(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)二階可導，f〞(χ)＜0，＝1，則f(χ)在(－∞，0)內(nèi)()．A、單調(diào)增加且大于零B、單調(diào)增加且小于零C、單調(diào)減少且大于零D、單調(diào)減少且小于零標準答案：B知識點解析：由＝1，得f(0)＝0，f′(0)＝1，因為f〞(χ)＜0，所以f′(χ)單調(diào)減少，在(－∞，0)內(nèi)f′(χ)＞f′(0)＝1＞0，故f(χ)在(－∞，0)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，再由f(0)＝0，在(－∞，0)內(nèi)f(χ)＜f(0)＝0，選B．6、若f(χ)在χ＝0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導，且＝1，則下列正確的是()．A、χ＝0是f(χ)的零點B、(0，f(0))是y＝f(χ)的拐點C、χ＝0是f(χ)的極大值點D、χ＝0是f(χ)的極小值點標準答案：D知識點解析：由＝1得f′(0)＝0，由1＝＝f〞(0)得χ＝0為極小點，應選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設f(χ)＝，且f′(0)存在，則a＝_______，b＝_______，c＝_______．標準答案：2；－2；2．知識點解析：f(0＋0)＝f(χ)＝a，f(0)＝2，f(0－0)＝c，因為f(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以f(0＋0)＝f(0)＝f(0－0)，從而a＝2，c＝2，即因為f(χ)在χ＝0處可導，即f′+(0)＝f′-(0)，故b＝－2．8、設f(χ)在χ＝2處可導，且＝2，則f(2)＝_______，f′(2)＝_______．標準答案：0；8．知識點解析：因為＝2，所以f(χ)＝0，再由f(χ)在χ＝2處的連續(xù)性得f(2)＝0．由＝2，得f′(2)＝8．9、設f(χ)二階連續(xù)可導，且＝1，f〞(0)＝e，則＝_______．標準答案：知識點解析：由＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1，于是10、設f(u)可導，y＝f(χ2)在χ0＝－1處取得增量△χ＝0．05時，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f′(1)＝_______．標準答案：知識點解析：由dy＝2χf′(χ2)△χ得dy｜χ＝－1＝－2f′(1)×0．05＝－0．1f′(1)，因為△y的線性部分為dy，由－0．1f′(1)＝0．15得f′(1)＝．11、設y＝，則＝_______．標準答案：知識點解析：12、設則＝_______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、求常數(shù)a，b使得f(χ)＝在χ＝0處可導．標準答案：因為f(χ)在χ＝0處可導，所以f(χ)在χ＝0處連續(xù)，從而有f(0＋0)＝2a＝f(0)＝f(0－0)＝3b，由f(χ)在χ＝0處可導，則3＋2a＝10＋6b，解得知識點解析：暫無解析14、設f(χ)＝求f′(χ)并討論f′(χ)在χ＝0處的連續(xù)性．標準答案：當χ≠0時，f′(χ)＝當χ＝時，所以f′(χ)在χ＝0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析15、設函數(shù)f(χ)在區(qū)間[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．證明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．標準答案：因為f(χ)在[0，3]上連續(xù)，所以f(χ)在[0，2]上連續(xù)，故f(χ)在[0，2]取到最大值M和最小值m，顯然3m≤f(0)＋f(1)＋f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)＝1．因為f(χ)在[c，3]上連續(xù)，在(c，3)內(nèi)可導，且f(c)＝f(3)＝1，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f′(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析16、設函數(shù)f(χ)和g(χ)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0，試證明存在ξ∈(a，b)使＝0．標準答案：令φ(χ)＝f(χ)∫χbg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，φ(χ)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且φ′(χ)＝[f′(χ)∫χbg(t)dt－f(χ)g(χ)]＋[g(χ)f(χ)＋g′(χ)∫aχf(t)df]＝f′(χ)∫χbg(t)dt＋g′(χ)∫aχf(t)dt，因為φ(a)＝φ(b)＝0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ′(ξ)＝0，即f′(ξ)∫ξbg(t)dt＋g′(ξ)∫aξf(t)dt＝0，由于g(b)＝0及g′(χ)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(χ)＞0，從而就有∫χbg(t)dt＞0，于是有＝0．知識點解析：暫無解析17、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．標準答案：令φ(χ)＝f(b)lnχ－f(χ)lnχ＋f(χ)lna，φ(a)＝φ(b)＝f(b)lna．由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝－f′(χ)lnχ＋f′(χ)lna，所以[f(b)－f(ξ)]－f′(ξ)(lnξ－lna)＝0，即ξf′ξ．知識點解析：暫無解析18、設f(χ)，g(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且g′(χ)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：令F(χ)＝f(χ)g(b)＋f(a)g(χ)－f(χ)g(χ)，則F(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且F(a)＝F(b)＝f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F′(ξ)＝0，而F′(χ)＝f′(χ)g(b)＋f(a)g′(χ)－f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)，所以知識點解析：暫無解析19、設f(χ)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt＋(ξ－1)f(ξ)＝0．標準答案：令φ(χ)＝χ∫0χf(t)dt－∫0χf(t)dt．因為φ(0)＝φ(1)＝0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝∫0χf(t)dt＋(χ－1)f(χ)，故∫0ξf(t)dt＋(ξ－1)f(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析20、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．標準答案：不妨設f(a)＞0，f(b)＞0，f()＜0，今φ(χ)＝e-χf(χ)，則φ′(χ)＝e－χ[f′(χ)－f(χ)]．因為φ(a)＞0，φ()＜0，φ(b)＞0，所以存在使得φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，即e－ξ[f′(ξ)－f(ξ)]＝0，因為e－ξ≠0，所以f′(ξ)＝f(ξ)．知識點解析：暫無解析21、設f(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且f(0)＝f(1)，證明：存在ξ，η(0，1)，使得f′(ξ)＋f′(η)＝0．標準答案：存在ξ∈(0，)，η∈(，1)，使得因為f(0)＝f(1)，所以f′(ξ)＝－f′(η)，即f′(ξ)＋f′(η)＝0．知識點解析：暫無解析22、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(a＞0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f′(η)．標準答案：令F(χ)＝χ2，F(xiàn)′(χ)＝2χ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得整理得再由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得＝f′(ξ)，故f′(ξ)＝知識點解析：暫無解析23、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導，連接點A(a，f(a))，B(b，f(b))的直線與曲線y＝f(χ)交于點C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝0．標準答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因為點A，B，C共線，所以f′(ξ1)＝f′(ξ2)，又因為f(χ)二階可導，所以再由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f〞(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析24、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒為常數(shù)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．標準答案：因為f(χ)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)＝f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)＝f(b)，不妨設f(c)＞f(a)＝f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知識點解析：暫無解析25、設b＞a＞0，證明：標準答案：令f(t)＝lnt,由微分中值定理得f(b)＝－f(a)＝f′(ξ)(b－a)＝，其中ξ∈(a，b)．因為0＜a＜ξ＜b，所以，從而即知識點解析：暫無解析26、設f(χ)在[a，b]上滿足｜f〞(χ)｜≤2，且f(χ)在(a，b)內(nèi)取到最小值．證明：｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤2(b－a)．標準答案：因為f(χ)在(a，b)內(nèi)取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(χ)在[a，b]上的最小值，從而f′(c)＝0．由微分中值定理得，其中ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，兩式取絕對值得兩式相加得｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤2(b－a)．知識點解析：暫無解析27、設f(χ)在[0，1]上二階連續(xù)可導且f(0)＝f(1)，又｜f〞(χ)｜≤M，證明：｜f〞(χ)｜≤．標準答案：由泰勒公式得f(0)＝f(χ)＋f′(χ)(0－χ)＋(0－χ)2，ξ∈(0，χ)，f(1)＝f(χ)＋f′(χ)(1－χ)＋(1－χ)2，η∈(χ，1)，兩式相減得f′(χ)＝[f〞(ξ)χ2－f〞(η)(1－χ)2]，取絕對值得｜f′(χ)｜≤[χ2＋(1－χ)2]，因為χ2≤χ，(1－χ)2≤1－χ，所以χ2＋(1－χ)2≤1，故f′(χ)≤．知識點解析：暫無解析28、設函數(shù)f(χ)，g(χ)在[a，＋∞)上二階可導，且滿足條件f(a)＝g(a)，f′(a)＝g′(a)，f〞(χ)＞g〞(χ)(χ＞a)．證明：當χ＞a時，f(χ)＞g(χ)．標準答案：令φ(χ)＝f(χ)－g(χ)，顯然φ(a)＝φ′(a)＝0，φ〞(χ)＞0(χ＞a)．由得φ′(χ)＞0(χ＞a)；再由得φ(χ)＞0(χ＞a)，即f(χ)＞g(χ)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、若f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且x1，x2是(a，b)內(nèi)任意兩點，則至少存在一點ξ，使下列諸式中成立的是()A、f(x2)一f(x1)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ∈(a，n)B、f(x1)一f(x2)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ在x1，x2之間C、f(x1)一f(x2)=(x2一x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2D、f(x2)一f(x1)=(x2一x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2標準答案：B知識點解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)錯，(B)正確，又由x1與x2的大小關(guān)系未知，故(D)不正確．2、在區(qū)間[0，8]內(nèi)，對函數(shù)羅爾定理()A、不成立B、成立，并且f’(2)=0C、成立，并且f’(4)=0D、成立，并且f’(8)=0標準答案：C知識點解析：因為f(x)在[0，8]上連續(xù)，在(0，8)內(nèi)可導，且f(0)=f(8)，故f(x)在[0，8]上滿足羅爾定理條件．令得f’(4)=0，即定理中ξ可以取為4．3、函數(shù)在x=π處的()A、右導數(shù)B、導數(shù)C、左導數(shù)D、右導數(shù)標準答案：D知識點解析：f(x)在x=π處的左、右導數(shù)為：因此f(x)在x=π處不可導，但有4、設函數(shù)f(x)具有任意階導數(shù)，且f’(x)=[f(x)]2，則f(n)(x)=()A、n[f(x)]n+1B、n![f(x)]n+1C、(n+1)[f(x)]n+1D、(n+1)![f(x)]n+1標準答案：B知識點解析：由f’(x)=[f(x)]2得f"(x)一[f(x)]’={[f(x)]2}’=2f(x)f’(x)=2[f(x)]3，當n=1，2時，f(n)=n![f(x)]n+1成立．假設n=k時，f(k)(x)=k![f(x)]k+1成立．則當n=k+1時，有f(k+1)(x)={k![f(x)]k+1}’=(k+1)![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2，由數(shù)學歸納法可知，結(jié)論成立，故選(B)．5、函數(shù)()A、只有極大值，沒有極小值B、只有極小值，沒有極大值C、在x=一1處取極大值，x=0處取極小值D、在x=一1處取極小值，x=0處取極大值標準答案：C知識點解析：令f’(x)=0，得x=一1，f(x)在x=一1左側(cè)導數(shù)為正，右側(cè)導數(shù)為負，因此在x=一1處取極大值；當x=0時，f’(x)不存在，在x=0左側(cè)導數(shù)為負，右側(cè)導數(shù)為正，因此在x=0處取極小值．6、若f(x)在x0點至少二階可導，且則函數(shù)f(x)在x=x0處()A、取得極大值B、取得極小值C、無極值D、不一定有極值標準答案：A知識點解析：由于則存在δ＞0，當0＜1|x-x0|＜δ時，由于(x—x0)2＞0，于是f(x)一f(x0)＜0，所以f(x0)＞f(x)，x0為極大值點，故選(A)．7、設周期函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導，周期為4，又則曲線y=f(x)在點(5，f(5))處的切線斜率為()A、B、0C、一1D、一2標準答案：D知識點解析：因為函數(shù)f(x)周期為4，所以曲線在點(5，f(5))處的切線斜率與曲線在點(1，f(1))處的切線斜率相等，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，曲線在點(1，f(1))處的切線斜率即為函數(shù)f(x)在點x=1處的導數(shù)．又即f’(1)=一2．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設y=ln(1+3-x)，則dy=___________．標準答案：知識點解析：復合函數(shù)求導故9、設其中f可導，且f’(0)≠0，則標準答案：2．26．3知識點解析：10、標準答案：知識點解析：11、設則y’=__________．標準答案：知識點解析：12、設則標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)13、試證明：曲線恰有三個拐點，且位于同一條直線上．標準答案：令y"=0，得x1=一1，于是可列表如下所以A(一1，一1)，均為此曲線的拐點，又因所以這三個拐點在一條直線上．知識點解析：暫無解析14、求曲線的斜漸近線．標準答案：當t→1，t→一1或t→∞時，都有x→∞．當t→1時，當t→一1時，當t→∞時，所以曲線有三條斜漸近線，分別是知識點解析：暫無解析15、求極坐標系下的曲線的斜漸近線．標準答案：寫為參數(shù)方程形式當且僅當時，才有x→∞，所以曲線至多有一條斜漸近線．由于所以曲線有斜漸近線知識點解析：暫無解析16、作函數(shù)的圖形．標準答案：①定義域為(一∞，0)∪(0，+∞)，無周期性無奇偶性．y’=0的根為y"=0的根為x=一1．③列表由表可知函數(shù)的極小值點在處取得，拐點為(一1，0)．④鉛直漸近線：無斜漸近線．⑤作圖(如圖1．2—2)．知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)y=excosx的極值．標準答案：y’=ex(cosx一sinx)=極值可疑點n=0，±1，…(均為駐點)．又y"=一2exsinx，當時，y"＜0，所以xk=2kn+為極大值點，極大值為k=0，±1，±2，…；當時，y"＞0，所以為極小值點，極小值為k=0，±1，…．知識點解析：暫無解析18、設f(x)可導，證明：f(x)的兩個零點之間一定有f(x)+f’(x)的零點．標準答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)ex，由于f(x)可導，故F(x)可導，設x1和x2為f(x)的兩個零點，且x1＜x2，則F(x)在[x1，x2]上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理，至少存在一點ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．所以f(x)的兩個零點之間一定有f(x)+f’(x)的零點．知識點解析：f(x)的兩個零點x1，x2(不妨設x1＜x2)之間有f(x)+f’(x)的零點問題，相當于在(x1，x2)內(nèi)有f(x)+f’(x)=0的點存在的問題．若能構(gòu)造一個函數(shù)F(x)，使F’(x)=[f(x)+f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，則問題可以得到解決．由(ex)’=ex可以得到啟發(fā)，令F(x)=f(x)ex．設函數(shù)f(x)在[(a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)=0．求證：19、存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；標準答案：設φ(x)=xf(x)，則φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析20、存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．標準答案：設則F(x)在[a，b)上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且F(a)=F(b)=0，由羅爾定理得，存在η∈(a，b)，使即ηf(η)+f’(η)=0．知識點解析：暫無解析21、設函數(shù)f(x)在[一2，2]上二階可導，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．試證：在(一2，2)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0．標準答案：根據(jù)拉格朗日中值定理有f(0)一f(-2)=2f’(ξ1)，一2＜ξ1＜0，f(2)一f(0)=2f’(ξ2)，0＜ξ2＜2．由|f(x)|≤1知令φ(x)=f2(x)+[f’(x)]2，則有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．因為φ(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，且φ(0)=4，設φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在點ξ∈[ξ1，ξ2](一2，2)處取到，則φ(ξ)≥4，且φ在[ξ1，ξ2]上可導，由費馬定理有φ(ξ)=0，即2f(ξ)．f’(ξ)+2f’(ξ)．f"(ξ)=0．因為|f(x)|≤1，且φ(ξ)≥4，所以f’(ξ)≠0，于是有f(ξ)+f”(ξ)=0，ξ∈(一2，2)．知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)(a，b＞0)，在(a，b)內(nèi)可導．試證：在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ，使等式成立．標準答案：令F(x)與G(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且滿足柯西中值定理的三個條件．于是在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ，使得知識點解析：暫無解析23、設f(x)在上具有連續(xù)的二階導數(shù)，且f’(0)=0．證明：存在ξ，η，使得標準答案：因f(x)和g(x)=cos2x在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且g’(x)=(cos2x)’=一2sin2x≠0，故由柯西中值定理知，存在使得即因f(x)在上具有連續(xù)的二階導數(shù)，故存在使得再由f’(0)=0知由式①和式②知取則式③可以寫成其中ω，η，知識點解析：暫無解析24、設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導且f(a)≠f(b)．試證：存在η,ξ∈(a，b)，使得標準答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(a)=f’(η)(b一a)，η∈(a，b)，又由柯西中值定理知所以則即知識點解析：暫無解析25、求曲線y=ex上的最大曲率及其曲率圓方程．標準答案：由y’=ex，y"=ex得曲線y=ex上任意點P(x，y)處的曲率令得唯一的駐點因當時，當時，故為曲率K=K(x)的極大值點，亦是最大值點，且其最大曲率為其中，當時，且曲線y=ex上具有最大曲率的點(x0，y(x0))處的曲率圓的曲率半徑則曲率圓的圓心(ξ，η)為所以它的曲率圓方程為知識點解析：暫無解析26、設一質(zhì)點在單位時間內(nèi)由點A從靜止開始做直線運動至點B停止，A，B兩點間距離為1，證明：該質(zhì)點在(0，1)內(nèi)總有某一時刻的加速度的絕對值不小于4．標準答案：設質(zhì)點運動的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)為y=y(t)，0≤t≤1，則有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．在t=0與t=1處的一階泰勒展開式分別為若則由上述①式得y"(ξ1)≥4；若由上述②式得y"(ξ2)＜一4．證畢．知識點解析：暫無解析27、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，試證：在(a，b)內(nèi)存在ξ，使得標準答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分別為f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．則對于任意x∈[a，b]有m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②①+②+…+mm≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，故由介值定理可知存在ξ∈(a，b)，使得知識點解析：暫無解析28、設函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．試證：存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．標準答案：函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，則f(x)在[0，2]上連續(xù)，那么其在[0，23上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一點η∈(0，2)，使得于是便有f(η)=1=f(3)，滿足羅爾定理條件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析設f(x)，g(x)在[a，b]k-階可導，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(n)=g(b)=0，證明：29、在(a，b)內(nèi)，g(x)≠0；標準答案：反證法．設存在一點c∈(a，b)，且g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上分別運用羅爾定理可得g’(ξ)=g’(ξ)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)．對g’(x)在[ξ1，ξ2]上運用羅爾定理，可得g"(ξ3)=0，其中ξ3∈(ξ1，ξ2)，與已知g"(x)≠0矛盾，故得證．知識點解析：暫無解析30、在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使標準答案：令F(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x)，則有F(a)=0，F(xiàn)(b)=0．F(x)在[a，b]上運用羅爾定理，可知存在ξ∈(a，b)，使知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設f(χ)連續(xù)，且＝－2，則()．A、f(χ)在χ＝0處不可導B、f(χ)在χ＝0處可導且f′(0)≠0C、f(χ)在χ＝0處取極小值D、f(χ)在χ＝0處取極大值標準答案：D知識點解析：＝－2得f(0)＝1，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜χ｜＜δ時，＜0，即f(χ)＜1＝f(0)，故χ＝0為f(χ)的極大值點，應選D．2、設f(χ)具有二階連續(xù)導數(shù)，且＝2，則()．A、χ＝1為f(χ)的極大值點B、χ＝1為f(χ)的極小值點C、(1，f(1))為y＝f(χ)的拐點D、χ＝1不是f(χ)的極值點，(1，f(1))也不是y＝f(χ)的拐點標準答案：C知識點解析：由＝2及f(χ)二階連續(xù)可導得f〞(1)＝0；因為＝2＞0，所以由極限保號性，存在δ＞0，當0＜｜χ－1｜＜δ時，＞0，從而故(1，f(1))是曲線y＝f(χ)的拐點，應選C．3、設f(χ)二階連續(xù)可導，f′(0)＝0，且＝－1，則()．A、χ＝0為f(χ)的極大值點B、χ＝0為f(χ)的極小值點C、(0，f(0))為y＝f(χ)的拐點D、χ＝0不是f(χ)的極值點，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐點．標準答案：A知識點解析：因為＝－1＜0，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜χ｜＜δ時，＜0，注意到χ3＝o(χ)，所以當0＜｜χ｜＜δ時，f〞(χ)＜0，從而f′(χ)在(－δ，δ)內(nèi)單調(diào)遞減，再由f′(0)＝0得故χ＝0為f(χ)的極大值點，應選A．4、設y＝y(tǒng)(χ)由χ－＝0確定，則f〞(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2－1D、e-2－1標準答案：A知識點解析：當χ＝0時，由－∫1ydt＝0得y＝1，χ－dt＝0兩邊對χ求導得1－＝0，解得，且＝e－1，由得y〞(0)＝＝2e2應選A．5、設函數(shù)f(χ)二階可導，且f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)，其中△χ＜0，則()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標準答案：D知識點解析：根據(jù)微分中值定理，△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)＝f′(ξ)△χ＜0(χ＋△χ＜ξ＜χ)，dy＝f′(χ)△χ＜0，因為f〞(χ)＞0，所以f′(χ)單調(diào)增加，而ξ＜χ，所以f′(ξ)＜f′(χ)，于是f′(ξ)△χ＞f′(χ)△χ，即dy＜△y＜0，選D．6、設f〞(χ)連續(xù)，f′(0)＝0，＝1，則()．A、f(0)是f(χ)的極大值B、f(0)是f(χ)的極小值C、(0，f(0))是y＝f(χ)的拐點D、f(0)非極值，(0，f(0))也非y＝f(χ)的拐點標準答案：B知識點解析：＝1及f〞(χ)的連續(xù)性，得f〞(0)＝0，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜χ｜＜δ時，＞0，從而f〞(χ)＞0，于是f′(χ)在(－δ，δ)內(nèi)單調(diào)增加，再由f′(0)＝0，得當χ∈(－δ，0)時，f′(χ)＜0，當χ∈(0，δ)時，f′(χ)＞0，χ＝0為f(χ)的極小值點，選B．7、設函數(shù)f(χ)在[0，a]上連續(xù)，在(0，a)內(nèi)二階可導，f(0)＝0，f〞(χ)＜0，則在(0，a]上()．A、單調(diào)增加B、單調(diào)減少C、恒等于零D、非單調(diào)函數(shù)標準答案：B知識點解析：令h(χ)＝χf′(χ)＝－f(χ)，h(0)＝0，h′(χ)＝χf〞(χ)＜0(0＜χ≤a)，由得h(χ)＜0(0＜χ≤a)，于是＜0(0＜χ≤a)，故在(0，a]上為單調(diào)減函數(shù)，選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、＝________．標準答案：知識點解析：由得9、設周期為4的函數(shù)f(χ)處處可導，且，則曲線y＝f(χ)在(－3，f(－3))處的切線為________．標準答案：y＝－2χ－4知識點解析：由得f(1)＝2，再由得f′(1)＝－2，又f(－3)＝f(－4＋1)＝f(1)＝2，f′(－3)＝f′(－4＋1)＝f′(1)＝－2，故曲線y＝f(χ)在點(－3，f(－3))處的切線為y－2＝－2(χ＋3)，即y＝－2χ－4．10、設f(χ)為偶函數(shù)，且f′(－1)＝2，則＝_______．標準答案：－8知識點解析：因為f(χ)為偶函數(shù)，所以f′(χ)為奇函數(shù)，于是f′(1)＝－2，11、設f(χ)在χ＝a處可導，則＝_______．標準答案：10f(a)f′(a)知識點解析：因為f(χ)在χ＝a處可導，所以f(χ)在χ＝a處連續(xù)，于是12、設f′(a)存在且不等于零，則＝_______．標準答案：知識點解析：13、設f(χ)為奇函數(shù)，且f′(1)＝2，則f(χ3)｜χ＝－1＝_______．標準答案：6知識點解析：因為f(χ)為奇函數(shù)，所以f′(χ)為偶函數(shù)，由f(χ3)＝3χ2f′(χ3)得f(χ3)＝｜χ＝－1＝3f′(－1)＝3f′(1)＝6．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)14、設f(χ)＝，求f(n)(χ)．標準答案：令f(χ)＝由A(2χ＋1)＋B(χ－2)＝4χ－3得，解得A＝1，B＝2，即f(χ)＝故f(n)(χ)＝知識點解析：暫無解析15、設f(χ)＝∫01｜χ－y｜sindy(0＜χ＜1)，求f〞(χ)．標準答案：則f′(χ)＝知識點解析：暫無解析16、設f(χ)連續(xù)，且對任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有f(χ＋y)＝f(χ)＋(y)＋2χy，f′(0)＝1，求f(χ)．標準答案：當χ＝y(tǒng)＝0時，f(0)＝2f(0)，于是f(0)＝0．對任意的χ∈(－∞，＋∞)，則f(χ)＝χ2＋χ＋C，因為f(0)＝0，所以C＝0，故f(χ)＝χ＋χ2．知識點解析：暫無解析17、設f(χ)＝討論函數(shù)f(χ)在χ＝0處的可導性．標準答案：因為0≤｜f(χ)｜＝｜χ｜.≤｜χ｜得f(χ)＝0＝f(0)，故f(χ)在χ＝0處連續(xù)．由＝1得f′－＝(0)＝1，再由∞0得f′+(0)＝0，因為f′－(0)≠f′+(0)，所以f(χ)在χ＝0處不可導．知識點解析：暫無解析18、設f(χ)二階連續(xù)可導，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(0)≠0，設u(χ)為曲線y＝f(χ)在點(χ，f(χ))處的切線在z軸上的截距，求．標準答案：曲線y＝f(χ)在點(χ，f(χ))的切線為Y－f(χ)＝f′(χ)(X－χ)，令Y＝0，則u(χ)＝X＝χ－，則知識點解析：暫無解析19、設f(χ)在χ＝a處二階可導，證明＝f〞(a)．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設f(χ)連續(xù)，f(0)＝0，f′(0)＝1，求[∫-aaf(χ＋a)dχ－∫-aaf(χ－a)dχ]．標準答案：∫－aaf(χ＋a)dχ－∫－aaf(χ－a)dχ＝∫－aaf(χ＋a)d(χ＋A)－∫－aaf(χ－a)d(χ－a)＝∫02af(χ)dχ－∫－2a0f(χ)dχ＝∫02a(χ)dχ＋∫0-2af(χ)dχ，又由ln(1＋a)＝a－＋o(a2)得a→0時a－ln(1＋a)～，于是知識點解析：暫無解析21、設，求．標準答案：方程兩邊對χ求導數(shù)得知識點解析：暫無解析22、設f(χ)連續(xù)，且g(χ)＝∫0χχ2(χ－t)dt，求g′(χ)．標準答案：g(χ)＝－χ2∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－χ2∫χ0f(u)du＝χ2∫0χf(u)du，g′(χ)＝2χ∫0χf(u)du＋χ2f(χ)．知識點解析：暫無解析23、證明：連續(xù)函數(shù)取絕對值后函數(shù)仍保持連續(xù)性，舉例說明可導函數(shù)取絕對值不一定保持可導性．標準答案：設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，令g(χ)＝｜f(χ)｜，對任意的χ0∈[a，b]，有0≤｜g(χ)－g(χ0)｜＝｜｜f(χ)｜－｜f(χ0)｜｜≤｜f(χ)－f(χ0)｜，因為f(χ)在[a，b]上連續(xù)，所以f(χ)＝f(χ0)，由迫斂定理得｜f(χ)｜＝｜f(χ0)｜，即｜f(χ)｜在χ＝χ0處連續(xù)，由χ0的任意性得｜f(χ)｜在[a，b]上連續(xù)．設f(χ)＝χ，則f(χ)在χ＝0處可導，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝0處不可導．知識點解析：暫無解析24、舉例說明函數(shù)可導不一定連續(xù)可導．標準答案：令f(χ)＝當χ≠0時，f′(χ)＝，當χ＝0時，f′(0)＝＝0，即因為f′(χ)不存在，而f′(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0處可導，但f′(χ)在χ＝0處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析25、設f(χ)在[a，b]上有定義，M＞0且對任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k．(1)證明：當k＞0時，f(χ)在[a，b]上連續(xù)；(2)證明：當k＞1時，f(χ)≡常數(shù)．標準答案：(1)對任意的χ∈0[a，b]，由已知條件得0≤｜f(χ)－f(χ0)｜≤M｜χ－χ0｜k，f(χ)＝f(χ0)，再由χ0的任意性得f(χ)在[a，b]上連續(xù)．(2)對任意的χ0∈[a，b]，因為k＞1，所以0≤＜M｜χ－χ0｜k-1由夾逼定理得f′(χ0)＝0，因為χ0是任意一點，所以f′(χ)≡0，故f(χ)≡常數(shù)．知識點解析：暫無解析26、設f(χ)＝處處可導，確定常數(shù)a，b，并求f′(χ)．標準答案：由f(χ)在χ＝0處連續(xù)，得b＝0．由f(χ)在χ＝0處可導，得a＝2，所以f(χ)＝則f′(χ)＝知識點解析：暫無解析27、設對一切的χ，有f(χ＋1)＝2f(χ)，且當χ∈[0，1]時f(χ)＝χ(χ2－1)，討論函數(shù)f(χ)在χ＝0處的可導性．標準答案：當χ∈[－1，0]時，f(χ)＝f(χ＋1)＝(χ＋1)(χ2＋2χ)，因為f′－(0)≠f′+(0)，所以f(χ)在χ＝0處不可導．知識點解析：暫無解析28、設f(χ)＝求f′(χ)并討論其連續(xù)性．標準答案：當χ＞0時，f′(χ)＝，當χ＜0時，f′(χ)＝cosχ，由f′－(0)＝＝1，f′+(0)＝＝1得f′(0)＝1，則容易驗證＝1＝f′(0)，所以f′(χ)連續(xù)．知識點解析：暫無解析29、設＝∫0χcos(χ－t)2dt確定y為χ的函數(shù)，求．標準答案：∫0χcos(χ－t)2dt∫χ0cosu2(－du)＝∫0χcost2dt，等式＝∫0χcost2dt兩邊對χ求導，得＝cosχ2，于是知識點解析：暫無解析30、設f(χ)二階可導，f(0)＝0，令g(χ)＝(1)求g′(χ)；(2)討論g′(χ)在χ＝0處的連續(xù)性．標準答案：(1)因為＝f′(0)＝g(0)，所以g(χ)在χ＝0處連續(xù)．當χ≠0時，g′(χ)＝；當χ＝0時，由得g′(0)＝f〞(0)，即(2)由題意得：所以g′(χ)在χ＝0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析31、設f(χ)＝求f′(χ)．標準答案：當｜χ｜＜1時，f′(χ)＝；當χ＜－1時，f′(χ)＝－1；當χ＞1時，f′(χ)＝1；又＝2，＝0，則f(χ)在χ＝－1處不連續(xù)，故也不可導．由f(1＋0)＝f(1－0)＝f(1)＝得f(χ)在χ＝1處連續(xù)．因為所以f(χ)在χ＝1處也不可導，故f′(χ)＝知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、函數(shù)y=xx在區(qū)間上()A、不存在最大值和最小值B、最大值是C、最大值是D、最小值是標準答案：D知識點解析：y’=xx(Inx+1)，令y’=0，得當時，y’＞0，函數(shù)單調(diào)增加，故選(D)．2、設函數(shù)則()A、在其有定義的任何區(qū)間(x1，x2)內(nèi)，f(x)必是單調(diào)減少的B、在點x1及x2處有定義，且當x1＜x2時，必有f(x1)＞f(x2)C、在其有定義的任何區(qū)間(x1，x2)內(nèi)，f(x)必是單調(diào)增加的D、在點x1及x2處有定義，且當x1＜x2時，必有f(x1)＜f(x2)標準答案：A知識點解析：f(x)的定義域是(一0(3，3)∪(3，+∞)，其導數(shù)則f(x)在區(qū)間(一∞，3)及(3，+∞)上均是單調(diào)減少的，(B)，(D)可舉反例，設x一2，x一4可排除(B)，設x一4，x一5可排除(D)．3、設函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且則()A、f(0)=0且f’-(0)存在B、f(0)=1且f’-(0)存在C、f(=)=0且f’+(0)存在D、f(0)=1且f’+(0)存在標準答案：C知識點解析：因為f(x)在x一0處連續(xù)，且所以f(0)=0．從而有4、設f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導，且對任意x1，x2，當x1＞x2時，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對任意x，f’(x)＞0B、對任意x，f’(一x)≤0C、函數(shù)f(一x)單調(diào)增加D、函數(shù)一f(一x)單調(diào)增加標準答案：D知識點解析：根據(jù)單調(diào)性的定義直接可以得出D項正確．5、若f(x)在點x0處可導，則|f(x)|在點x0處()A、必可導B、連續(xù)，但不一定可導C、一定不可導D、不連續(xù)標準答案：B知識點解析：若取f(x)=x在x=0處可導，但|f(x)|=|x|在x=0處不可導，排除(A)．若取f(x)=x2在x=0處可導，則|f(x)|=|x2|在x=0處也可導，排除(C)，(D)．故選(B)．6、設函數(shù)則f(x)在點x=0處()A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可導D、可導標準答案：C知識點解析：不存在，故f’(0)不存在．7、設其中f(x)在x=0處可導，f’(0)≠0，f(0)=0，則x=0是F(x)的()A、連續(xù)點B、第一類間斷點C、第二類間斷點D、連續(xù)點或間斷點不能由此確定標準答案：B知識點解析：F(0)=f(0)=0，二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、曲線的斜漸近線為_____________．標準答案：y=2x+1知識點解析：所以斜漸近線為y=2x+1．9、若則f’(t)=_________．標準答案：(2t+1)e2t知識點解析：故f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t．10、設函數(shù)且1+bx＞0，則當f(x)在x=0處可導時，f’(0)=____________.標準答案：知識點解析：由于f(x)在x=0處可導，則在該點處連續(xù)，利用洛必達法則，所以b=f(0)=一1，再由導數(shù)的定義及洛必達法則，有11、若函數(shù)在處取得極值，則a=__________．標準答案：2知識點解析：f’(x)=acosx+cos3x，因為極值點，則a=2．這時f"(x)=-2sinx-3sin3x，故為極大值點．12、已知a，b＞e，則不等式成立的條件是_________．標準答案：e＜a＜b知識點解析：令則由得x=e．當x＞e時，f’(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，因此有e＜a＜b．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、用導數(shù)定義證明：可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)，而可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)．標準答案：由f(一x)=f(x)，而故f’(x)為奇函數(shù)．由f(一x)=一f(x)，而故f’(x)為偶函數(shù)．知識點解析：暫無解析14、用導數(shù)定義證明：可導的周期函數(shù)的導函數(shù)仍是周期函數(shù)，且其周期不變．標準答案：設f(x)的周期為T，即f(x+T)=f(x)，而所以f’(x)仍是周期為T的周期函數(shù)．知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)的導數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設y=y(x)是由確定的隱函數(shù)，求y’(0)和y"(0)的值．標準答案：在方程中令x=0可得將方程兩邊對x求導，得將x=0，y(0)=e2代入式①，有即y’(0)=e—e4．將式①兩邊再對x求導數(shù)，得將x=0，y(0)=e2和y’(0)=e—e4代入式②，有故y"(0)=e3(3e3一4)．知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)f(x)在=2的某鄰域內(nèi)可導，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，求f(n)(2)．標準答案：由f’(x)=ef(x)兩邊對x求導，得f"(x)=ef(x)f’(x)=e2f(x)，兩邊再對x求導，得f’"(x)=e2f(x)2f’(x)=2e3f(x)，兩邊再對x求導，得f(4)(x)=2e3f(x)3f’(x)=3!e4f(x)，由以上規(guī)律可得n階導數(shù)f(n)(x)=(n一1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n一1)!en．知識點解析：暫無解析18、設a，b，c是三個互不相等的常數(shù)，求y(n)．標準答案：運用高階導數(shù)公式，得知識點解析：暫無解析19、曲線的切線與x軸和y軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標為a，求切線方程和這個圖形的面積．當切點沿曲線趨于無窮遠時，該面積的變化趨勢如何?標準答案：先求曲線在點處的切線方程．因為函數(shù)導數(shù)為所以切線斜率切線方程為切線與x軸，y軸的交點坐標分別為A(3a，0)，于是△AOB的面積為當切點沿x軸正向趨于無窮遠時，有當切點沿y軸正向趨于無窮遠時，有知識點解析：暫無解析20、設又函數(shù)f(x)可導，求F(x)=f[φ(x)]的導數(shù)．標準答案：當x≠1時，用復合函數(shù)求導法則求導得當x=0時(分段點)，因φ(0)=0，又f(x)在x=0處可導，于是根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有F’(0)=f’(0)．φ’(0)=0，所以知識點解析：暫無解析設fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．21、證明方程fn(x)=1在[0，+∞)上有唯一實根xn；標準答案：fn(x)連續(xù)，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理可得，存在xn∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0時，f’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，故fn(x)嚴格單調(diào)遞增，因此xn是fn(x)一1在[0，+∞)內(nèi)的唯一實根．知識點解析：暫無解析22、標準答案：由(1)可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以{xn}有界．又因為fn(xn)一1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以xn+xn2+…+xnnxn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1，即(xn+xn2+…+xnn)一(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1＞0，因此xn＞xn+1(n=2，3，…)，即{xn}嚴格單調(diào)遞減．于是由單調(diào)有界準則知存在，記由xn+xn2+…+xnn=1得因為0＜xn＜1，所以于是解得即知識點解析：暫無解析設fn(x)=1一(1一cosx)n，求證：23、對于任意正整數(shù)n，中僅有一根；標準答案：因為fn(x)連續(xù)，又fn(0)=1，所以由介值定理知存在使得又因為f’n(x)=一n(1一cosx)n-1sinx＜0，所以fn(x)在內(nèi)嚴格單調(diào)遞減．因此，滿足方程的根ξ是唯一的，即在中僅有一根．知識點解析：暫無解析24、設有滿足則標準答案：因為所以由保號性知，存在N＞0，當n＞N時，有由fn(x)的單調(diào)遞減性質(zhì)知由夾逼準則知知識點解析：暫無解析25、在數(shù)中求出最大值．標準答案：先考查連續(xù)函數(shù)令得x=e，且有當x＜e時，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當x＞e時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．所以f(e)為f(x)的最大值，而2＜e＜3，于是所求的最大值必在中取到，又因為所以即最大值為知識點解析：暫無解析26、證明：方程xα=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且僅有一個實根．標準答案：令f(x)=lnx-xα(α＞0)，則f(x)在(0，+∞)上4連續(xù)，f(1)=-1＜0，故對任意M＞0，存在X＞1，當x＞X時，有f(x)＞M＞0．任取x0＞X，則f(1)f(x0)＜0，根據(jù)零點定理知，存在ξ∈(1，x0)，使得f(ξ)=0，即方程xα=lnx在(0，+∞)上至少有一實根．又lnx在(0，+∞)上單調(diào)遞增，因α＜0，一xα也單調(diào)遞增，從而f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一個實根，即方程xα=lnx在(0，+∞)上只有一個實根．知識點解析：暫無解析27、設0＜k＜1，f(x)=kx—arctanx．證明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零點，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．標準答案：令則而所以f(x)在處取極小值，因f(0)=0，則又由f(x)的連續(xù)性，知在中有一個零點x0，另外f(0)=0，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故這樣的零點是唯一的．知識點解析：暫無解析28、f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，證明：f[f(x)]至少在兩點處取得最小值．標準答案：令F(x)=f(x)一x0，則F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且由知存在a＜x0，使得F(a)＞0；存在b＞x0，使得F(b)＞0，于是由零點定理知存在x1∈(a，x0)，使得F(x1)=0；存在x2∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，從而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]，即f[f(x)]至少在兩點處取得最小值．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、方程3x=2x2+1的實根個數(shù)是()A、3B、4C、5D、6標準答案：A知識點解析：由觀察法知x=0，1和2均滿足方程，因此實根個數(shù)不小于3．又設f(x)=3x一2x2一1．則f(x)=3x(ln3)3＞0．因此f’"(x)=0無實根，故由羅爾定理可知f(x)=0至多有3個實根，故選(A)．2、設f(x)有連續(xù)的導數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，且當x→0時，F(xiàn)’(x)與xk是同階無窮小，則k等于()A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：用洛必達法則，所以k=3，選(C)．其中②洛必達法則的使用邏輯是“右推左”，即右邊存在(或為無窮大)，則左邊存在(或為無窮大)，本題邏輯上好像是在“左推右”，事實上不是，因為存在，即最右邊的結(jié)果存在，所以洛必達法則成立．3、設g(x)在x=0處二階可導，且g(0)=g’(0)=0，設則f(x)在x=0處()A、不連續(xù)B、連續(xù)，但不可導C、可導，但導函數(shù)不連續(xù)D、可導且導函數(shù)連續(xù)標準答案：D知識點解析：因所以f(x)在x=0處連續(xù)．又根據(jù)導數(shù)定義當x≠0時，則所以f(x)的導函數(shù)在x=0處連續(xù)．4、曲線的漸近線有()A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：B知識點解析：曲線y=f(x)有水平漸近線曲線y=f(x)有鉛直漸近線x=0．曲線y=f(x)無斜漸近線．5、設函數(shù)f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n為正整數(shù)，則f’(0)=()A、(一1)n-1(n—1)!B、(一1)n(n一1)!C、(一1)n-1n!D、(一1)nn!標準答案：A知識點解析：方法一用導數(shù)定義．方法二用乘積的求導法則．含因子ex一1的項在x=0處為0，故只留下了一項．于是6、設函數(shù)y=f(x)連續(xù)，除x=a外f"(x)均存在，一階導函數(shù)y’=f’(x)的圖形如圖1．2—2所示，則y=f(x)()A、有兩個極大值點，一個極小值點，一個拐點B、有一個極大值點，一個極小值點，兩個拐點C、有一個極大值點，一個極小值點，一個拐點D、有一個極大值點，兩個極小值點，兩個拐點標準答案：D知識點解析：如圖1．2—3所示，添x1，x2，x3，x4，在x=x1處y’=0，左側(cè)y’＜0，右側(cè)y’＞0．故x=x1為極小值點．在x=x2處(y’)’=0，左側(cè)(y’)’＞0，右側(cè)(y’)’＜0，所以點(x2，f(x2))是曲線y=f(x)的拐點．類似地可知x=x3是極大值點，x=x4又是拐點，又是極小值點．故其有2個極小值點，1個極大值點，2個拐點，選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、設f(x)在x=0處連續(xù)，且則曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為___________．標準答案：知識點解析：方法一由極限與無窮小的關(guān)系，有其中于是因所以由于f(x)在x=0處連續(xù)，所以所以曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y一f(0)=f’(0)(x一0)，即方法二將sinx按皮亞諾余項泰勒公式展至n=3，有代入原極限式，有可見即有于是以下與方法一相同．8、設y=y(x)由方程確定，則曲線y=y(x)上x=0對應的點處的曲率半徑R=__________．標準答案：知識點解析：由知，當x=0時，推知y(0)=0．將所給方程兩邊對x求導得2x=e-(y-x)2(y’一1)，以x=0，y(0)=0代入，得y’(0)=1．兩邊再次對x求導得2=e-(y-x)2[y"一2(y—x)(y’一1)2]．以x=0，y(0)=0，y’(0)=1代入，得y"(0)=2．所以所求曲率曲率半徑9、設函數(shù)y=y(x)由方程x2一xy+y2=1所確定，則標準答案：知識點解析：由x2一xy+y2=1，有2x—xy’一y+2yy’=0，則10、設y=y(x)是由所確定的函數(shù)，則標準答案：知識點解析：將t=0代入，得x=3，y=1，得三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、求函數(shù)f(x)=nx(1一x)n在[0，1]上的最大值M(n)及標準答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1一n)n-1，f"(x)=n2[(n+1)x一2](1一x)n-2．令f’(x)=0，得駐點且有則為f(x)的極大值點，且極大值將它與邊界點函數(shù)值f(0)=0，f(1)=0，比較得f(x)在[0，1]上的最大值且有知識點解析：暫無解析12、在區(qū)間[0，a]上|f"(x)|≤M，且f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值．證明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．標準答案：f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值，不妨設f’(c)=0．f’(x)在區(qū)間[0，c]與[c，a]上分別使用拉格朗日中值定理，得f’(c)一f’(0)=cf"(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f’(a)一f’(c)=(a一c)f"(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以|f’(0)|+|f’(a)|=c|f"(ξ)|+(a-c)|f"(ξ2)|≤cM+(a一c)M=aM．知識點解析：暫無解析13、設f(x)在閉區(qū)間[1，2]上可導，證明：存在ξ∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．標準答案：把所證等式中的ξ改為x，得xf’(x)一f(x)=f(2)一2f(1)，兩邊同時除以x2，得即令F(x)在[1，2]上連續(xù)，(1，2)內(nèi)可導，且F(2)=F(1)=f(2)一f(1)．由羅爾定理知，存在ξ∈(1，2)，使F’(ξ)=0，即f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．知識點解析：暫無解析14、f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f’(x)≠0．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標準答案：因為兩式相比，得即知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[a，b]上二階可導，且f’(a)=f’(b)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使標準答案：利用泰勒公式將f(x)在x=a處展開，得同理令②一①得得令|f"(ξ)|=max{|f"(ξ1)|，|f"(ξ2)|}，則故原命題得證．知識點解析：暫無解析16、設f(x)=arcsinx，ξ為f(x)在閉區(qū)間[0，t]上拉格朗日中值定理的中值點，0＜t＜1，求極限標準答案：因f(x)=arcsinx在[0，t]上連續(xù)，在(0，t)內(nèi)可導，對它用拉格朗日中值定理，得由此解得并令μ=arcsint有知識點解析：暫無解析17、若函數(shù)φ(x)及ψ(x)是n階可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0時，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)．試證：當x＞x0時，φ(x)＞ψ(x)．標準答案：令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)一ψ(n-1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)=u(n)(ξ)．(x一x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即當x＞x0時，φ(n-1)(x)＞ψ(n-1)(x)．同理可證u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)一ψ(n-2)(x)＞0．歸納有u(n-3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，當x＞x0時，φ(x)＞ψ(x)．知識點解析：暫無解析18、設k是常數(shù)，討論f(x)=(1—2x)xx+x+k的零點的個數(shù)．標準答案：依題意有，f’(x)=一(1+2x)ex+1．易見f’(0)=0．當x＜0時，f’(x)=(1一ex)一2xex＞0，f(x)嚴格單增；當x＞0時，f’(x)=-2xex一(ex一1)＜0，f(x)嚴格單減．所以f(0)為f(x)的最大值，又因，所以當1+k＞0即k＞一1時，f(x)有且僅有兩個(實)零點；當k=一1時，f(x)有且僅有一個(實)零點；當k＜一1時，f(x)無(實)零點．知識點解析：暫無解析設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導．試證明：19、拉格朗日微分中值定理：至少存在一點ξ∈(a，b)使標準答案：作函數(shù)易見，φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，φ(a)=0，φ(b)=0，由羅爾定理知，至少存在一點ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即證畢．知識點解析：暫無解析20、若再添設f(x)不是一次式也不為常函數(shù)的條件，則至少存在一點ξ∈(a，b)使標準答案：作φ(x)如上，并且不妨設f(b)一f(a)≥0．易知φ(a)=φ(b)=0，因f(x)不是一次式也不為常函數(shù)，故至少存在一點x1∈(a，b)使或至少存在一點x2∈(a，b)使若為前者，在區(qū)間[a，x1]上對φ(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，x1)(a，b)，使即從而知存在ξ1∈(a，b)使若為后者，在區(qū)間[x2，b]上對φ(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ2∈(x2，b)(a，6)，使不論哪種情形皆有若f(b)一f(a)＜0，證明類似．知識點解析：暫無解析21、設k是常數(shù)，討論函數(shù)f(x)=(2x一3)ln(2一x)一x+k在它的定義域內(nèi)的零點個數(shù)．標準答案：f(x)的定義域為一∞＜x＜2，且可見f’(1)=0，且當一∞＜x＜1時，f’(x)＞0；當1＜x＜2時，f’(x)＜0．所以f(1)=k一1為最大值．故當k＜1時，f(x)無零點；當k=1時，f(x)有唯一零點=1；當k＞1時，f(1)＞0，且但從而知在區(qū)間(一∞，1)與(1，2)內(nèi)f(x)分別恰有唯一零點．知識點解析：暫無解析22、設一∞＜x＜+∞，y＞0．證明xy≤ex-1+ylny，并指出何時等號成立．標準答案：由于y＞0，令f(x)=xy—ex-1-ylny，一∞＜x＜+∞，有f(x)=y一ex-1．令f’(x)=0，得唯一駐點x0=1+lny．又f"(x)=一ex-1＜0，所以f(x0)=y(1+lny)-y--ylny=0為f(x)的最大值，所以xy—ex-1一ylny≤0，當且僅當x=1+lny時等號成立．證畢．知識點解析：暫無解析23、已知矩形的周長為2p，將它繞其中一邊旋轉(zhuǎn)一周而構(gòu)成一旋轉(zhuǎn)體(圓柱體)，求該圓柱體體積最大時的半徑與高．標準答案：設該旋轉(zhuǎn)體的半徑為x，高為y，則x+y=p．該圓柱體體積V=πyx2．方法一化成一元函數(shù)極值問題．V=πyx2=π(p一x)x2=πpx2一πx3，0＜x＜p．V’=2πpx一3πx2，V"=2πp一6πx．令V’=0，得所以當半徑時，體積V為極大值，且是唯一駐點，故當時V最大．方法二用拉格朗日乘數(shù)法，令F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y一p)，由有2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y一p=0．容易解得唯一解由于存在最大值，故當半徑為高為時，該旋轉(zhuǎn)體體積最大．知識點解析：暫無解析24、設f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在二階導數(shù)，且f(0)=f(1)．證明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．標準答案：由f(0)=f(1)知，存在η∈(0，1)使f’(η)=0．令F(x)=x2f’(x)，有F(0)=0，F(xiàn)(η)=η2f’(η)=0，故知存在ξ∈(0，η)(0，1)使F’(ξ)=0．而F’(x)=2xf’(x)+x2f"(x)，于是有2ξf’(ξ)+ξ2f"(ξ)=0．又ξ≠0，所以2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．證畢．知識點解析：暫無解析設f(x)在區(qū)間(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且當x(1+x)≠0時，25、求f(0)與f(一1)的值；標準答案：由題設f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，所以知識點解析：暫無解析26、討論f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值．標準答案：考慮f(x)的單調(diào)性．當x≠一1且x≠0時，有令g(x)=(1+x)ln2|1+x|—x2，有g(shù)(0)=0，并且可得g’(x)=2ln|1+x|+ln2|1+x|一2x，有g(shù)’(0)=0，由泰勒公式，有又g(0)=0．所以當x＞一1且x≠0時f’(x)＜0．又因f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(x)在區(qū)間(一1，+∞)內(nèi)嚴格單調(diào)減少．此外，由f’(x)的表達式直接可知，當x＜一1時，分子小于0，分母亦小于0，所以f’(x)＞0．從而知f(x)在區(qū)間(一∞，一1)內(nèi)嚴格單調(diào)增加．所以f(一1)=1是f(x)的極大值，也是唯一的極值．知識點解析：暫無解析27、設x＜1且x≠0，證明：標準答案：因又當0＜x＜1時，xln(1一x)＜0；當x＜0時，仍有xln(1-x)＜0．于是證等價于證明，當x＜1且x≠0時，ln(1一x)+x—xln(1一x)＞0．令f(x)=ln(1-x)+x—xln(1-x)，有f(0)=0，且因f’(0)=0，f"(0)=1＞0，所以f(0)=0是f(x)的唯一極小值，是最小值，所以當x＜1時，f(x)≥0，當且僅當x=0時，f(x)=0．證畢．知識點解析：暫無解析28、設f(x)在=0處連續(xù)且求f(0)并討論f(x)在x=0處是否可導?若可導，請求出f’(0)．標準答案：因題設所以其中從而f(x)=ln(ax+cosx--sinx)．因為f(x)在=0處連續(xù)，所以所以f’(0)=一1．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設函數(shù)，則f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)()A、處處可導。B、恰有一個不可導點。C、恰有兩個不可導點。D、至少有三個不可導點。標準答案：C知識點解析：本題可以先求出f(x)的表達式，再討論其不可導點。｜x｜＜1時，f(x)==1；｜x｜=1時，f(x)==1；｜x｜＞1時，f(x)==｜x｜3。即f(x)的表達式為可見f(x)僅在x=±1兩點處不可導。故選C。2、設函數(shù)則f(x)在x=0處()A、極限不存在。B、極限存在但不連續(xù)。C、連續(xù)但不可導。D、可導。標準答案：C知識點解析：顯然f(0)=0，對于極限由于當x→0時，是無窮小量，為有界變量，故由無窮小量的運算性質(zhì)可知，因此f(x)在x=0處連續(xù)，排除A、B。又因為不存在，所以f(x)在x=0處不可導。故選C。3、設f(x)在[a，b]可導，則()A、f’+(a)=0。B、f’+(a)≥0。C、f’+(a)<0。D、f’+(a)≤0。標準答案：D知識點解析：由f(x)在[a，b]上可導可知，f’+(a)=。顯然，x一a＞0，又f(a)=，故f(x)一f(a)≤0，從而有再由極限的局部保號性可知，即f’+(a)≤0。故選D。4、設則()A、f(x)在x=x0處必可導，且f’(x0)=a。B、f(x)在x=x0處連續(xù)，但未必可導。C、f(x)在x=x0處有極限，但未必連續(xù)。D、以上結(jié)論都不對。標準答案：D知識點解析：本題需將f(x)在x=x0處的左、右導數(shù)f’—(x0)和f’+(x0)與f’(x)在x=x0處的左、右極限和區(qū)分開。只能得出，但不能保證f(x)在x0處可導，以及在x0處連續(xù)和極限存在。例如顯然，x≠0時，f’(x)=1，因此但是，因此不存在，所以f(x)在x=0處不連續(xù)，不可導。故選D。5、設g(x)可微，h(x)=esin2x+g(x)，則=()A、一ln2—1。B、ln2—1。C、一ln2—2。D、ln2—2。標準答案：A知識點解析：h’(x)=esin2x+g(x)·[2cos2x+g’(x)]，則即，故。故選A。6、已知函數(shù)f(x)具有任意階導數(shù)，且f’(x)=f2(x)，則當n為大于2的正整數(shù)時，f(x)的n階導數(shù)是()A、n![f(x)]n+1。B、n[f(x)]n+1。C、[f(x)]n。D、n![f(x)]2n。標準答案：A知識點解析：由f’(x)=f2(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2![f(x)]3。假設f(k)(x)=k![f(x)]k+1，則f(k+1)(x)=(k+1)k![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2，由數(shù)學歸納法可知，f(n)(x)=n![f(x)]n+1對一切正整數(shù)成立。故選A。7、設f(x)為可導函數(shù)，且滿足條件則曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為()A、2。B、一1。C、D、一2。標準答案：D知識點解析：將題中等式兩端同乘2，得所以由導數(shù)定義可知，f’(1)=一2。故選D。8、設f(x)在(0，+∞)二階可導，且滿足f(0)=0，f’’(x)＜0(x＞0)，又設b＞a＞0，則a＜x＜b時恒有()A、af(x)＞xf(a)。B、bf(x)＞xf(b)。C、xf(x)＞bf(b)。D、xf(x)＞af(a)。標準答案：B知識點解析：將選項A、B分別改寫成于是，若能證明或xf(x)的單調(diào)性即可。令g(x)=xf’(x)—f(x)，則g(0)=0，g’(x)=xf’(x)＜0(x＞0)，因此g(x)＜0(x＞0)，所以有故在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)減小。因此當a＜x＜b時，。故選B。9、設f(x)=｜x(1一x)｜，則()A、x=0是f(x)的極值點，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點。B、x=0不是f(x)的極值點，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點。C、x=0是f(x)的極值點，(0，0)是曲線y=f(x)的拐點。D、x=0不是f(x)的極值點，(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點。標準答案：C知識點解析：一般情況下，討論分段函數(shù)的極值點和拐點，主要考慮分段點處。因此，本題只需討論x=0兩邊f(xié)’(x)，f’’(x)的符號?？梢赃x擇區(qū)間(一1，1)來討論。可見f’(x)在x=0兩邊異號，因此(0，0)是極值點；f’’(x)在x=0兩邊異號，所以(0，0)也是曲線的拐點。故選C。10、已知函數(shù)y=f(x)對一切的x滿足xf’’(x)+3x[f’(x)]2=1一e—x，若f’(x0)=0(x0≠0)，則()A、f(x0)是f(x)的極大值。B、f(x0)是f(x)的極小值。C、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點。D、f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點。標準答案：B知識點解析：由f’(x0)=0知，x=x0是y=f(x)的駐點。將x=x0代入方程，得x0f(x0)+3x0[f’(x0)]2=1一ex0，即得f’’(x0)=＞0(分x0＞0與x0＜0討論)，由極值的第二判定定理可知，f(x)在x0處取得極小值。故選B。11、設f(x)在[a，6]上可導，f’(a)f’(b)＜0，則至少存在一點x0∈(a，b)使()A、f(x0)＞f(a)。B、f(x0)＞f(b)。C、f’(x0)=0。D、f(x0)=[f(a)+f(b)]。標準答案：C知識點解析：根據(jù)題意，不妨設f’(a)＜0，f’(b)＞0。由可知，存在x=a的右鄰域x1∈時，f(x1)＜f(a)=>f(a)不是f(x)在[a，b]上最小值。同理可證f(b)也不是f(x)在[a，b]上最小值。所以f(x)在[a，b]上的最小值點x=x0∈(a，b)，由極值的必要條件知f’(x0)=0。故選C。二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)12、設函數(shù)則f’(x)=______。標準答案：知識點解析：當x≠0時，有當x=0時，有因此13、設函數(shù)y’=f[f(x)]，則=______。標準答案：4知識點解析：由已知而x＜1時，f’(x)=2，所以f’(一1)=