考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共255題）

考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共255題）考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(χ)的一個原函數(shù)為ln2χ，則∫χf′(χ)dχ＝_______．標準答案：2lnχ—ln2χ＋C知識點解析：由題意得f(χ)＝，則∫χf′(χ)dχ＝∫χdf(χ)＝χf(χ)－∫f(χ)dχ＝2lnχ－ln2χ＋C．2、已知F(χ)為函數(shù)f(χ)的一個原函數(shù)，且f(χ)＝，則f(χ)＝_______．標準答案：C(1＋)知識點解析：暫無解析3、設(shè)f′(sin2χ)＝cos2χ＋tan2χ，則f(χ)＝_______(0＜χ＜1)．標準答案：－χ2－ln(1－χ)＋C知識點解析：由f′(sin2χ)＝1－2sin2χ＋得f′(χ)＝1－2χ＋－2χ，則f(χ)＝－χ2－ln(1－χ)＋C．二、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)4、設(shè)f′(lnχ)＝1＋χ，且f(0)＝1，求f(χ)．標準答案：由f′(lnχ)＝1＋χ得f′(χ)＝1＋eχ，f(χ)＝χ＋eχ＋C，由f(0)＝1得C＝0，故f(χ)＝＝＋eχ．知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(χ)＝，且f(0)＝1，求f(χ)．標準答案：由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝≥＋1．知識點解析：暫無解析6、設(shè)f′(lnχ)＝又f(1)＝e，求f(χ)．標準答案：由f′(χ)連續(xù)得f(χ)連續(xù)，又由f(1－0)＝f(1)＝e＋C1，f(1＋0)＝e＋C2且f(1)＝e得C1＝C2＝0，故f(χ)＝知識點解析：暫無解析7、設(shè)χ＞0，可微函數(shù)y＝f(χ)與反函數(shù)χ＝g(y)滿足∫0f(χ)g(t)dt＝，求f(χ)．標準答案：兩邊求導(dǎo)得g[f(χ)]f′(χ)＝，即f′(χ)＝，于是f(χ)＝＋C．由f(4)＝0得C＝－2，故f(χ)＝－2．知識點解析：暫無解析8、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，＋∞)上可導(dǎo)，f(0)＝0，且其反函數(shù)為g(χ)．若∫0f(χ)g(t)dt＝χ2e2,求f(χ)．標準答案：∫0f(χ)g(t)dt＝χ2eχ兩邊求導(dǎo)得g[f(χ)]f′(χ)＝(χ2＋2χ)eχ，整理得f′(χ)＝(χ＋2)eχ，則f(χ)＝(χ＋1)eχ＋C，由f(0)＝0得C＝－1，故f(χ)＝(χ＋1)eχ－1．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)可微，且f(0)＝0，又f′(lnχ)＝求f(χ)的表達式．標準答案：由f(0)＝0得C1＝0，C2＝－2，故f(χ)＝知識點解析：暫無解析10、求標準答案：知識點解析：暫無解析11、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析12、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析13、求不定積分∫χ3dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析14、求不定積分∫sin4χcos3χdχ．標準答案：∫sin4χcos3χdχ＝∫sin4χ(1－sin2χ)d(sinχ)＝∫(sin4χ－sin6χ)d(sinχ)＝知識點解析：暫無解析15、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析16、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析17、求不定積分標準答案：令由A(2χ－1)＋B(χ＋1)＝χ－1得知識點解析：暫無解析18、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析19、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析20、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析21、求不定積分∫cos(lnχ)dχ．標準答案：I＝∫cos(lnχ)dχ∫etcostdt＝∫et(sint)＝etsint－∫etsintdt＝etsint＋∫etd(cost)＝etsint＋etcost－I，則∫cos(lnχ)dχ＝et(sint＋cost)＋C＝sin(lnχ)＋cos(lnχ)]＋C．知識點解析：暫無解析22、求標準答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(χ)滿足∫0χtf(χ－t)dt－1－cosχ，求f(χ)dχ．標準答案：由∫0χtf(χ－t)dtχ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du得χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du＝1－cosχ兩邊求導(dǎo)得∫0χf(u)du＝sinχ，故f(χ)dχ＝1．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)＝＋χ3∫01f(χ)dχ求∫01f(χ)dχ．標準答案：令∫01f(χ)dχ＝A，則f(χ)＝＋Aχ3，兩邊在[0，1]上積分得A＝，解得∫01f(χ)dχ＝．知識點解析：暫無解析25、已知f(χ)＝χ2－χ∫02f(χ)dχ＋2∫01f(χ)dχ，求f(χ)．標準答案：令∫02f(χ)dχ＝A，∫01f(χ)dχ＝B，則f(χ)＝χ2－Aχ＋2B，兩邊在[0，2]上積分得A＝∫02(χ2－Aχ＋2B)dχ＝－2A＋4B，即3A－4B＝；兩邊在[0，1]上積分得B＝＋2B，即3A－6B＝2，解得A＝，B＝，故f(χ)＝χ2－．知識點解析：暫無解析26、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析27、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=1，f’(0)=2，則下列曲線中與曲線y=f(x)必有公共切線的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：曲線y=f(x)在點(0，1)處切線為y=1+2z．選項(D)中函數(shù)記為y=F(x)．由F(0)=1，F(xiàn)’(0)=2f(0)=2，知曲線y=F(x)在點(0，1)處切線方程也為y=1+2x．故應(yīng)選(D)．2、由曲線與x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：3、拋物線y2=2z與直線y=x一4所圍成的圖形的面積為()A、B、18C、D、8標準答案：B知識點解析：選y為積分變量，如圖1．3—2所示，兩條曲線的交點坐標可由方程組解得，為所求面積4、曲線上相應(yīng)于x從3到8的一段弧的長度為()A、B、C、9D、6標準答案：A知識點解析：故弧長5、曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形的面積是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：當時，lnx≤0；當x∈[1，e]時，lnx≥0．所以面積二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、標準答案：2(e2+1)知識點解析：7、設(shè)f’(sin2x)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，則f(x)=_____________．標準答案：一ln(1一x)一x2+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：所以因此8、標準答案：sinx知識點解析：令x一t=u，9、曲線y=x2與直線y=x+2所圍成的平面圖形的面積為_________．標準答案：知識點解析：平面圖形面積10、拋物線y2=ax(a＞0)與x=1所圍面積為則a=____________．標準答案：1知識點解析：所圍面積所以a=1．11、由曲線y=x3，y=0及x=1所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為___________．標準答案：知識點解析：該旋轉(zhuǎn)體體積12、函數(shù)y=lnx在區(qū)間[1，e]上的平均值為____________．標準答案：知識點解析：平均值13、標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：14、標準答案：ln2(tanx)+C其中C為任意常數(shù)知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)15、設(shè)計算標準答案：設(shè)lnx=t，則x=et，所以知識點解析：暫無解析16、求標準答案：設(shè)x=tanu，則dx=sec2udu，所以知識點解析：暫無解析17、求標準答案：本題考查的知識點是不定積分的分部積分法，關(guān)鍵是選好u和dv．令u==ln(sinx)，則于是知識點解析：暫無解析18、計算標準答案：方法一設(shè)則所以方法二設(shè)令x=sect，則則知識點解析：暫無解析19、求積分：標準答案：本題考查定積分的性質(zhì)和定積分的計算，由于是對稱區(qū)間上的定積分，一般利用奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分性質(zhì)簡化計算，本題還用到了華里士公式．知識點解析：暫無解析20、求積分：標準答案：由于(x一lnx)’≠1一lnx，分子分母同時除以x2，則因知識點解析：暫無解析21、計算積分：其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．標準答案：因分段函數(shù)則由定積分的分段可加性得知識點解析：暫無解析22、計算積分：標準答案：因分段函數(shù)則由定積分的分段可加性得知識點解析：暫無解析23、求標準答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)求標準答案：令u=sin2x，則有當時，當時，因此有于是知識點解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)x=x(y)由方程x(y—x)2=y所確定，試求不定積分標準答案：令y—x=t，由題可得(y一t)t2=y，故從而有由得t3一3t=A(t3+t2一t一1)+B(t2+2t+1)+C(t3一t2一t+1)+D(t2—2t+1)=(A+C)t3+(A+B—C+D)t2+(一A+2B—C一2D)t—A+B+C+D．比較t的同次冪的系數(shù)得解出所以知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=0，其反函數(shù)為g(x)，若求f(x)．標準答案：令t—x=u，則dt=du，于是將等式兩邊對x求導(dǎo)，同時注意到g[f(x)]=x，于是有當x≠0時，有對上式兩端積分，得到可知由于f(x)在x=0處連續(xù)，又f(0)=0，解得C=0，于是f(x)=ln(1+x)+2xln(1+x)一x．知識點解析：暫無解析27、計算定積分標準答案：令1一x=sint，則知識點解析：暫無解析28、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析29、計算其中，當x≥0時，f(x)=x，且標準答案：方法一令x=u一t，則于是當時，有所以當時，有當時，有方法二令x—t=u，則當時，有當時，有知識點解析：暫無解析30、證明：標準答案：在上有：①2x一1＜0；②(1+x)(2一x)＞0；③故可知左式一右式＞0，于是原不等式成立．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、已知則在(一∞，+∞)內(nèi)，下列結(jié)論中正確的是()A、f(x)不連續(xù)且不可微，F(xiàn)(x)可微且為f(x)的一個原函數(shù)B、f(x)不連續(xù)，不存在原函數(shù)，因而F(x)不是f(x)的原函數(shù)C、f(x)和F(x)均為可微函數(shù)，且F(x)為f(x)的一個原函數(shù)D、f(x)連續(xù)，且F’(x)=f(x)標準答案：A知識點解析：可以驗證x=0為f(x)的第二類間斷點，因為故x=0為f(x)的第二類振蕩間斷點，可能存在原函數(shù)．通過計算，有故F(x)可微．容易證明F’(x)=f(x)，故(A)正確．2、設(shè)f(x)是以T為周期的可微函數(shù)，則下列函數(shù)中以T為周期的函數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：當g(x+T)=g(x)時，因為若則反之，若則因為f(x)是以T為周期的函數(shù)，且所以是以T為周期的函數(shù)，即(D)正確；(A)不正確，因為不一定有(B)，(C)顯然也不正確．3、設(shè)f(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，則()A、G(x)是以2為周期的周期函數(shù)，G’(x)也是以2為周期的周期函數(shù)B、G(x)是以2為周期的周期函數(shù)，G’(x)不是以2為周期的周期函數(shù)C、G(x)不是以2為周期的周期函數(shù)，G’(x)是以2為周期的周期函數(shù)D、G(x)不是以2為周期的周期函數(shù)，G’(x)也不是以2為周期的周期函數(shù)標準答案：A知識點解析：因為對任意的x，有所以G(x)也是以2為周期的周期函數(shù)．又顯然，G’(x)也是以2為周期的周期函數(shù)．故選擇(A)．4、設(shè)常數(shù)a＞0，積分則()A、I1＞I2B、I1＜I2C、I1=I2D、I1與I2的大小與α有關(guān)標準答案：A知識點解析：當時，cosx＞sinx，所以I1一I2＞0．故應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)5、標準答案：知識點解析：6、標準答案：π知識點解析：7、標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：8、設(shè)f(x)連續(xù)，且為常數(shù)，則標準答案：a知識點解析：f(x)是抽象函數(shù)，不能具體地計算積分，要用積分中值定理．然后再計算極限．所以9、設(shè)兩曲線y=f(x)與在點(0，0)處有相同的切線，則標準答案：2知識點解析：由已知條件知f(0)=0，故得10、設(shè)n是正整數(shù)，則標準答案：知識點解析：由得故11、標準答案：知識點解析：則12、位于x軸上區(qū)間[一a，a]內(nèi)質(zhì)量為m的均勻細棒對位于y軸上點(0，一a)處質(zhì)量為m0的質(zhì)點的引力為___________．標準答案：k為引力系數(shù)知識點解析：對于任意[x，x+dx][一a，a]，將此小區(qū)間看作質(zhì)點，其質(zhì)量元素為對應(yīng)的引力元素為其中k為引力系數(shù)．由對稱性可知，其在x軸上的分力被對稱于y軸的小區(qū)間上分力所抵消，而所以13、設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)上連續(xù)且對任意正值a與b，積分的值與a無關(guān)，且f(1)=1，則f(x)=______________．標準答案：知識點解析：由與a無關(guān)，所以即f(ab)b一f(a)≡0．上式對任意a成立，所以令a=1亦應(yīng)成立，有f(b)b一f(1)=0，即有可以驗算，與a無關(guān)．14、標準答案：為任意常數(shù)知識點解析：C為任意常數(shù)．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、設(shè)函數(shù)f’(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(a)=0，試證明：標準答案：因為而所以知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)，g(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．證明：對任何a∈[0，1]，有標準答案：令則F’(a)=g(a)f’(a)一f’(a)g(1)=f’(a)[g(a)一g(1)]．因為x∈[0，1]時，f’(x)≥0，g’(x)≥0，即函數(shù)f(x)，g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，又a≤1，所以F’(a)=f’(a)[g(a)一g(1)]≤0，即函數(shù)F(a)在[0，1]上單調(diào)遞減，又所以F(a)≥F(1)=0，即即知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且g(x)＞0，證明：存在一點ξ∈[a，b]，使標準答案：因f(x)在[a，b]上連續(xù)，故m≤f(x)≤M．因為g(x)＞0，所以mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，故從而由介值定理得，存在ξ∈[a，b]，使得知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在區(qū)間[一a，a](a＞0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0．18、寫出f(x)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；標準答案：對任意x∈[-a，a]，有知識點解析：暫無解析19、證明：在[一a，a]上存在η，使標準答案：由上題易得因為f"(x)在[一a，a]上連續(xù)，故m≤f"(x)≤M，x∈[-a，a]．故mx2≤f"(ξ)x2≤Mx2，由介值定理知，存在η∈[一a，a]，使得知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且試證：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．標準答案：令且有由此可知f(c)≠0，否則f(1)=0，與題設(shè)f(0)f(1)＞0矛盾，不妨設(shè)f?＞0，則f(1)＜0，f(0)＜0．由連續(xù)函數(shù)的零點定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由羅爾定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即由得f’(ξ)=ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析21、f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．標準答案：令F(x)=xe-xf(x)，則由中值定理得F(1)=e-1f(1)=ηe-ηf(η)=F(η)，故在[η，1][0，1]上，對F(x)運用羅爾定理，可得存在ξ∈(η，1)(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．知識點解析：暫無解析22、鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊第一次時，將鐵釘擊入木板1cm如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等，問鐵錘擊第二次時，鐵釘又擊入多少?標準答案：由題設(shè)知阻力f=kx(其中k為比例系數(shù))，設(shè)第二次錘擊時擊入了Lcm，則第一次錘擊時所做的功第二次錘擊時所做的功因W1=W2，故有L2+2L=1，解方程得舍去負值，則得知識點解析：暫無解析23、設(shè)一錐形貯水池，深15m，口徑20m，盛滿水，今以吸筒將水吸盡，問做多少功?標準答案：如圖1．3—3所示建立坐標系，取x為積分變量，[0，15]為積分區(qū)間，由圖上數(shù)據(jù)可知由此可知錐型貯水池在x處截面半徑為區(qū)間[x，x+dx]上所對應(yīng)之體積元素做功元素故所做功為知識點解析：暫無解析24、設(shè)有一半徑為R，中心角為φ的圓弧形細棒，其線密度為常數(shù)ρ，在圓心處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M，試求這細棒對質(zhì)點M的引力．標準答案：如圖1．3—4所示建立坐標系，并把質(zhì)點M放在原點O，取θ作為積分變量，為積分區(qū)間，典型區(qū)間為[θ，θ+dθ]所對應(yīng)的圓弧形細棒小段可近似看作質(zhì)點，其質(zhì)量為ρRdθ，與M相距為R，它對于質(zhì)點M的引力△F的大小為其中k為引力系數(shù)．在x軸上的投影，從而得出于是由對稱性可知Fy=0．知識點解析：暫無解析25、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)常數(shù)0＜a＜1，求標準答案：對后者作積分變換x=π－t，得所以知識點解析：暫無解析27、設(shè)a，b均為常數(shù)，a＞一2，a≠0，求a，b為何值時，使標準答案：而若b一a≠0，上述極限不存在，所以要使原等式成立，必須有a=b，那么所以解得a=b=8e-2一2．知識點解析：暫無解析28、設(shè)求曲線y=f(x)與直線所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標準答案：先求f(x)的表達式，注意到函數(shù)ex在x→+∞與x→一∞的極限，可知當x＞0時，y=f(x)與的交點橫坐標為x=1，且當0＜x＜1時，所以所求旋轉(zhuǎn)體體積其中，令x=tant得，知識點解析：暫無解析29、設(shè)a＜b，證明：不等式標準答案：構(gòu)造輔助函數(shù)則F(a)=0，且所以F(b)≤0，即即知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、雙紐線(χ2＋y2)2＝χ2－y2所圍成的區(qū)域面積可表示為()．A、2cos2θdθB、4cos2θdθC、D、(cos2θ)2dθ標準答案：A知識點解析：雙紐線(χ2＋y2)2＝χ2－y2的極坐標形式為r2＝cos2θ，再根據(jù)對稱性，有A＝4×cos2θdθ，選A．2、設(shè)f(χ)，g(χ)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(χ)＜f(χ)＜m，則由曲線y＝g(χ)，y＝f(χ)及直線χ＝a，χ＝b所圍成的平面區(qū)域繞直線y＝m旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為()．A、π∫ab[2m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχB、π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχC、π∫ab[m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχD、π∫ab[m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ標準答案：B知識點解析：由元素法的思想，對[χ，χ＋dχ][a，b]，dv＝{π[m－g(χ)]2－π[[m－f(χ)]2}dχ＝π[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，則V＝∫abdv＝π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，且f(χ)＝＋∫01χf(χ)dχ，則f(χ)＝_______．標準答案：知識點解析：令∫01χf(χ)dχ＝k，則f(χ)＝＋k，χf(χ)＝＋kχ，兩邊積分得∫11χf(χ)dχ＝＋∫01kχdχ，即k＝，所以k＝2(－1)，從而f(χ)＝．4、設(shè)f(χ)∈C[1，＋∞)，廣義積分∫0＋∞f(χ)dχ收斂，且滿足f(χ)＝f(χ)dχ，則f(χ)＝_______．標準答案：知識點解析：令∫1＋∞f(χ)dχ＝A，則由f(χ)＝f(χ)dχ，得A＝，解得A＝，所以f(χ)＝．5、設(shè)f(χ)＝，則＝_______．標準答案：e-1－1知識點解析：6、設(shè)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)＝1，f(2)＝3，f′(2)＝5，則∫01χf〞(2χ)dχ＝_______．標準答案：2知識點解析：7、設(shè)f(χ)＝則∫-15f(χ－1)dχ＝_______．標準答案：＋ln3知識點解析：8、＝_______(其中a為常數(shù))．標準答案：知識點解析：9、＝_______．標準答案：3知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)10、求標準答案：因為ln(χ＋)為奇函數(shù)，所以知識點解析：暫無解析11、求標準答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(2)＝，f′(2)＝0，∫02f(χ)dχ＝1，求∫01χf〞(2χ)dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析13、計算標準答案：知識點解析：暫無解析14、求函數(shù)f(χ)＝＝(2－t)e-tdt的最大值與最小值．標準答案：因為f(χ)為偶函數(shù)，所以只研究f(χ)在[0，＋∞)內(nèi)的最大值與最小值即可．令f′(χ)＝2χ(2－χ2)＝0，得f(χ)的唯一駐點為χ＝，當χ∈(0，)時，f′(χ)＞0，當χ∈(，＋∞)時，f′(χ)＜0，注意到駐點的唯一性，則χ＝及χ＝－為函數(shù)f(χ)的最大值點，最大值為，因為f(＋∞)＝f(－∞)＝∫0＋∞(2－t)e-tdt＝1及f(0)＝0，所以最小值為0．知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、計算標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算標準答案：知識點解析：暫無解析18、計算標準答案：χ＝1為被積函數(shù)的無窮間斷點，則知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，且f(χ)＞0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(χ)dχ＝∫ξbf(χ)dχ．標準答案：令g(χ)＝∫aχf(t)dt－∫χbf(t)dt，因為f(χ)在[a，b]上連續(xù)，且f(χ)＞0，所以g(a)＝－∫abf(t)dt＜0，g(b)＝∫abf(t)dt＞0，由零點定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)＝0，即∫aξf(χ)dχ＝∫ξbf(χ)dχ．知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(χ)dχ＝∫abf(a＋b－χ)dχ．標準答案：∫abf(χ)dχ∫abf(a＋b－t)(－dt)＝∫abf(a＋b－t)dt＝∫abf(a＋b－χ)dχ．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(χ)為連續(xù)函數(shù)，證明：(1)∫0π(sinχ)＝f(sinχ)dχ＝πf(sinχ)dχ；(2)∫02π(｜sinχ｜)dχ＝4f(sinχ)dχ．標準答案：(1)令I(lǐng)＝∫0πχf(sinχ)dχ，則知識點解析：暫無解析22、證明：sinnχcosnχdχ＝2-nsinnχdχ．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(χ)連續(xù)，證明：∫0χ[∫0tf(u)du]dt＝∫0χf(t)(χ－t)dt．標準答案：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，則F′(χ)＝f(χ)，于是∫0χ[∫0tf(u)du]dt＝∫0χF(t)dt，∫0χf(t)(χ－t)dt＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＝χF(χ)－∫0χtdF(t)＝χF(χ)－tF(t)｜0χ＋∫0χF(t)dt＝∫0χF(t)dt．命題得證．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)連續(xù)且關(guān)于χ＝T對稱，a＜T＜b．證明：∫abf(χ)dχ＝2∫Tbf(χ)dχ＋∫a2T-bf(χ)dχ．標準答案：由f(χ)關(guān)于χ＝T對稱得f(T＋χ)＝f(T－χ)，于是知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(a)＝f(b)＝0，∫abf2(χ)dχ＝1，f′(χ)∈C[a，b]．(1)求∫abχf(χ)f′(χ)dχ；(2)證明：∫abf′2(χ)dχ∫abχ2f2(χ)dχ≥．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(χ)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，f(1)＝2χ2f(χ)dχ．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．標準答案：令φ(χ)＝χ2f(χ)，由積分中值定理得f(1)＝2χ2f(χ)dχ＝c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)＝φ(1)，顯然φ(χ)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)一0．而φ′(χ)＝2χf(χ)＋χ2f′(χ)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f′(ξ)＝0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(χ)，g(χ)在[a，b]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．標準答案：令φ(χ)＝∫aχf(t)dt∫bχg(t)dt，顯然φ(χ)在[a，b]上可導(dǎo)，又φ(a)＝φ(b)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f(χ)∫bχg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(χ)dχ＋g(ξ)∫aξf(χ)dχ＝0，即f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(t)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．證明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．標準答案：令F(χ)＝∫0χf(t)sintdt，因為F(0)＝F(π)＝0，所以存在χ1∈(0，π)，使得F′(χ1)＝0，即f(χ1)sinχ1＝0，又因為sinχ1≠0，所以f(χ1)＝0．設(shè)χ1是f(χ)在(0，π)內(nèi)唯一的零點，則當χ∈(0，π)且χ≠χ1時，有sin(χ－χ1)f(χ)恒正或恒負，于是∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ≠0．而∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ＝cosχ1∫0πf(χ)sinχdχ－sinχ1∫0πf(χ)cosχdχ＝0，矛盾，所以f(χ)在(0，π)內(nèi)至少有兩個零點．不妨設(shè)f(χ1)＝f(χ2)＝0，χ1，χ2∈(0，π)且χ1＜χ2，由羅爾中值定理，存在ξ∈(χ1，χ2)(0，π)，使得f′(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(χ)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)＝f(2)＝0，且｜f′(χ)｜≤2．證明：｜∫02f(χ)dχ｜≤2．標準答案：由微分中值定理得f(χ)－f(0)＝f′(ξ1)χ，其中0＜ξ1＜χ，f(χ)＝f(2)＝f′(ξ2)(χ－2)，其中χ＜ξ2＜2，于是從而｜∫02f(χ)dχ｜≤∫02｜f(χ)｜dχ＝∫01｜f(χ)｜dχ＋∫12｜f(χ)｜dχ≤∫012χdχ＋∫122(2－χ)dχ＝2．知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(χ)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)．標準答案：令F(χ)＝∫aχf(t)dt，則F(χ)在[a，b]上三階連續(xù)可導(dǎo)，取χ0＝，由泰勒公式得F(a)＝F(χ0)＋F′(χ0)(a－χ0)＋(a－χ0)3，ξ1∈(a，χ0)，F(xiàn)(b)＝F(χ0)＋F′(χ0)(b－χ0)＋(b－χ0)3，ξ2∈(χ0，b)兩式相減得F(b)－F(a)＝F′(χ0)(b－a)＋[F″′(ξ1)＋F″′(ξ2)]，即因為f〞(χ)在[a，b]上連續(xù)，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f〞(ξ)＝[f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，從而知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)有一個原函數(shù)為()A、1+sinx。B、1一sinx。C、1+cosx。D、1一cosx。標準答案：B知識點解析：由f’(x)=sinx，得f(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=一cosx+C1，所以f(x)的原函數(shù)是F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)。令C1=0，C2=1得F(x)=1一sinx。故選B。2、定積分()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：這是無界函數(shù)的反常積分，x=±1為瑕點，與求定積分一樣，作變量替換x=sint，則故選B。3、設(shè)F(x)=∫0xf(t)dt，則()A、F(x)在x=0處不連續(xù)。B、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，但在x=0處不可導(dǎo)。C、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足F’(x)=f(x)。D、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足F’(x)=f(x)。標準答案：B知識點解析：關(guān)于具有跳躍間斷點的函數(shù)的變限積分，有下述定理。設(shè)f(x)在[a，b]上除點c∈(a，b)外的其他點都連續(xù)，且x=c為f(x)的跳躍間斷點。又設(shè)F(x)=∫cxf(t)dt，則：①F(x)在[a，b]上必連續(xù)；②當x∈[a，b]且x≠c時，F(xiàn)’(x)=f(x)；③F’(c)必不存在，且F’+(c)=f(c+)，F(xiàn)’—(c)=f(c—)。直接利用上述結(jié)論(本題中的c=0)，故選B。4、設(shè)m，n均是正整數(shù)，則反常積分的收斂性()A、僅與m的取值有關(guān)。B、僅與n的取值有關(guān)。C、與m，n的取值都有關(guān)。D、與m，n的取值都無關(guān)。標準答案：D知識點解析：顯然x=0，x=1是該積分可能的兩個瑕點，因此有對于當x→0+時等價于因為m，n均為正整數(shù)，有成立，因此收斂，故收斂。對于當x∈(1—δ，1)(0＜δ＜)時，有而積分顯然收斂，因此積分也是收斂的。故選D。5、由曲線(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式，得Vx=∫0ππf2(x)dx==π∫0πsin3xdx=一π∫0π(1一cos2x)dcosx故選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知∫f’(x3)dx=x3+C(C為任意常數(shù))，則f(x)=______。標準答案：知識點解析：對等式∫f’(x3)dx=x3+C兩邊求導(dǎo)得f’(x3)=3x2。令t=x3()，則，等式兩邊積分，故7、=______。標準答案：知識點解析：設(shè)計算可得因此8、=______。標準答案：secx一tanx+x+C知識點解析：=∫tanxsecxdx一∫(sec2x一1)dx=secx一tanx+x+C。9、=______。標準答案：知識點解析：令x=tant，則dx=sec2tdt，于是原式10、∫01e—xsinxdx=______。標準答案：0知識點解析：令I(lǐng)n=∫e—xsinnxdx=一e—xsinnx+n∫e—xcosnxdx=一e—xsinnx一ne—xcosnx一n2In。所以則有11、sinxln(1+esinx)dx=______。標準答案：知識點解析：原式12、=______。標準答案：知識點解析：令，則有13、已知∫—∞+∞ek｜x｜dx=1，則k=______。標準答案：一2知識點解析：1=∫—∞+∞ek｜x｜dx=2∫0+∞ekxdx=已知要求極限存在，所以k＜0。那么，所以k=一2。14、曲線，直線x=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為______。標準答案：知識點解析：直接利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式可得，如圖所示，x的積分從1到2。V=一π∫12(x2—1)dx=15、曲線pθ=1相應(yīng)于的一段弧長s=______。標準答案：知識點解析：由已知可得。則三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)16、求標準答案：由則原式知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且滿足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。證明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。標準答案：令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫abF(t)dt，由題設(shè)G(x)≥0，x∈[a，b]，且G(a)=G(b)=0，G’(x)=F(x)。從而∫abxF(x)=∫abxdG(x)=xG(x)｜ab一∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx。由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有一∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。因此可得∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)，g(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。證明對任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。標準答案：設(shè)有F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，則F(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且F’(x)=g(x)f’(x)—f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]，由于x∈[0，1]時，f’(x)≥0，g’(x)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上單調(diào)遞減。注意到F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一g(1)g(1)，而又因為∫01g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t)=g(t)f(t)｜∫01一∫01f(t)g’(t)dt=f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt，故F(1)=0。因此x∈[0，1]時，F(xiàn)(x)≥F(1)=0，由此可得對任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，證明∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx。標準答案：可設(shè){｜f(x)｜}=｜f(x0)｜，即證(b一a)f(x0)≤｜∫abf(x)dx｜+(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx，即有｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤(b—a)∫ab｜f’(x)｜dx。事實上｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤｜∫ab[f(x0)—f(x)]dx｜=｜∫ab[∫xx0f’(t)dt]dx｜≤∫ab[∫ab｜f’(t)｜dt]dx=(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx。故得證。知識點解析：暫無解析20、設(shè)，證明曲線y=f(x)在區(qū)間(ln2，+∞)上與x軸圍成的區(qū)域有面積存在，并求此面積。標準答案：考慮廣義積分的收斂性。因此廣義積分收斂，即所圍成區(qū)域的面積存在。取變換ex=sect，則x=ln(sect)，exdx=secttantdt，知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍封閉圖形的面積。標準答案：因為t｜t｜為奇函數(shù)，可知其原函數(shù)f(x)=∫—1xt｜t｜dt=∫—10t｜t｜dt+∫0xt｜t｜dt為偶函數(shù)，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)與x軸有交點(一1，0)，(1，0)。又由f’(x)=x｜x｜可知x＜0時，f’(x)＜0，故f(x)單調(diào)減少，因此f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。當x＞0時，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)單調(diào)增加，所以當x＞0時，y=f(x)與x軸有一交點(1，0)。綜上，y=f(x)與x軸交點僅有兩個。所以封閉曲線所圍面積A=∫—11｜f(x)｜dx=2∫—10｜f(x)｜dx。當x＜0時，f(x)=∫—1xt｜t｜dt=∫—1x一t2dt=(1+x3)，因此知識點解析：暫無解析橢球面S1是橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，圓錐面S2是過點(4，0)且與橢圓相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成。22、求S1及S2的方程；標準答案：由題意得S1的方程為計算得過點(4，0)與的切線為，所以S2的方程為y2+x2=。知識點解析：暫無解析23、求S1與S2之間的立體體積。標準答案：記y1=—2，由，記則有V=∫14πy12dx—∫12πy22dx知識點解析：暫無解析24、設(shè)D是由曲線，直線x=a(a＞0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx，Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy=10Vx，求a的值。標準答案：由微元法可知Vx=π∫0ay2dx=Vy=2π∫0axf(x)dx=由已知條件10Vx=Vy，解得。知識點解析：暫無解析設(shè)曲線y=ax2(x≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1一x2交于點A，過坐標原點O和點A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D，求25、D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；標準答案：由題意知，y=ax2與y=1一x2的交點為，直線OA的方程為旋轉(zhuǎn)體的體積知識點解析：暫無解析26、a的值，使V(a)取得最大值。標準答案：當a＞0時，得V(a)的唯一駐點a=4。當0＜a＜4時，V’(a)＞0；當a＞4時，V’(a)＜0。故a=4為V(a)的唯一極大值點，即為最大值點。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第6套一、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、＝_______．標準答案：知識點解析：2、＝_______．標準答案：＋C知識點解析：3、＝_______．標準答案：知識點解析：4、＝_______．標準答案：(arcsin)2＋C知識點解析：5、＝_______．標準答案：知識點解析：6、＝_______．標準答案：知識點解析：7、＝_______．標準答案：ln(χ2＋2χ＋5)＋arctan＋C知識點解析：二、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)8、求標準答案：知識點解析：暫無解析9、求標準答案：知識點解析：暫無解析10、求標準答案：知識點解析：暫無解析11、求標準答案：由A(χ－4)(χ－3)2＋B(χ－2)(χ－3)2＋C(χ－2)(χ－3)(χ－4)＋D(χ－2)(χ－4)＝1得解得A＝－，B＝，C＝0，D＝－1，知識點解析：暫無解析12、求標準答案：知識點解析：暫無解析13、求標準答案：因為[ln(tanχ)]′＝，所以＝∫ln(tanχ)d[ln(tanχ)]＝ln2(tanχ)＋C．知識點解析：暫無解析14、求標準答案：知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、求∫arcsin2χdχ．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求標準答案：知識點解析：暫無解析18、求標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、求標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、求標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、求標準答案：因為(3＋sinχcosχ)′＝cos2χ，所以知識點解析：暫無解析25、求標準答案：知識點解析：暫無解析26、求標準答案：知識點解析：暫無解析27、求標準答案：知識點解析：暫無解析28、求標準答案：知識點解析：暫無解析29、求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)在區(qū)間[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)]，則()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1標準答案：B知識點解析：因為函數(shù)f(χ)在[a，b]上為單調(diào)減少的凹函數(shù)，根據(jù)幾何意義，S2＜S1＜S3，選B．2、曲線y＝χ(χ－1)(2－χ)與χ軸所圍成的圖形面積可表示為()．A、－∫02(χ－1)(2－χ)dχB、∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ－∫12χ(χ－1)(2－χ)dχC、－∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ＋∫12χ(χ－1)(2－χ)dχD、∫02χ(χ－1)(2－χ)dχ標準答案：C知識點解析：曲線y＝(χ－1)(2－χ)與χ軸的三個交點為χ＝0，χ＝1，χ＝2，當0＜χ＜1時，y＜0；當1＜χ＜2時，y＞0，所以圍成的面積可表示為C的形式，選C．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、∫χcos2χdχ＝_______．標準答案：知識點解析：4、設(shè)f(χ)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，且F(χ)＝∫0χf(t)dt＋bχ也是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則b＝_______．標準答案：－∫0Tf(t)dt知識點解析：∫0χ+Tf(t)dt＋b(χ＋T)＝∫0χf(t)dt＋bχ＋∫χχ+Tf(t)dt＋Bt＝F(χ)＋∫χχ+Tf(t)dt＋bT＝F(χ)＋∫0Tf(t)dt＋bT，由F(χ＋T)＝F(χ)，得b＝－∫0Tf(t)dt．5、＝_______．標準答案：知識點解析：6、＝_______．標準答案：知識點解析：因為ln(χ＋)為奇函數(shù)，所以χ2ln(χ＋)為奇函數(shù)，所以原式＝2×．7、＝_______．標準答案：知識點解析：因為對[－a，a]上連續(xù)的函數(shù)f(χ)有∫－aaf(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]dχ，所以8、＝_______．標準答案：知識點解析：因為＝1且＜1，所以廣義積分收斂．9、＝_______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)10、設(shè)f(χ)＝χ－∫01f(χ)dχ，求∫01f(χ)dχ．標準答案：令∫01f(χ)dχ＝A，對f(χ)＝χ－∫01f(χ)dχ兩邊積分得A＝∫01χdχ－A，于是知識點解析：暫無解析11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(χ)＝f(χ－π)＋sinχ，且當χ∈[0，π]時，f(χ)＝χ，求∫π3πf(χ)dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(χ)＝，求．標準答案：因為，所以原式等于arctan．知識點解析：暫無解析15、設(shè)y′＝arctan(χ－1)2，y(0)＝0，求∫01y(χ)dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(t)＝∫1tdχ，求∫01t2f(t)dt．標準答案：因為f(1)＝0，所以知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)＝∫0χcostdt，求∫0πf(χ)cosχdχ．標準答案：∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)d(sinχ)＝f(χ)sinχ｜0π－∫0πf′(χ)sinχdχ＝－∫0πf′(χ)sinχdχ＝－∫0πecosχsinχdχ＝∫0πecosχd(cosχ)＝ecosχ｜0π＝e-1－e．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(χ)＝sin3χ＋∫－ππχf(χ)dχ，求∫0πf(χ)dχ．標準答案：令∫-ππχf(χ)dχ＝A，則f(χ)＝sin3χ＋A，χf(χ)＝χsin3χ＋Aχ兩邊積分得∫-ππχf(χ)dχ＝∫-ππχsinχdχ＋∫-ππAχdχ，即A＝∫-ππχsin3χdχ＝2∫0πχsin3χdχ＝π∫0πsin3χdχ＝2πsin3χdχ＝，從而f(χ)＝sin3χ＋，故知識點解析：暫無解析19、求∫-11(｜χ｜＋χ)e-｜χ｜dχ．標準答案：由定積分的奇偶性得知識點解析：暫無解析20、計算標準答案：知識點解析：暫無解析21、求標準答案：知識點解析：暫無解析22、求標準答案：知識點解析：暫無解析23、求∫-22(3χ＋1)max{2，χ2)dχ標準答案：因為max(1，χ2)是偶函數(shù)，所以∫-22(3χ＋1)max{2，χ2}dχ＝∫-22max{2，χ2}dχ＝2∫02max{2，χ2}dχ，由max{2，χ2}＝得知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)＝求∫02πf(χ－π)dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析25、求∫013χ2arcsinχdχ．標準答案：知識點解析：暫無解析26、求標準答案：知識點解析：暫無解析27、求標準答案：知識點解析：暫無解析28、求標準答案：知識點解析：暫無解析29、求標準答案：知識點解析：暫無解析30、求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第8套一、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)1、標準答案：知識點解析：暫無解析2、已知f(x)的一個原函數(shù)為求∫xf’(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析3、標準答案：知識點解析：暫無解析4、標準答案：知識點解析：暫無解析5、標準答案：知識點解析：暫無解析6、標準答案：知識點解析：暫無解析7、標準答案：知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)=求∫f(x)dx標準答案：知識點解析：暫無解析9、設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，若當x＞0時，有f(x)F(x)=試求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析10、標準答案：4—π知識點解析：暫無解析11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、計算∫01x2f(x)dx，其中f(x)=標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析16、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，φ(x)=∫01f(xt)dt,且=A，(A為常數(shù))，求φ’(x)，并討論φ’(x)在x=0處的連續(xù)性．標準答案：，φ’(x)在x=0連續(xù)．知識點解析：暫無解析18、已知f(x)連續(xù)，∫0xtf(x—t)dt=1一cosx，求標準答案：1知識點解析：暫無解析19、求正常數(shù)a、b，使標準答案：a=2，b=1知識點解析：暫無解析20、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=∫0xtn-1(xn一tn)dt，試求標準答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)星形線方程為試求：(1)它所圍的面積；(2)它的周長；(3)它圍成的區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．標準答案：[*1](2)6a(3)知識點解析：暫無解析23、設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2．并且a＜1．(1)試確定a的值，使S1+S2達到最小，并求出最小值．(2)求該最小值對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)=∫-1x(1一|t|)dt(x≥一1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍圖形面積．標準答案：知識點解析：暫無解析25、一容器由y=x2繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，其容積為72πm3，其中盛滿水，水的比重為μ，現(xiàn)將水從容器中抽出64πm3，問需做功多少?標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算下列廣義積分標準答案：(3)ln2；(4)2(1一ln2)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)函數(shù)f(χ)連續(xù)，下列變上限積分函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()．A、∫1χt[f(t)－f(－t)]dtB、∫0χt[f(t)＋f(－t)]dtC、∫0χf(t2)dtD、∫0χf2(t)dt標準答案：B知識點解析：因為t[f(t)－f(－t)]為偶函數(shù)，所以∫0χt[f(t)－f(－t)]dt為奇函數(shù)，A不對；因為f(t2)為偶函數(shù)，所以∫0χf(t2)dt為奇函數(shù)，C不對；因為不確定f2(t)的奇偶性，所以D不對；令F(χ)＝∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt，F(xiàn)(－χ)＝∫0－χt[f(t)＋f(－t)]dt＝∫0χ(－u)[f(u)＋f(－u)](－du)＝F(χ)，選B．2、sinχ2dχ為()．A、等于0B、大于0C、小于0D、不能確定標準答案：B知識點解析：故選B．3、若由曲線y＝2，曲線上某點處的切線以及χ＝1，χ＝3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線是()．A、y＝B、y＝＋2C、y＝χ＋1D、y＝標準答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)4、＝_______．標準答案：知識點解析：5、求＝_______．標準答案：5π知識點解析：6、計算＝_______．標準答案：知識點解析：7、計算(a＞0)＝_______．標準答案：知識點解析：8、計算(a＞1)＝_______．標準答案：知識點解析：9、計算＝_______．標準答案：知識點解析：10、設(shè)f(χ)＝∫0χecostdt，求∫0πf(χ)cosχdχ．標準答案：e-1－e知識點解析：∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)d(sinχ)＝f(χ)sinχ｜0π－∫0πf′(χ)sinχdχ＝－∫0πecosχsinχdχ＝ecosχ｜0π＝e-1－e．11、設(shè)f(χ)連續(xù)，且∫0χtf(2χ－t)dt＝arctanχ2，f(1)＝1，求∫12f(χ)dχ．標準答案：知識點解析：等式兩邊對χ求導(dǎo)得2∫χ2χf(u)du＋2χ[2f(2χ)－f(χ)]－4χf(2χ)＋χf(χ)＝，整理得2∫χ2χf(u)du－χf(χ)＝取χ＝1得2∫f(u)du－f(1)＝，故∫f(χ)d