考研數(shù)學二（高等數(shù)學）模擬試卷4（共111題）

考研數(shù)學二（高等數(shù)學）模擬試卷4（共4套）（共111題）考研數(shù)學二（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1-cost)dt，則當x→0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：A知識點解析：由m=6且x→0時，g(x)～x6，故x→0時，f(x)是g(x)的低階無窮小，應選(A)．2、設f(x)在x=a處的左右導數(shù)都存在，則f(x)在x=a處()．A、一定可導B、一定不可導C、不一定連續(xù)D、連續(xù)標準答案：D知識點解析：因為f(x)在x=a處右可導，所以存在，于是f(x)=f(a)，即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f(x)在x=a處左可導，得f(x)在x=a處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)，由于左右導數(shù)不一定相等，選(D)．3、設f(x)二階連續(xù)可導，且，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0是f(x)的駐點但不是極值點標準答案：C知識點解析：因為f(x)二階連續(xù)可導，且f’’(x)=0，即f’’(0)=0．又=-1＜0，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，有＜0，即當x∈(-δ，0)時，f’’(x)＞0，當x∈(0，δ)時，f’’(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點，選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，則=______.標準答案：0知識點解析：當x→0時，f2(x)，∫0xlncos(x-t)dt=-∫0xlncos(x-t)d(x-t)d(x-t)-∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，5、設由方程xef(y)=ey確定y為x的函數(shù)，其中f(x)二階可導，且f’≠1，則=______.標準答案：知識點解析：方程xef(y)=ey兩邊對x求導，得ef(y)+xef(y)f’(y)解得6、求=________.標準答案：知識點解析：7、=_______.標準答案：知識點解析：8、設連續(xù)非負函數(shù)f(x)滿足f(x)f(-x)=1，則=________.標準答案：1知識點解析：9、設f(x)連續(xù)，則=______.標準答案：知識點解析：∫0rtf(r2-t2)dt=∫0x(r2-t2)d(r2-t2)=∫0r2f(u)du，cos(x+y)dσ=πr2cos(ξ+η)，其中ξ2+η2≤r2原式10、微分方程yy’’-2(y’)2=0的通解為_________．標準答案：y=C或者=C1x+C2知識點解析：令y’=p，得y’’=，代入原方程得，-2p2=0或=0．則p=0，或=0．當p=0時，y=C；當=0時，p=C1=C1y2，即=C1y2．由=C1y2，得=C1dx，從而=C1x+C2，所以原方程的通解為y=C或者=C1x+C2．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、求標準答案：知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)的反函數(shù)．標準答案：令f(x)=因為f(-x)==-f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，于是即函數(shù)的反函數(shù)為x=shy．知識點解析：暫無解析13、設f(x)連續(xù)可導，標準答案：由∫0xf(x-t)dt∫xxf(u)(-du)=∫0xf(u)du，x→0時，x-ln(1+x)=x-[x-+o(x2)]～得知識點解析：暫無解析14、設且f’’(0)存在，求a，b，c．標準答案：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以c=0，即f(x)=f’-(0)=f’+(0)=由f(x)在x=0處可導，得b=1，即f(x)=于是f’’-(0)=f’’+(0)=由f’’(0)存在，得a=，即a=，b=1，c=0．知識點解析：暫無解析15、設f(x)在x0的鄰域內四階可導，且｜f(x)(4)｜≤M(M＞0)．證明：對此鄰域內任一異于x0的點x，有｜f’’(x0)-(x-x0)2，其中x’為x關于x0的對稱點．標準答案：由f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)3+(x-x0)4，f(x’)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(x’-x0)2+(x’-x0)3+(x’-x0)4，兩式相加得f(x)+f(x’)-2f(x0)=f’’(x0)(x-x0)2+[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)](x-x0)4，于是｜f’’(x0)-[f(4)(ξ1)｜+｜f(4)(ξ2)｜](x-x0)2，再由｜f(4)(x)｜≤M，得｜f’’(x0)-(x-x0)2．知識點解析：暫無解析16、設f(x)在[0，+∞)內二階可導，f(0)=-2．f’(0)=1，f’’(x)≥0．證明：f(x)=0在(0，+∞)內有且僅有一個根．標準答案：因為f’’(x)≥0，所以f’(x)單調不減，當x＞0時，f’(x)≥f’(0)=1．當x＞0時，f(x)-f(0)=f’(ξ)c，從而f(x)≥f(0)+x，因為[f(0)+x]=+∞，所以f(x)=+∞．由f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)=-2＜0，f(x)=+∞，則f(x)=0在(0，+∞)內至少有一個根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內存在二階導數(shù)，且f(0)=0，f(1)=1，證明：對任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得=a+b．標準答案：因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0，f(1)=1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端點介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得整理得知識點解析：暫無解析18、標準答案：因為所以知識點解析：暫無解析19、設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，非負，且以T為周期，證明：標準答案：對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得nT≤x＜(n+1)T，因為f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，即n∫0Tf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤(n+1)∫0Tf(t)dt，由，得注意到當x→+∞時，n→+∞，且由迫斂定理得知識點解析：暫無解析20、設f(x)在[a，b]上連續(xù)可導，且f(a)=f(b)=0．證明：｜f(x)｜≤∫abf’(x)｜dx(a＜x＜b)．標準答案：因為且f(a)=f(b)=0，所以兩式相加得｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx.知識點解析：暫無解析21、設f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內二階可導，且f’’(x)≥0，φ(x)是區(qū)間[a，b]上的非負連續(xù)函數(shù)，且∫ab(x)dx=1．證明：∫abf(x)φ(c)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．標準答案：因為f’’(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因為φ(x)≥0，所以以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxq>xφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]，上述不等式兩邊再在區(qū)間[a，b]上積分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知識點解析：暫無解析22、設討論f(x，y)在(0，0)處的連續(xù)性、可偏導性與可微性．標準答案：0≤｜f(x，y)｜≤｜xy｜，因為｜xy｜=0，由迫斂定理得f(x，y)=0=f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)處連續(xù)．由得f’x(0，0)=0，同理f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導．令0≤≤｜x｜，由迫斂定理得=0，即f(x，y)在(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析23、計算，其中D={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤2}．標準答案：令D1={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)｜-1≤x≤1，x2≤y≤2}，知識點解析：暫無解析24、設y=y(x)二階可導，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(1)將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)所滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解．標準答案：代入原方程得y’’-y=sinx，特征方程為r2-1=0，特征根為r1,2=±1，因為i不是特征值，所以設特解為y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=，故y*=sinx，于是方程的通解為y=C1ex+C2e-x-sinx，由初始條件得C1=1，C2=-1，滿足初始條件的特解為y=ex-e-x-sinx．知識點解析：暫無解析25、某人的食量是2500卡／天(1卡=4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陳代謝．在健身運動中，他所消耗的為16卡／千克／天乘以他的體重．假設以脂肪形式儲存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時問變化．標準答案：輸入率為2500卡／天，輸出率為(1200+16w)，其中w為體重，根據(jù)題意得，w(0)=w0，由，代入初始條件得C=w0-于是知識點解析：暫無解析26、早晨開始下雪整天不停，中午一掃雪車開始掃雪，每小時掃雪體積為常數(shù)，到下午2點掃雪2km，到下午4點又掃雪1km，問降雪是什么時候開始的?標準答案：設單位面積在單位時間內降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車前進路程為S(t)，降雪開始時間為T，則H(t)=a(t-T)，又b×H(t)×△s=c×△t，于是，且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由T2-26T+164=0，T=知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、當x→0時，下列四個無窮小中哪一個是比其它幾個更高階的無窮小量A、x2B、1一cosxC、D、x一sinx標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設f(x)可導，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導的()條件．A、充分且必要．B、充分非必要．C、必要非充分．D、非充分非必要．標準答案：A知識點解析：暫無解析3、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，φ(x)=(x一b)∫axf(t)dt，則存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A、1B、0C、D、2標準答案：B知識點解析：暫無解析4、已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy為某一函數(shù)的全微分，則a，b取值分別為A、一2和2B、2和—2C、一3和3D、3和一3標準答案：B知識點解析：暫無解析5、設平面域由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，則A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標準答案：C知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、設f’(3)=2，則=________．標準答案：一3知識點解析：暫無解析7、已知y=f’(x)=arctanx2，則|x=0=________．標準答案：知識點解析：暫無解析8、設f(lnx)=則∫f(x)dx=________．標準答案：x一(1+ex)ln(1+ex)+C知識點解析：暫無解析9、sin(x一t)2dt=________．標準答案：sinx2．知識點解析：暫無解析10、設f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則fx’(0，1，一1)=________．標準答案：1知識點解析：暫無解析11、交換積分次序∫02dx∫x2xf(x，y)dy=________．標準答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、求極限標準答案：e2知識點解析：暫無解析14、求極限標準答案：0知識點解析：暫無解析15、設y=y(x)由標準答案：=2(t一1)(t2+1)知識點解析：暫無解析16、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析17、設a1，a2，…，an為任意實數(shù)，求證方程a1cosx+a2cos2x+…+ancosnx=0在(0，π)內必有實根．標準答案：構造輔助函數(shù)F(x)=a1sinx+，對F(x)在[0，π]上用羅爾定理．知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=1，試證存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使eη一ξ[f’(η)+f(η)]=1．標準答案：對F(x)=exf(x)和g(x)=ex分別在[a，b]上用拉格朗日中值定理．知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、求正常數(shù)a、b，使標準答案：a=2，b=1知識點解析：暫無解析23、設星形線方程為(a＞0)．試求：1)它所圍的面積；2)它的周長；3)它圍成的區(qū)域繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積和表面積．標準答案：1)2)6a3)體積知識點解析：暫無解析24、設z=其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，g具有二階連續(xù)導數(shù)，求標準答案：知識點解析：暫無解析25、求函數(shù)z=3axy一x3一y3(a＞0)的極值．標準答案：(0，0)點取得極大值a3．知識點解析：暫無解析26、計算標準答案：知識點解析：暫無解析27、設f(x)是以ω為周期的連續(xù)函數(shù)．證明：線性方程+ky=f(x)(k為非零常數(shù))存在唯一的以ω為周期的特解，并求其解．標準答案：由通解公式知其通解為由y(x)以ω為周期確定C，可得知識點解析：暫無解析28、設f(x)連續(xù)，且∫01f(tx)dt=f(x)+1，求f(x)．標準答案：f(x)=Cx+2．令xt=u.知識點解析：暫無解析29、求方程y(4)一y"=0的一個特解，使其在x→0時與x3為等價無窮小．標準答案：y=一6x+3ex一3e一x知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、解答題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)1、設，求∫01f(x)dx．標準答案：令∫01f(x)dx=A．則．兩邊在[0．1]上積分得知識點解析：暫無解析2、已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．標準答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，則f(x)=x2一Ax+2B，兩邊在[0，2]上積分得知識點解析：暫無解析3、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析4、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析5、計算定積分∫01xarcsinxdx．標準答案：知識點解析：暫無解析6、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析7、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析8、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析9、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析10、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析11、設連續(xù)非負函數(shù)f(x)滿足f(x)f(一x)=1，求標準答案：知識點解析：暫無解析12、計算定積分∫-12xe-|x|dx．標準答案：∫-12xe-|x|dx=∫-11xe-|x|dx+∫12xe-|x|dx=∫12xe-xdx=一∫12xd(e-x)=-xe-x|12+∫12e-xdx=2e-1-3e-2知識點解析：暫無解析13、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析14、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析15、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析16、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析18、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析19、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析22、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析23、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析24、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析25、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算積分∫0πxln(sinx)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析27、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析28、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析29、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析30、證明：∫01xm(1一x)ndx=∫01xn(1一x)mdx，并用此式計算∫01x(1一x)50dx．標準答案：∫01xm(1一x)ndx∫10(1-t)mtn(-dt)=∫01xn(1-x)mdx．I=∫01x(1一x)50dx=∫01x50(1一x)dx=∫01x50dx-∫01x51dx=知識點解析：暫無解析31、求微分方程y"一y=4cosx+ex的通解．標準答案：特征方程為λ2一1=0，特征值為λ1=一1，λ2=1，y"一y=0的通解為y=C1e-x+C2ex，令y"一y=4cosx的特解為y1=acosx+bsinx，代入得a=一2，b=0；令y"一y=ex的特解為y3=cxex，代入得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、下列命題正確的是()．A、若｜f(x)｜在x=s處連續(xù)，則f(x)在x=a處連續(xù)B、若f(x)在x=a處連續(xù)，則｜f(x)｜在x=a處連續(xù)C、若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a的一個鄰域內連續(xù)D、若[f(a+h)-f(a-h)]=0，則f(x)在x=a處連續(xù)標準答案：B知識點解析：令f(x)=顯然｜f(x)｜≡1處處連續(xù)，然而f(x)處處間斷，(A)不對；令f(x)=顯然f(x)在x=0處連續(xù)，但在任意x=a≠0處函數(shù)f(x)都是間斷的，故(C)不對；令f(x)=[f(0+h)～f(0-h)]=0，但f(x)在x=0處不連續(xù)，(D)不對；若f(x)在x=a處連續(xù)，則=f(a)，又0≤｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤｜f(x)-f(a)｜，根據(jù)迫斂定理，｜f(x)｜=｜f(a)｜，選(B)．2、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x-x0｜＜δ內連續(xù)B、若f(x)在x0處可導，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x-x0｜＜δ內可導C、若f(x)在x0的去心鄰域內可導，在x0處連續(xù)且存在，則f(x)在x0處可導，且f’(x0)=D、若f(x)在x0的去心鄰域內可導，在x0處連續(xù)且不存在，則f(x)在x0處不可導標準答案：C知識點解析：設f(x)=顯然f(x)在x=0處連續(xù)，對任意的x0≠0，因為f(x)不存在，所以f(x)在x0處不連續(xù)，(A)不對；同理f(x)在x=0處可導，對任意的x0≠0，因為f(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0處也不可導，(B)不對；因為=f’(ξ)，其中ξ介于x0與x之間，且f’(x)存在，所以也存在，即f(x)在x0處可導且f’(x0)=，選(C)；令不存在，(D)不對．3、設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內連續(xù)，其導數(shù)的圖形如右圖，則f(x)有()．A、兩個極大值點，兩個極小值點，一個拐點B、兩個極大值點，兩個極小值點，兩個拐點C、三個極大值點，兩個極小值點，兩個拐點D、兩個極大值點，三個極小值點，兩個拐點標準答案：C知識點解析：設當x＜0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當x＞0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．當x＜x1時，f’(x)＞0，當x∈(x1，x2)時，f’(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大點；當x∈(x2，0)時，f’(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小值點；當x∈(0，x3)時，f’(x)＜0，則x=0為f(x)的極大值點；當x∈(x3，x4)時，f’(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小值點；當x＞x4時，f’(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大值點，即f(x)有三個極大值點，兩個極小值點，又f’’(x)有兩個零點，根據(jù)一階導數(shù)在兩個零點兩側的增減性可得，y=f(x)有兩個拐點，選(C)．4、設a=∫05xdt，β=∫0sinxdt，則當x→0時，兩個無窮小的關系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：C知識點解析：因為，所以兩無窮小同階但非等價，選(C)．5、設，其中D：x2+y2≤a2，則以值為()．A、1B、2C、D、標準答案：B知識點解析：令(0≤θ≤2π，0≤r≤a)，由解得a=2，選(B)．6、設φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關解，則該方程的通解為()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1標準答案：D知識點解析：因為φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)為方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個線性無關解，于是方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，選(D)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、=_______.標準答案：知識點解析：因為當x→0時，所以由于又于是原式=8、設f(x)可導且f(x)≠0，則=__________.標準答案：知識點解析：9、設f(x)二階連續(xù)可導，且=0，f’’(0)=4，則=____.標準答案：e2知識點解析：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，則而f’’(0)=2，所以=e2．10、設f(x)在(-∞，+∞)上可導，f’(x)=e2，又[f(x)-f(x-1)]，則a=______．標準答案：1知識點解析：=e2a，由f(x)-f(x-1)=f’(ξ)，其中ξ介于x-1與x之間，令x→∞，由f’(x)=e2，得[f(x)-f(x-1)]=f’(ξ)=e2，即e2u=e2，所以a=1．11、求=________.標準答案：知識點解析：12、求=__________.標準答案：5π知識點解析：13、設u=u(x，y)二階連續(xù)可偏導，且，若u(x，3x)=x，u’x(x，3x)=x3，則u’’xy(x，3x)=_______．標準答案：知識點解析：u(x，3x)=x兩邊對x求導，得u’x(x，3x)+3u’y(x，3x)=1，再對x求導，得u’’xx(x，3x)+6u’’xy(x，3x)+9u’’yy(x，3x)=0．由，得10u’’xx(x，3x)+6u’’xy(x，3x)=0，u’x(x，3x)=x3兩邊對x求導，得u’’xx(x，3x)+3u’’xy(x，3x)=3x2，解得u’’xy(x，3x)=三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、設a1=1，當n≥1時，an+1=，證明：數(shù)列{an}收斂并求其極限．標準答案：令f(x)=(x＞0)，所以數(shù)列{an}單調．又因為a1=1，0≤an+1≤1，所以數(shù)列{an}有界，從而數(shù)列{an}收斂，令an=A，則有知識點解析：暫無解析15、設函數(shù)f(x)可導且0≤f’(x)≤(k＞0)，對任意的xn，作xn-1=f(xn)(n=0，1，2，…)，證明：xn存在且滿足方程f(x)=x．標準答案：xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f’(ξn)(xn-xn-1)，因為f’(x)≥0，所以xn+1-xn，與xn-xn-1同號，故{xn}單調．｜xn｜=｜f(xn-1)｜=｜f(x1)+∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+｜∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+∫-∞+∞dx=｜f(x1)｜+πk，即{xn}有界，于是xn存在，根據(jù)f(x)的可導性得f(x)處處連續(xù)，等式xn+1=f(xn)兩邊令n→∞，得xn=f(xn)，原命題得證．知識點解析：暫無解析16、一質點從時間t=0開始直線運動，移動了單位距離使用了單位時間，且初速度和術速度都為零．證明：在運動過程中存在某個時刻點，其加速度絕對值不小于4．標準答案：設運動規(guī)律為S=S(t)，顯然S(0)0，S’(0)=O，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式兩式相減，得S’’(ξ2)-S’’(ξ1)=-8S’’(ξ1)｜+｜S’’(ξ2)｜≥8．當｜S’’(ξ1)｜≥｜S’’(ξ2)｜時，｜S’’(ξ1)｜≥4；當｜S’’(ξ1)｜＜｜S’’(ξ2)｜時，｜S’’(ξ2)｜≥4．知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[0，+∞)內可導且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．證明：f(x)＜ex(x＞0)．標準答案：令φ(x)=e-x-xf(x)，則φ(x)在[0，+∞)內可導，又φ(0)=1，φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]＜0(x＞0)，所以當x＞0時，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．知識點解析：暫無解析18、設f(x)二階連續(xù)可導且f(0)=f’(0)=0，f’’(x)＞0．曲線y=f(x)上任一點(x，f(x))(x≠0)處作切線，此切線在x軸上的截距為u，求標準答案：曲線y=f(x)在點(x，f(x))處的切線方程為Y-f(x)=f’(x)(X-x)，令Y=0得u=x-，由泰勒公式得f(u)=f’’(ξ1)u2，其中ξ1介于0與u之間，f(x)=f’’(ξ2)x2，其中ξ2介于0與x之間，于是知識點解析：暫無解析19、設x3-3xy+y3=3確定隱函數(shù)y=y(x)，求y=y(x)的極值．標準答案：x3-3xy+y3