新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)5-2 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測）（解析版）

重難點(diǎn)5-2數(shù)列前n項(xiàng)和的求法數(shù)列求和是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，一般利用等差數(shù)列的通項(xiàng)來構(gòu)建考查裂項(xiàng)求和，構(gòu)建等差等比數(shù)列考查錯(cuò)位相減法求和，解答題中等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)的考查往往是第1問，數(shù)列求和則是第2問。近幾年在數(shù)列求和中加大了思維能力的考查，減少了對程序化計(jì)算（錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消）的考查，主要基于新的情景，要求考生通過歸納或挖掘數(shù)列各項(xiàng)間關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律再進(jìn)行求和?！绢}型1公式法求數(shù)列前n項(xiàng)和】滿分技巧（1）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；=4\*GB3④SKIPIF1<0【例1】（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則依題意有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）所以SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，SKIPIF1<0【變式1-1】（2023·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)為SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由題意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，顯然數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式1-2】（2023·山西·校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）10【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是是等差數(shù)列，故SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是10.【變式1-3】（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知首項(xiàng)為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的最大項(xiàng).【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，設(shè)公比為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，此時(shí)不滿足SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或1（舍去），故SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由對勾函數(shù)可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，故.數(shù)列SKIPIF1<0的最大項(xiàng)為SKIPIF1<0【變式1-4】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，求使得SKIPIF1<0成立的最小正整數(shù)n的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）13【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)以及偶數(shù)項(xiàng)均為公比為3的等比數(shù)列，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以此時(shí)滿足SKIPIF1<0的最小的SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以此時(shí)滿足SKIPIF1<0的最小的SKIPIF1<0為13，綜上可得使得SKIPIF1<0成立的最小正整數(shù)n為13【題型2分組法求數(shù)列前n項(xiàng)和】滿分技巧（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.【例2】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），兩式作差，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，適合SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1得）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式2-1】（2023·江蘇無錫·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②①②式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0兩邊同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，可知數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，可知數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式2-2】（2023·江西貴溪·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【變式2-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）依題意，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也符合.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式2-4】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,兩式相減得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相乘得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)符合上式，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【題型3并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和】滿分技巧一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，SKIPIF1<0．【例3】（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為.【答案】100【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為SKIPIF1<0.【變式3-1】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0不成立，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式3-2】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前23項(xiàng)的和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式3-3】（2023·湖南邵陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由已知可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，上述等式累加可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也滿足SKIPIF1<0，故對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0.【變式3-4】（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)的和SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，各式相加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；綜上所述，SKIPIF1<0.【題型4逆序相加法求數(shù)列前n項(xiàng)和】滿分技巧如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．【例4】（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為正項(xiàng)等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2023B．2024C．SKIPIF1<0D．1012【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0為正項(xiàng)等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以兩式相加可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：A.【變式4-1】（2023·山東濰坊·高三安丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和的公式的方法，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．2017C．4034D．8068【答案】C【解析】用倒序相加法：令SKIPIF1<0①則也有SKIPIF1<0②由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，于是由①②兩式相加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C【變式4-2】（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論?代數(shù)學(xué)?非歐幾何?復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).我們高中階段也學(xué)習(xí)過很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項(xiàng)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D．【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0①，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②，①－②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0仍然成立，∴SKIPIF1<0．∴當(dāng)n=1時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【變式4-4】（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①－②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又∵SKIPIF1<0∴①＋②得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.【題型5錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和】滿分技巧1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令SKIPIF1<0，可以用錯(cuò)位相減法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【例5】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0是等差數(shù)列，記其公差為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【變式5-1】（2023·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由已知，SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，成立，綜上可知，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【變式5-2】（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是公差為2，首項(xiàng)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，也符合，所以SKIPIF1<0【變式5-3】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）依題意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以2為公差的等差數(shù)列.而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的首項(xiàng)為3，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0也滿足該式，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0【變式5-4】（2023·江蘇南京·高三期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（1）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)閷θ我釹KIPIF1<0都有SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列；（2）令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以由（1）得，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0①，則SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0.【題型6裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和】滿分技巧1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例6】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前2023項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前2023項(xiàng)和SKIPIF1<0.【變式6-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是n、SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）證明見解析．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0也適合上式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式6-3】（2023·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┮阎?xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，試比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，并加以證明.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，證明見解析【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為正項(xiàng)數(shù)列，所以SKIPIF1<0．由累加法得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．證明如下：由題意及（1）可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．兩式相減，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【變式6-4】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析.【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0符合SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【題型7含絕對值數(shù)列的前n項(xiàng)和】【例7】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，也滿足上式．故SKIPIF1<0．（2）由（1）可知：SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上：SKIPIF1<0【變式7-1】（2023·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為整數(shù)，SKIPIF1<0，設(shè)其前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，依題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.（2）依題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.【變式7-2】（2023·重慶·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是正項(xiàng)等比數(shù)列.SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0