黑龍江省哈爾濱市龍滌中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題理

PAGEPAGE12黑龍江省哈爾濱市龍滌中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題理一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1．用反證法證明“△ABC的三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證B<π2”假設正確的是(A.角B是銳角 B.角B不是銳角C.角B是直角 D.角B是鈍角2．已知為虛數(shù)單位，則的虛部是（）A． B． C． D．3．運用分析法證明成立，只需證（）A． B．C． D．4．若大前提是:任何實數(shù)的肯定值都大于0,小前提是:m∈R,結論是:|m|>0,那么這個演繹推理出錯在()A.大前提 B.小前提C.推理過程D.沒有出錯5．6個學校的師生輪番去某個電影院觀看某電影，每個學校包一場，則不同的包場依次的種數(shù)是()A．720B．480C．540D．1206．函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點；②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調遞增；③-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點；④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．已知t是常數(shù)，若，則t=()A.1B.-2C.-2或4D.48．極坐標方程ρ=42cosπ4-θA.4 B.4π C.8 D.8π9．曲線y=x3在點(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成三角形面積為()A.83 B.73 C.5310．已知復數(shù)，，，滿意，則點的軌跡是（）A．線段 B．圓 C．雙曲線 D．橢圓11．若函數(shù)的圖象上存在與直線平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．12．定義在R上的奇函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f'(x),當x∈(0,+∞)時,都有2f(x)+xf'(x)<1x,則不等式x2f(x)-2f(2)<x-2的解集為(A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(0,二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．有8名男生和3名女生，從中選出4人分別擔當語文、數(shù)學、英語、物理學科的課代表，若某女生必需擔當語文課代表，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)14．如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為．15．曲線y=x2-2x與直線x=-1,x=1以及x軸所圍圖形的面積為.

16．設△ABC的三邊長分別為a,b,c,面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則S=12(a+b+c)r,類比這個結論知:四面體S-ABC的四個面的面分別為S1,S2,S3,S4,體積為V,內(nèi)切球半徑為R,則V=三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知m∈R,i為虛數(shù)單位,且(m+2i)2=-3+4i.(1)求實數(shù)m的值;(2)若|z-1|=|m+2i|,求復數(shù)z在復平面上所對應的點P的軌跡方程.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知圓：，直線：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程與直線的參數(shù)方程；（2）設點，若直線與圓交于兩點，且，求實數(shù)的值.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．20．（12分）已知正數(shù)列滿意．（1）求，，的值；（2）試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．21.（12分）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=22-2t,y=2+t,（t為參數(shù)），以O為極點，x（1）求直線l的一般方程，以及曲線C的參數(shù)方程；（2）點P是曲線C上隨意一點，點A在l上，且直線PA與l的夾角為45°，求∣PA∣22．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若非零實數(shù)a使得對恒成立，求a的取值范圍．龍滌中學2024-2025學年其次學期高二期中考試數(shù)學試題（理科）答案命題人：一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1．用反證法證明“△ABC的三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證B<π2”假設正確的是(A.角B是銳角 B.角B不是銳角C.角B是直角 D.角B是鈍角【答案】B【解析】∵小于的反面是大于等于,∴“假設”應為B≥π2即角B不是銳角.故選B.2．已知為虛數(shù)單位，則的虛部是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，虛部為，故選A．3．運用分析法證明成立，只需證（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，化簡得，因為，，只需證明，故選C．4．若大前提是:任何實數(shù)的肯定值都大于0,小前提是:m∈R,結論是:|m|>0,那么這個演繹推理出錯在()A.大前提 B.小前提C.推理過程D.沒有出錯【答案】A【解析】依據(jù)實數(shù)的性質可知,|0|=0,所以任何實數(shù)的肯定值都大于0是錯誤的,所以推理中的大前提是錯誤的,故選A.5．6個學校的師生輪番去某個電影院觀看某電影，每個學校包一場，則不同的包場依次的種數(shù)是()A．720B．480C．540D．120【答案】A【解析】因為是輪番放映，故不同的包場依次的種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.故選A.6．函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點；②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調遞增；③-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點；④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A7．已知t是常數(shù)，若，則t=()A.1B.-2C.-2或4D.4【答案】D【解析】由得，，解得t=4或t=-2（舍去）.8．極坐標方程ρ=42cosπ4-θA.4 B.4π C.8 D.8π【答案】D【解析】因為ρ=42cosπ4-θ=4222cosθ+22sinθ=4cosθ+4sinθ,所以ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ,即x2+y2=4x+4y,(x-9．曲線y=x3在點(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成三角形面積為()A.83 B.73 C.53【答案】A【解析】∵y=x3,∴y'=3x2,當x=1時,切線的斜率為y'=3,∴曲線在點(1,1)處的切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.令y=0得x=23∴切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為S=12×2-23×10．已知復數(shù)，，，滿意，則點的軌跡是（）A．線段 B．圓 C．雙曲線 D．橢圓【答案】D【解析】復平面上，復數(shù)滿意，則對應的點到點，點的距離和為，即，，∴復數(shù)對應的點在以為焦點，長軸長為的橢圓上，故選D．11．若函數(shù)的圖象上存在與直線平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)存在與直線平行的切線，即在上有解，而，即在上有解，得在上有解，∵，當且僅當時“＝”成立．∴，∴a的取值范圍是，故選D．12．定義在R上的奇函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f'(x),當x∈(0,+∞)時,都有2f(x)+xf'(x)<1x,則不等式x2f(x)-2f(2)<x-2的解集為(A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(0,【答案】A【解析】∵當x∈(0,+∞)時,都有2f(x)+xf'(x)<1x∴當x∈(0,+∞)時,都有2xf(x)+x2f'(x)<1,即2xf(x)+x2f'(x)-1<0.設g(x)=x2f(x)-x,則g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)-1,則當x>0時,g'(x)<0,此時函數(shù)g(x)是減函數(shù).∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴g(0)=0,且g(x)=x2f(x)-x是R上的奇函數(shù),∴函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù),∴不等式x2f(x)-2f(2)<x-2等價為x2f(x)-x<(2)2f(2)-2,即g(x)<g(2),∴x>2,即不等式的解集為(2,+∞).故選A.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．有8名男生和3名女生，從中選出4人分別擔當語文、數(shù)學、英語、物理學科的課代表，若某女生必需擔當語文課代表，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)【答案】720【解析】由題意知，從剩余10人中選出3人擔當3個學科課代表，有Aeq\o\al(3,10)＝720種．14．如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為．【答案】15．曲線y=x2-2x與直線x=-1,x=1以及x軸所圍圖形的面積為.

【答案】2【解析】依據(jù)題意畫出圖形,如圖:曲線y=x2-2x與直線x=-1,x=1以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為-10(x2-2x)dx+01(2x-x2)dx=13x16．設△ABC的三邊長分別為a,b,c,面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則S=12(a+b+c)r,類比這個結論知:四面體S-ABC的四個面的面分別為S1,S2,S3,S4,體積為V,內(nèi)切球半徑為R,則V=【答案】13(S1+S2+S3+S4)【解析】設四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個面的距離都是R,所以四面體的體積等于以O為頂點,分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和,即四面體的體積為13(S1+S2+S3+S4)三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知m∈R,i為虛數(shù)單位,且(m+2i)2=-3+4i.(1)求實數(shù)m的值;(2)若|z-1|=|m+2i|,求復數(shù)z在復平面上所對應的點P的軌跡方程.【解析】(1)∵(m+2i)2=-3+4i,∴m2+4mi-4=-3+4i,∴m=1.(2)若|z-1|=|m+2i|,由(1)得|z-1|=|1+2i|.設z=x+yi(x,y∈R),則|x-1+yi|=|1+2i|,∴復數(shù)z在復平面上所對應的點P的軌跡方程是(x-1)2+y2=5.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知圓：，直線：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程與直線的參數(shù)方程；（2）設點，若直線與圓交于兩點，且，求實數(shù)的值.【解析】（1）圓：，則，則極坐標方程為，直線為，直線的斜率為，傾斜角為，所以直線參數(shù)方程為(為參數(shù))；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的平面直角坐標方程得，整理得，由得，解得，則，解得或，均符合.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．【解析】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－eq\f(1,2).所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).20．（12分）已知正數(shù)列滿意．（1）求，，的值；（2）試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．【解析】（1）當時，，又，∴；當時，，解得；當時，，解得．（2）猜想，①當時，由（1）可知結論成立；②假設當時，結論成立，即成立，則當時，由與得：，∴，又，∴成立，綜上所述得成立．21.（12分）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=22-2t,y=2+t,（t為參數(shù)），以O為極點，x（1）求直線l的一般方程，以及曲線C的參數(shù)方程；（2）點P是曲線C上隨意一點，點A在l上，且直線PA與l的夾角為45°，求∣PA∣【解析】（1）由直線l的參數(shù)方程x=22-2t,y=2+t,（t為參數(shù)），得x-2故l的直角坐標方程為x+2y-42由x=ρcosθ，y=ρsinθ，