2025版高考數學一輪總復習第2章函數第9節(jié)函數與方程學案含解析

函數與方程[考試要求]結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，推斷一元二次方程根的存在性與根的個數．1．函數的零點(1)函數零點的定義．對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)三個等價關系．方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．提示：函數的零點不是函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點，而是交點的橫坐標，也就是說函數的零點不是一個點，而是一個數．2．函數的零點存在性定理假如函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．提示：函數的零點存在性定理只能推斷函數在某個區(qū)間上的變號零點，而不能推斷函數的不變號零點．3．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關系分類Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數2104．二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連綿不斷且f(a)f(b)＜0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．eq\a\vs4\al([常用結論])有關函數零點的三個結論(1)若y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連綿不斷，且有f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)肯定有零點．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．(3)若函數f(x)在[a，b]上是單調函數，且f(x)的圖象連綿不斷，則f(a)·f(b)<0?函數f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個零點．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．()(2)函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數圖象連綿不斷)，則f(a)·f(b)＜0.()(3)若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)＜0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．()(4)二次函數y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac(5)只要函數有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、教材習題衍生1．(多選)若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為連綿不斷的一條曲線，則下列說法中不正確的是()A．若f(a)f(b)＞0，則不存在實數c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)＜0，則存在且只存在一個實數c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)＞0，則有可能存在實數c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)＜0，則有可能不存在實數c∈(a，b)，使得f(c)＝0ABD[對函數f(x)＝x2，f(－1)f(1)＞0，但f(0)＝0，故A錯；對于函數f(x)＝x3－x，f(－2)f(2)＜0，但f(0)＝f(－1)＝f(1)＝0，故B錯；函數f(x)＝x2滿意C，故C正確；由零點存在性定理知D錯．]2．函數f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C[由題意得f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋8－6＝ln4＋2＞0，∴f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3)．]3．函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是________．1[∵函數f(x)＝ex＋3x在R上是增函數，且f(－1)＝eq\f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，因此函數f(x)有唯一零點．]4．若函數f(x)＝x2－4x＋a存在兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是________．(－∞，4)[由題意知Δ＝16－4a＞0，解得a考點一判定函數零點所在區(qū)間推斷函數零點所在區(qū)間的方法1．(多選)已知函數f(x)＝x－logeq\s\do6(\f(1,2))x.若0＜a＜b＜c，則f(a)f(b)f(c)＜0，那么下列說法肯定正確的是()A．f(x)有且只有一個零點B．f(x)的零點在(0,1)上C．f(x)的零點在(a，b)上D．f(x)的零點在(c，＋∞)上AB[因為y＝x，y＝－logeq\s\do6(\f(1,2))x均為(0，＋∞)上的增函數，所以f(x)為(0，＋∞)上的增函數．因為f(1)＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，所以由零點存在性定理可知f(x)有且只有一個零點且零點在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內，故A、B正確．因為f(a)f(b)f(c)＜0，所以f(a)，f(b)，f(c)的符號為兩正一負或全負，而0＜a＜b＜c，故f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＜0，f(b)＞0，f(c)＞0.若f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0，則零點在(c，＋∞)內；若f(a)＜0，f(b)＞0，f(c)＞0，則零點在(a，b)內．故C、D不肯定正確．]2．若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝x的解，則x0屬于區(qū)間()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C[令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x，則x0是函數f(x)的零點，函數f(x)在R上圖象是連續(xù)的，且f(0)＝1＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，因此x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，故選C.]3．若a＜b＜c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)上 B．(－∞，a)和(a，b)上C．(b，c)和(c，＋∞)上 D．(－∞，a)和(c，＋∞)上A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函數零點存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內分別存在一個零點；又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點，因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內，故選A.]4．(2024·天津模擬)設函數f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－eq\f(1,x)，若f(x1)＝g(x2)＝0，則()A．0＜g(x1)＜f(x2) B．g(x1)＜0＜f(x2)C．f(x2)＜0＜g(x1) D．f(x2)＜g(x1)＜0B[函數f(x)是R上的增函數，g(x)是(0，＋∞)上的增函數，∵f(0)＝e－1－4＜0，f(1)＝5－4＝1＞0，又f(x1)＝0，∴0＜x1＜1，∵g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)＞0，又g(x2)＝0，∴1＜x2＜2，∴f(x2)＞f(1)＞0，g(x1)＜g(1)＜0，∴g(x1)＜0＜f(x2)，故選B.]點評：由f(a)·f(b)＞0，并不能說明函數f(x)在區(qū)間(a，b)上沒有零點，若f(x)在(a，b)上是單調函數，則f(x)在(a，b)上無零點．考點二確定函數零點的個數確定函數零點個數的方法[典例1](1)(2024·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點個數為()A．2 B．3C．4 D．5(2)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,2x＋1，x≤0))的零點個數為()A．0 B．1C．2 D．3(3)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數為()A．1 B．2C．3 D．4(1)B(2)D(3)C[(1)由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零點有3個，故選B.(2)依題意，在考慮x＞0時可以畫出函數y＝lnx與y＝x2－2x的圖象(如圖)，可知兩個函數的圖象有兩個交點，當x≤0時，函數f(x)＝2x＋1與x軸只有一個交點，綜上，函數f(x)有3個零點．故選D.(3)因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，所以f(0)＝0，即x＝0是函數f(x)的1個零點．當x＞0時，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數圖象有1個交點，所以函數f(x)有1個零點．依據對稱性知，當x＜0時，函數f(x)也有1個零點．綜上所述，f(x)的零點個數為3.]點評：數形結合法確定函數零點個數的關鍵是正確畫出函數的圖象．在畫函數的圖象時，常利用函數的性質，如周期性、對稱性等，同時還要留意函數定義域的限制．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為()A．1 B．2C．3 D．4B[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.在同一坐標系下分別畫出函數g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)覺兩個函數圖象肯定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點．故選B.]2．若定義在R上的偶函數f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數y＝f(x)－log3|x|的零點的個數是()A．0 B．2C．4 D．6C[畫出函數y＝f(x)和y＝log3|x|的部分圖象如圖所示．由圖知，函數y＝f(x)－log3|x|的零點的個數為4.]考點三求與零點有關的參數問題已知函數有零點(方程有根)，求參數的值或取值范圍的方法依據函數零點的個數求參數的取值范圍[典例2－1](多選)(2024·遼寧丹東月考改編)若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1))恰有兩個零點，則實數a的取值可能為()A．0 B．eq\f(1,2)C．2 D．3BCD[法一：當a＝0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＜1，,4x2，x≥1，))當a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)，x＜1，,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))x－1，x≥1，))當a＝2時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x＜1，,4x－2x－4，x≥1，))當a＝3時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3，x＜1，,4x－3x－6，x≥1，))通過作圖很簡潔推斷B，C，D成立，A不成立，故選BCD.法二：設h(x)＝2x－a(x＜1)，g(x)＝4(x－a)(x－2a)(x≥1)，若h(x)的圖象與x軸有一個交點，則a＞0，且2－a＞0，所以0＜a＜2.依據題意知，此時函數g(x)的圖象與x軸只有一個交點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥1，,a＜1，))得eq\f(1,2)≤a＜1.若函數h(x)的圖象與x軸沒有交點，則函數g(x)的圖象與x軸有兩個交點，當a≤0時，h(x)的圖象與x軸無交點，g(x)的圖象與x軸無交點，所以不滿意題意．當2－a≤0，即a≥2時，h(x)的圖象與x軸無交點，g(x)的圖象與x軸有兩個交點，滿意題意．綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)，故選BCD.]點評：已知函數的零點個數，一般利用數形結合思想轉化為兩個函數圖象的交點個數，這時圖形肯定要精確，這種數形結合的方法能夠幫助我們直觀解題．依據函數有零點求參數的取值范圍[典例2－2](1)函數f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，則實數a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))(2)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,x－1，x＞1，))則函數F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)總有零點時，實數a的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)C．[－1,0)∪(1,2] D．[0,1](1)D(2)A[(1)由題意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，設t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，所以實數a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1.∵函數f(x)的值域為(－1，＋∞)，∴a2－a－1＞－1，解得a＜0或a＞1.故選A.]點評：函數f(x)有零點?f(x)＝0有解，此時可分別參數，化為a＝g(x)的形式，則a的取值范圍就是g(x)的值域．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,2x－1，x＞0))(a∈R)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1]C．[－1,0) D．(0,1]D[當x＞0時，由2x－1＝0得x＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,2)是函數f(x)的一個零點，故方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一個解．即a＝2x在(－∞，0]上有一個解，又當x∈(－∞，0]時0＜2x≤1，則0＜a≤1，故選D.]2．若函數f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，則實數a的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))[∵函數f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．令y＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4).∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴實數a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).]核心素養(yǎng)3用數學眼光視察世界——解嵌套函數的零點問題函數的零點是高考命題的熱點，主要涉及推斷函數零點的個數或范圍，?？疾槿魏瘮蹬c復合函數相關零點，與函數的性質和相關問題交匯．對于嵌套函數的零點，通常先“換元解套”，將復合函數拆解為兩個相對簡潔的函數，借助函數的圖象、性質求解.嵌套函數零點個數的推斷eq\a\vs4\al([素養(yǎng)案例1])已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2,2)，x≤1，,|log2x－1|，x＞1，))則函數F(x)＝f(f(x))－2f(x)－eq\f(3,2)的零點個數是()A．4 B．5C．6 D．7A[令f(x)＝t，則函數F(x)可化為y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)，則函數F(x)的零點問題可轉化為關于方程f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0的根的問題．令y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0，則f(t)＝2t＋eq\f(3,2).分別作出y＝f(t)和y＝2t＋eq\f(3,2)的圖象，如圖①，由圖象可得有兩個交點，橫坐標設為t1，t2(不妨設t1＜t2)，則t1＝0,1＜t2＜2；由圖②，結合圖象，當f(x)＝0時，有一解，即x＝2；當f(x)＝t2時，結合圖象，有3個解．所以y＝f[f(x)]－2f(x)－eq\f(3,2)共有4個零點．圖①圖②][評析]1.推斷嵌套函數零點個數的主要步驟：(1)換元解套，轉化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或推斷圖象交點個數．2．抓住兩點：(1)轉化換元．(2)充分利用函數的圖象與性質．eq\a\vs4\al([素養(yǎng)培優(yōu)])已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))則函數y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點個數是________．5[由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函數y＝f(x)的圖象如圖所示．由圖象知y＝eq\f(1,2)與y＝f(x)的圖象有2個交點，y＝1與y＝f(x)的圖象有3個交點．因此函數y＝2[f(x)]2