高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專(zhuān)用)2.6.1冪函數(shù)(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第二章函數(shù)2.6.1冪函數(shù)（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中為常數(shù).注意：冪函數(shù)中底數(shù)是自變量，而指數(shù)函數(shù)中指數(shù)為自變量.二冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（1）五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖像：如右圖所示（2）五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3定義域RRR值域RR奇偶性奇非奇非偶偶奇奇單調(diào)性R上增上增(－∞，0)上減[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上減(0，＋∞)上減公共點(diǎn)（1）所有的冪函數(shù)在區(qū)間上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都過(guò)點(diǎn).（2）如果，冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，并且在上是增函數(shù)（3）如果，冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，并且在上是減函數(shù)題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一冪函數(shù)的概念典例1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．B．C． D．變式1-1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．B．C． D．變式1-2．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．變式1-3．已知冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值為（

）A．1 B．2 C．-2 D．1或2變式1-4．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法二冪函數(shù)的圖像典例2．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．變式2-1．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的圖象是（

）A．B．C． D．變式2-2．如圖，①②③④對(duì)應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖像，其中①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)是（

）A． B． C． D．變式2-3．圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、變式2-4．已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說(shuō)法：①和圖象都過(guò)點(diǎn)；②和圖象都過(guò)點(diǎn)；③在區(qū)間上，增長(zhǎng)速度更快的是；④在區(qū)間上，增長(zhǎng)速度更快的是.則其中正確命題的序號(hào)是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④題型戰(zhàn)法三冪函數(shù)的定義域典例3．下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．變式3-1．若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3-2．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．變式3-3．5個(gè)冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤變式3-4．若函數(shù)則函數(shù)y＝f(4x－3)的定義域是()A．(－∞，＋∞) B．C． D．題型戰(zhàn)法四冪函數(shù)的值域典例4．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．4 D．變式4-1．在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．變式4-2．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．變式4-3．已知函數(shù)fx=3x?2,xA． B．C． D．變式4-4．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．題型戰(zhàn)法五冪函數(shù)的單調(diào)性典例5．下列函數(shù)在上為減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．變式5-1．已知函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式5-2．已知函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5-3．已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或 B．3 C． D．或3變式5-4．已知冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8題型戰(zhàn)法六冪函數(shù)的奇偶性典例6．下列函數(shù)是奇函數(shù)的為（

）A． B．C． D．變式6-1．下列函數(shù)中，值域是且為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．變式6-2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是定義域內(nèi)的增函數(shù)為（

）A． B．C． D．變式6-3．設(shè)，使函數(shù)的定義域是R，且為偶函數(shù)的所有的值是（

）A．2 B．1，2C．，2 D．，1，2變式6-4．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2題型戰(zhàn)法七比較大小與解不等式典例7．設(shè)，則a，b，c大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式7-1．，則（

）A． B． C． D．變式7-2．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．變式7-3．已知，則的取值范圍是（

）A．2,+∞ B． C． D．變式7-4．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．第二章函數(shù)2.6.1冪函數(shù)（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中為常數(shù).注意：冪函數(shù)中底數(shù)是自變量，而指數(shù)函數(shù)中指數(shù)為自變量.二冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（1）五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖像：如右圖所示（2）五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3定義域RRR值域RR奇偶性奇非奇非偶偶奇奇單調(diào)性R上增上增(－∞，0)上減[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上減(0，＋∞)上減公共點(diǎn)（1）所有的冪函數(shù)在區(qū)間上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都過(guò)點(diǎn).（2）如果，冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，并且在上是增函數(shù)（3）如果，冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，并且在上是減函數(shù)題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一冪函數(shù)的概念典例1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由冪函數(shù)定義可直接得到結(jié)果.【詳解】形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選：C.變式1-1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷.【詳解】形如（為常數(shù)且）為冪函數(shù)，所以，函數(shù)為冪函數(shù)，函數(shù)、、均不是冪函數(shù).故選：C.變式1-2．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由已知條件求出的值，可得出函數(shù)的解析式，由此可求得的值.【詳解】設(shè)，由，可得，則，因此，.故選：B.變式1-3．已知冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值為（

）A．1 B．2 C．-2 D．1或2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，可知系數(shù)為1，指數(shù)應(yīng)小于0，由此列出不等式組，解得答案.【詳解】由題意可知：，解得,經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，符合題意，故選：A.變式1-4．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，因此，故選：A題型戰(zhàn)法二冪函數(shù)的圖像典例2．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)值、增長(zhǎng)特點(diǎn)，即可確定大致圖象.【詳解】由，排除B、D，根據(jù)對(duì)應(yīng)冪函數(shù)的性質(zhì)，第一象限增速逐漸變慢，排除C.故選：A.變式2-1．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，構(gòu)造方程求出指數(shù)的值，再結(jié)合函數(shù)的解析式研究其性質(zhì)即可得到圖象．【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，∵冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，解得∴，其定義域?yàn)?，且是增函?shù)，當(dāng)時(shí)，其圖象在直線(xiàn)的上方．對(duì)照選項(xiàng)可知C滿(mǎn)足題意．故選:C．變式2-2．如圖，①②③④對(duì)應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖像，其中①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出冪函數(shù)的指數(shù)取值范圍，得到正確答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得：①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，故，故D選項(xiàng)符合要求.故選：D變式2-3．圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)即可得出指數(shù)的可能取值．【詳解】由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對(duì)應(yīng)的，C2對(duì)應(yīng)的，C3對(duì)應(yīng)的，結(jié)合選項(xiàng)知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.變式2-4．已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說(shuō)法：①和圖象都過(guò)點(diǎn)；②和圖象都過(guò)點(diǎn)；③在區(qū)間上，增長(zhǎng)速度更快的是；④在區(qū)間上，增長(zhǎng)速度更快的是.則其中正確命題的序號(hào)是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【解析】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷即可【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，①正確，在區(qū)間上，越大增長(zhǎng)速度更快，③正確，故選：A.題型戰(zhàn)法三冪函數(shù)的定義域典例3．下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)冪函數(shù)的定義域可直接判斷，偶次根式被開(kāi)方式必須大于等于0才有意義，分式則必須分母不為0【詳解】對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，定義域?yàn)椋簩?duì)選項(xiàng)，則有：故答案選：變式3-1．若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將分式指數(shù)冪化為根式，結(jié)合根式的性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.變式3-2．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)?，則有，解得且，因此的定義域是．故選：B.變式3-3．5個(gè)冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【答案】C【解析】【分析】分別寫(xiě)出所給函數(shù)的定義域，然后作出判斷即可.【詳解】①的定義域?yàn)?，②的定義域?yàn)镽，③的定義域?yàn)?，④的定義域?yàn)镽，⑤的定義域?yàn)?，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.變式3-4．若函數(shù)則函數(shù)y＝f(4x－3)的定義域是()A．(－∞，＋∞) B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出，根據(jù)冪函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】?jī)绾瘮?shù)，,所以，所以，所以函數(shù)的定義域是，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考函數(shù)的定義域、不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.定義域的三種類(lèi)型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域由不等式求出.題型戰(zhàn)法四冪函數(shù)的值域典例4．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由于函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，從而可求出其最小值【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查由函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于基礎(chǔ)題變式4-1．在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】把冪函數(shù)寫(xiě)成根式的形式即可求出定義域及值域，逐項(xiàng)分析即可得解.【詳解】由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，定義域、值域相同；由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，，定義域、值域不相同.故選：D變式4-2．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，帶點(diǎn)計(jì)算可得，得到，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解即可.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.變式4-3．已知函數(shù)fx=3x?2,xA． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求得的值域.【詳解】當(dāng)吋，單調(diào)遞增，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故函?shù)值域?yàn)?故選：B變式4-4．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：的圖象過(guò)點(diǎn)，值域?yàn)榭键c(diǎn)：冪函數(shù)值域題型戰(zhàn)法五冪函數(shù)的單調(diào)性典例5．下列函數(shù)在上為減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)去判斷各選項(xiàng)的單調(diào)性即可解決.【詳解】選項(xiàng)A：由可得在上單調(diào)遞增.不符合要求，排除；選項(xiàng)B：由可得在上單調(diào)遞減.符合要求，可選；選項(xiàng)C：由可得在上單調(diào)遞增.不符合要求，排除；選項(xiàng)D：由可得在上單調(diào)遞增.不符合要求，排除.故選：B變式5-1．已知函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求得函數(shù)的定義域，再令，結(jié)合的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由，解得或，因?yàn)樵谶f減，在遞增，又因?yàn)樵谶f增，所以增區(qū)間為故選：A變式5-2．已知函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由分段函數(shù)是減函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性，可得，解不等式組即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.變式5-3．已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)是冪函數(shù)，解得或，再代入原函數(shù)，由函數(shù)在上是增函數(shù)確定最后的值.【詳解】∵函數(shù)是冪函數(shù)，則，∴或.當(dāng)時(shí)在上是增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)在上是減函數(shù)，不合題意.故選：B.變式5-4．已知冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】【分析】由于冪函數(shù)在在上為增函數(shù)，所以可得，求出的值，從而可求出冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得答案【詳解】由題意得，得，則，．故選：A題型戰(zhàn)法六冪函數(shù)的奇偶性典例6．下列函數(shù)是奇函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】奇函數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】奇函數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足，，的定義域?yàn)轱@然A,C,不成立，當(dāng)時(shí)，有，所以為奇函數(shù)，由可知，為偶函數(shù).故選：B．變式6-1．下列函數(shù)中，值域是且為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和值域確定正確選項(xiàng).【詳解】的值域?yàn)?，不符合題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，不符合題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.的定義域?yàn)?，是非奇非偶函?shù)，不符合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.令，其定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，且，即的值域?yàn)椋项}意，D選項(xiàng)正確.故選：D變式6-2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是定義域內(nèi)的增函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)及奇函數(shù)的定義結(jié)合反例逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，而，但，故在定義域上不是增函數(shù)，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故該函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)闀r(shí)，，故在定義域上不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，因?yàn)闉閮绾瘮?shù)且冪指數(shù)為3，故其定義域?yàn)镽，且為增函數(shù)，而，故為奇函數(shù)，符合.故選：D.變式6-3．設(shè)，使函數(shù)的定義域是R，且為偶函數(shù)的所有的