高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第05練空間直線、平面的平行(原卷版+解析)

第5練空間直線、平面的平行eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．在長(zhǎng)方體中，，分別是和的中點(diǎn)，長(zhǎng)方體的各棱中與平行的有A．一條 B．兩條 C．三條 D．四條2．如圖，已知點(diǎn)，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線段與上的點(diǎn)，平面，這樣的直線的條數(shù)為A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條3．如圖，在長(zhǎng)方體中，下列直線與平面平行的是A． B． C． D．4．設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充要條件可以是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個(gè)平面 C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線5．如圖，在下列四個(gè)正方體中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不平行的是A． B． C． D．6．如圖，在直三棱柱中，，，，．若在線段上存在點(diǎn)，使得平面，則點(diǎn)滿足A． B． C． D．7．下列條件中，能得到平面平面的條件是A．存在一條直線，， B．存在一條直線，， C．存在兩條平行直線，，，，， D．存在兩條異面直線，，，，，8．設(shè)直線平面，則過作平面，使，這樣的A．只能作一個(gè) B．至多可作一個(gè) C．不存在 D．至少可作一個(gè)9．兩個(gè)平面平行的條件是A．一個(gè)平面內(nèi)一條直線平行于另一個(gè)平面 B．一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行于另一個(gè)平面 C．一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面 D．兩個(gè)平面都平行于同一條直線10．可判斷平面平面的條件為A．平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面 B．平面與平面同平行于一條直線 C．平面內(nèi)有兩條直線平行于平面 D．平面內(nèi)有兩條相交直線與平面平行11．已知，為兩個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，且平面，平面，則是的A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．下列命題中①如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；③如果一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；④如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．正確命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．413．在正方體中，下列四對(duì)截面彼此平行的是（）A．平面與平面 B．平面與平面C．平面與平面 D．平面與平面14．已知、是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題，其中真命題是A．若，，，則 B．若，，且，則 C．若，，且，則 D．若，，，則15．如圖，在下列四個(gè)正方體中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的有個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．416．在三棱柱中，為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn)，若平面，則為A．棱的中點(diǎn) B．棱的中點(diǎn) C．棱的中點(diǎn) D．棱的中點(diǎn)二．多選題17．下列命題中錯(cuò)誤的是A．若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則 B．若直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行 C．若直線，和平面滿足，，則 D．若直線，，和平面，滿足，，，，則18．如圖，為矩形所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面19．如圖，在平行六面體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等．下列結(jié)論中正確的是A． B． C．平面 D．平面20．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，分別是棱，的中點(diǎn)，則A．平面 B．平面 C．平面 D．平面21．如圖，點(diǎn)，，，，為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，滿足直線平面的是A． B． C． D．三．填空題22．空間兩個(gè)角，，且與的兩邊對(duì)應(yīng)平行，若，則．23．已知直線，，平面，，若，，，則直線與的關(guān)系是．24．“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的條件．25．如圖，底面是平行四邊形的四棱錐中，，，且，若平面，則．26．考查下列兩個(gè)命題：“”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題（其中，為直線，，為平面），則此條件為．①；②；27．已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，為的中點(diǎn)，、分別為、上一點(diǎn)，且滿足，平面，則．28．下列三個(gè)說法：①若直線在平面外，則；②若直線，直線，，則；③若，，則與內(nèi)任意直線平行．其中正確的有．29．如圖所示，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形的邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則滿足條件時(shí)，有平面．30．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中為正方形，，，，分別為，，，的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②直線平面；③直線平面；④直線平面．其中正確的序號(hào)是．31．已知長(zhǎng)方體的側(cè)棱長(zhǎng)8，，分別是側(cè)棱，上的動(dòng)點(diǎn)，，在棱上，且，若平面，則．32．如圖，已知正方體，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上底面（含邊界）上運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)恰當(dāng)條件，當(dāng)點(diǎn)滿足條件時(shí)，有平面．33．在直三棱柱中，，，，，分別是，，，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷：①平面；②平面；③平面；④平面，則錯(cuò)誤的序號(hào)為．四．解答題34．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．求證：（Ⅰ）；（Ⅱ）平面平面．35．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：平面．36．如圖，四邊形是矩形，平面，平面．（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面的交線為，求證：．37．如圖，在正方體中，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）在棱上確定一點(diǎn)，使，，，四點(diǎn)共面，指出的位置即可，無需說明理由，并求四邊形的面積．38．如圖，在正三棱柱中，，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．39．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：若是棱的中點(diǎn)，則平面平面；（2）求三棱錐的體積．40．如圖，在四棱柱中，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）設(shè)為棱上的一點(diǎn)，問：當(dāng)在什么位置時(shí)，平面平面？第5練空間直線、平面的平行eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．在長(zhǎng)方體中，，分別是和的中點(diǎn)，長(zhǎng)方體的各棱中與平行的有A．一條 B．兩條 C．三條 D．四條【解析】如圖示：，，分別是和的中點(diǎn)，，又，，同理，，故選：．2．如圖，已知點(diǎn)，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線段與上的點(diǎn)，平面，這樣的直線的條數(shù)為A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【解析】如圖，當(dāng)?shù)酌嫦蛏掀揭茣r(shí)，設(shè)面面，與線段，分別交于點(diǎn)，，則面，又平面，所以平面，由于這樣的平行平面有無數(shù)個(gè)，所以滿足題意的直線有無數(shù)條．故選：．3．如圖，在長(zhǎng)方體中，下列直線與平面平行的是A． B． C． D．【解析】，且平面，平面，平面．故選：．4．設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充要條件可以是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個(gè)平面 C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【解析】?jī)?nèi)有無數(shù)條直線與平行推不出，故不符合，，垂直于同一平面，得到或，故不符合，，平行于同一條直線，得到或與相交，故不符合，，垂直于同一條直線，故符合．故選：．5．如圖，在下列四個(gè)正方體中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不平行的是A． B． C． D．【解析】對(duì)于選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知，又平面，平面，平面，對(duì)于選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知，又平面，平面，平面，對(duì)于選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知，又平面，平面，平面，對(duì)于選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知體對(duì)角線與平面相交，所以直線與平面不平行，故選：．6．如圖，在直三棱柱中，，，，．若在線段上存在點(diǎn)，使得平面，則點(diǎn)滿足A． B． C． D．【解析】連接交于點(diǎn)，連接，如圖所示，平面，平面平面，平面，，又為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，故選：．7．下列條件中，能得到平面平面的條件是A．存在一條直線，， B．存在一條直線，， C．存在兩條平行直線，，，，， D．存在兩條異面直線，，，，，【解析】對(duì)于，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行．故不對(duì)；對(duì)于，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故不對(duì)；對(duì)于，兩個(gè)平面中的兩條直線平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故不對(duì)；對(duì)于，兩個(gè)平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故正確．故選：．8．設(shè)直線平面，則過作平面，使，這樣的A．只能作一個(gè) B．至多可作一個(gè) C．不存在 D．至少可作一個(gè)【解析】當(dāng)時(shí)，過作平面，使得，由平面與平面平行的性質(zhì)得：這樣的平面有且只有1個(gè)．與相交時(shí)，設(shè)平面為，與交點(diǎn)為，根據(jù)題意，，則且，這與矛盾，這樣的不存在．綜上所述，過平面外一條直線與平行的平面的個(gè)數(shù)為至多1個(gè)．故選：．9．兩個(gè)平面平行的條件是A．一個(gè)平面內(nèi)一條直線平行于另一個(gè)平面 B．一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行于另一個(gè)平面 C．一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面 D．兩個(gè)平面都平行于同一條直線【解析】對(duì)于，一個(gè)平面內(nèi)一條直線平行于另一個(gè)平面，則兩平面相交或平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，一個(gè)平面內(nèi)兩條平行直線平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面有可能相交，只有一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面才平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由平面與平面平行的判定定理得：一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，故正確；對(duì)于，兩個(gè)平面都平行于同一條直線，則這兩個(gè)平面相交或平行，故錯(cuò)誤．故選：．10．可判斷平面平面的條件為A．平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面 B．平面與平面同平行于一條直線 C．平面內(nèi)有兩條直線平行于平面 D．平面內(nèi)有兩條相交直線與平面平行【解析】若是平面內(nèi)有無數(shù)條平行的直線平行于平面無法得到，不符合；平面與平面同平行于一條直線，則，有可能相交，不符合；若是平面內(nèi)兩條平行直線平行于平面無法得到，不符合；根據(jù)面面平行判定定理可知，符合，故選：．11．已知，為兩個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，且平面，平面，則是的A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解析】，為兩個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，且平面，平面，如圖，滿足，但，相交，故充分性不成立，再如下圖：滿足，但，異面，故必要性不成立，是的不充分不必要條件．故選：．12．下列命題中①如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；③如果一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；④如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．正確命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【解析】對(duì)于①，根據(jù)面面平行的定義可知，必須是平面內(nèi)的所有直線都與另外一個(gè)平面平行，否則面面不一定平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，根據(jù)面面平行的判定定理可知，平面內(nèi)的兩條直線必須是相交直線，否則面面不一定平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，根據(jù)面面平行的定義可知，一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，故正確；對(duì)于④，根據(jù)面面平行的判定定理可知，一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行，故正確；綜上所述，正確的命題個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：．13．在正方體中，下列四對(duì)截面彼此平行的是（）A．平面與平面 B．平面與平面C．平面與平面 D．平面與平面【解析】如圖，正方體，所以四邊形是平行四邊形，平面，面，所以平面，同理平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?故選：A14．已知、是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題，其中真命題是A．若，，，則 B．若，，且，則 C．若，，且，則 D．若，，，則【解析】、是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，對(duì)于，若，，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，且，則由線面垂直的性質(zhì)得，故正確；對(duì)于，若，，且，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，，則與平行或異面，故錯(cuò)誤．故選：．15．如圖，在下列四個(gè)正方體中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的有個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】對(duì)于①，如圖，為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，可得，又平面，所以直線與平面不平行；對(duì)于②，由于，結(jié)合線面平行的判定定理可知與平面平行；對(duì)于③，由于，結(jié)合線面平行的判定定理可知與平面平行；對(duì)于④，由于，結(jié)合線面平行的判定定理可知與平面平行．所以在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的有3個(gè)．故選：．16．在三棱柱中，為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn)，若平面，則為A．棱的中點(diǎn) B．棱的中點(diǎn) C．棱的中點(diǎn) D．棱的中點(diǎn)【解析】對(duì)于：當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，與相交，故與平面不平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，與相交，故與平面不平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)為棱的中點(diǎn)，與平面不平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于：如圖，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，由，，可得四邊形為平行四邊形，即有，由平面，平面，所以平面，同理可得平面，由，可得平面平面，由于平面，則平面．故選：．二．多選題（共5小題）17．下列命題中錯(cuò)誤的是A．若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則 B．若直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行 C．若直線，和平面滿足，，則 D．若直線，，和平面，滿足，，，，則【解析】．當(dāng)直線與平面相交時(shí)滿足有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；．當(dāng)直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，故錯(cuò)誤；．當(dāng)直線，和平面滿足，，則或與相交或與異面，故錯(cuò)誤；．因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故正確．故選：．18．如圖，為矩形所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【解析】矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以是的中位線，，平面，平面，平面，故正確；平面，平面，平面，故正確；因?yàn)椋矫?，平面，所以與平面，平面相交，故錯(cuò)誤；故選：．19．如圖，在平行六面體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等．下列結(jié)論中正確的是A． B． C．平面 D．平面【解析】因?yàn)?，，所以，所以，又平面，平面，平面，所以平面，平面，故選項(xiàng)，，正確，又與不平行，所以與不平行，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．20．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，分別是棱，的中點(diǎn)，則A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【解析】，分別是棱，的中點(diǎn)，連接，交于四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，故正確；平面，平面，平面，故正確；平面，，與平面不平行，故錯(cuò)誤；平面，，與平面不平行，故錯(cuò)誤．故選：．21．如圖，點(diǎn)，，，，為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，滿足直線平面的是A． B． C． D．【解析】選項(xiàng)，如圖所示，點(diǎn)，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則，平面，平面，平面，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，如圖所示，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則，，，，、平面，、平面，平面平面，又平面，平面，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，如圖所示，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則平面平面，平面，平面，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，連接，則，，，，四點(diǎn)共面，平面，與平面相矛盾，即選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．三．填空題22．空間兩個(gè)角，，且與的兩邊對(duì)應(yīng)平行，若，則．【解析】因?yàn)榭臻g兩個(gè)角與的兩邊對(duì)應(yīng)平行，所以或，因?yàn)?，所以或．故答案為：或?3．已知直線，，平面，，若，，，則直線與的關(guān)系是．【解析】直線，，平面，，若，，，可得，沒有公共點(diǎn)，則直線與的關(guān)系是平行或異面．故答案為：平行或異面．24．“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的條件．【解析】根據(jù)直線與平面平行的定義：“直線與平面沒有公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面平行“所以“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的充要條件，故答案為：充要．25．如圖，底面是平行四邊形的四棱錐中，，，且，若平面，則．【解析】連接，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的平行線，交棱于點(diǎn)，連接，，如圖所示，平面，平面，，平面平面，，即為的中點(diǎn)，又，，．故答案為：．26．考查下列兩個(gè)命題：“”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題（其中，為直線，，為平面），則此條件為．①；②；【解析】（1）由線面平行的判定定理知應(yīng)填“”；（2）易知應(yīng)填“”．故答案為：；．27．已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，為的中點(diǎn)，、分別為、上一點(diǎn)，且滿足，平面，則．【解析】連接，，如圖所示，平面，平面平面，平面，，，，又為邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，，，故答案為：．28．下列三個(gè)說法：①若直線在平面外，則；②若直線，直線，，則；③若，，則與內(nèi)任意直線平行．其中正確的有．【解析】對(duì)于①，若直線在平面外，可能與平面相交，不一定平行．故不正確；對(duì)于②，由直線與平面平行的判定定理可知正確；對(duì)于③，與平面內(nèi)的直線可能平行，相交或異面，故錯(cuò)誤．故答案為：②．29．如圖所示，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形的邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則滿足條件時(shí)，有平面．【解析】連接，，，，，，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形的邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，，，，又，，，，，，，，平面平面，滿足條件線段時(shí)，有平面．故答案為：線段．30．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中為正方形，，，，分別為，，，的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②直線平面；③直線平面；④直線平面．其中正確的序號(hào)是．【解析】作出立體圖形如圖所示，連接，，，四點(diǎn)構(gòu)成平面，對(duì)于①，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，故①正確；對(duì)于②，連接，交于點(diǎn)，連接，，則為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故②正確；對(duì)于③，由①中的分析可知，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故③正確；對(duì)于④，根據(jù)③中的分析可知，，再結(jié)合圖形可得，，則直線與平面不平行，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．31．已知長(zhǎng)方體的側(cè)棱長(zhǎng)8，，分別是側(cè)棱，上的動(dòng)點(diǎn)，，在棱上，且，若平面，則．【解析】連接，交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，．在上截取，連接，則，，又，四邊形為平行四邊形，．又，，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，而，．故答案為：2．32．如圖，已知正方體，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上底面（含邊界）上運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)恰當(dāng)條件，當(dāng)點(diǎn)滿足條件時(shí)，有平面．【解析】取，，，的中點(diǎn)分別為，，，，連接，，，，，，，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以．同理可得．因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，可得．所以，同理可證明，，所以，，，，，共面，因?yàn)?，平面，面，所以平面，若平面，則點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)辄c(diǎn)在上底面（含邊界），所以點(diǎn)在面與面的交線上，所以點(diǎn)在線段上，即點(diǎn)在中點(diǎn)與中點(diǎn)連線上，故答案為：在中點(diǎn)與中點(diǎn)連線上．33．在直三棱柱中，，，，，分別是，，，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷：①平面；②平面；③平面；④平面，則錯(cuò)誤的序號(hào)為．【解析】連接、、、、、、、，所以，四邊形為平行四邊形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面，同理可證四邊形為平行四邊形，則，，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，則平面，，故平面平面，平面，則平面，③對(duì)；對(duì)于①，若平面，，則平面平面，因?yàn)檫^點(diǎn)且與平面平行的平面只有一個(gè)，矛盾，故①錯(cuò)，同理可知，②④均錯(cuò)．故答案為：①②④．四．解答題34．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．求證：（Ⅰ）；（Ⅱ）平面平面．【解析】證明：（Ⅰ）在正方形中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，則四邊形為平行四邊形，則；（Ⅱ）由，平面，平面，可得平面，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面．35．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：平面．【解析】證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)．所以，又因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，所以，因?yàn)槊?，面，所以面?6．如圖，四邊形是矩形，平面，