高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))4.9三角形中的最值、范圍問題(精練)(原卷版+解析)

4.9三角形中的最值、范圍問題【題型解讀】【題型一與角有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·全國·高三課時練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2csinC＝(a＋b)(sinB－sinA)，則當(dāng)角C取得最大值時，B＝（

）A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在?ABC中，內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c.已知acosB?bsinB=c.（1）若B=30°，求A.（2）求sinA+sinB的取值范圍.3．(2023·全國高三單元測試）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且，則的最大值為______．4．(2023·合肥百花中學(xué)高三期末）在中，，若，則的最大值是____________．5．(2023·全國高三課時練習(xí)）在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，?ABC的面積記為S?ABCa2（1）求∠C（2）若c=3，求2a?4sinB6．(2023·山東濰坊高三期末）已知銳角?ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b（1）求角A的大小；（2）求sinB?cosC的取值范圍【題型二與邊有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·廣西河池·高三期末）在中，，是線段上的點，，若的面積為，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．2.(2023·山東青島·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．3．(2023·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，．（1）若，求c的值；（2）求的最大值．4．(2023·甘肅蘭州·高三期中）在中，若，，則的最大值為（

）A．7 B． C． D．5.(2023·四川資陽市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小.（2）若a+c=1，求b的取值范圍.【題型三與周長有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·河南·高三階段練習(xí)）已知中，、分別是線段、的中點，與交于點，且，若，則周長的最大值為__________2.(2023·山東濟南市高三月考）在中，分別為內(nèi)角的對邊，若.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.3．(2023·陜西高三期中）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求B；（2）若△ABC的面積等于，求△ABC的周長的最小值．4．(2023·綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校月考）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，則△ABC的周長的最大值為________.5.(2023·濟南省實驗月考）在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．（1）求角C的大??；（2）若c＝eq\r(3)，求△ABC周長的取值范圍．【題型四與面積有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·貴州金沙·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求角A；(2)若，且AD＝2，求△ABC面積的最大值．2.(2023·湖南益陽·高三期末）設(shè)銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．(2023·山東省濟寧市高三月考）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為.（1）求角C；（2）若，求面積的最大值.4.(2023·湖南益陽月考）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，的面積，若，則的取值范圍是________．5.(2023·昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高三月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值．4.9三角形中的最值、范圍問題【題型解讀】【題型一與角有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·全國·高三課時練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2csinC＝(a＋b)(sinB－sinA)，則當(dāng)角C取得最大值時，B＝（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．又cosC＝＝≥＝.當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝b2，即b＝a時，cosC取到最小值，從而角C取到最大值.當(dāng)b＝a時，3a2－a2＝2c2，則a＝c．所以A＝C＝，從而B＝π－A－C＝π．故選：.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在?ABC中，內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c.已知acosB?bsinB=c.（1）若B=30°，求A.（2）求sinA+sinB的取值范圍.答案：（1）A=120°（2）1,【解析】（1）由正弦定理得：sinAcosB?sin∵sinC=sin∴sinAcosB?即sinAcosB?∴cosAsinB=?sin2B，∵sin∵0<A<180°，∴A=120°（2）由（1）得cosA=?sinB∴sin又cosA=?sinB=cos90°+B，∴∵A+B<180°，∴90°<A<135°，∴45°<A?45°<90°，∴22<sinA?45°<1則sinA+sinB的取值范圍是3．(2023·全國高三單元測試）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且，則的最大值為______．答案：【解析】因為，所以.因為,所以.所以因為，所以，所以，所以，所以.即的最大值為.故答案為：.4．(2023·合肥百花中學(xué)高三期末）在中，，若，則的最大值是____________．答案：【解析】解：因為，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,此時取得最小值，根據(jù)余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減可知，此時角取得最大值為

所以的最大值是故答案為:5．(2023·全國高三課時練習(xí)）在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，?ABC的面積記為S?ABCa2（1）求∠C（2）若c=3，求2a?4sinB答案：（1）C=π3【解析】（1）∵a2∴2abcosC=433由C為三角形內(nèi)角得C=π（2）由正弦定理得asin∴a=2sinA，∴2a?4sinB=4sinA?4sinB=4sinA?4sin由0<A<2π3得∴?32<sin故2a?4sinB的取值范圍?236．(2023·山東濰坊高三期末）已知銳角?ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b（1）求角A的大小；（2）求sinB?cosC的取值范圍答案：（1）A=π6【解析】（1）∵b2結(jié)合余弦定理，可得：cosA=∴cosA=32又∵0<A<π，∴A=（2）因為A+B+C=π，A=π6，所以B+C=5π6所以sin=3=1∵?ABC時候銳角三角形，∴0<5π6∴C∈π3,π2，∴∴12sin2C+π【題型二與邊有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·廣西河池·高三期末）在中，，是線段上的點，，若的面積為，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】依題意，所以，設(shè)，則，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A2.(2023·山東青島·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．答案：A【解析】∵角A，B，C成等差數(shù)列，∴，∵，∴，∴.根據(jù)正弦定理得：＝，∵，∴，∴，∴.故選：A.3．(2023·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，．（1）若，求c的值；（2）求的最大值．答案：（1）；（2）．【解析】（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C．又，∴．由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得．（2）由正弦定理，得，∴，．∴．由，得．所以當(dāng)時，即時，．4．(2023·甘肅蘭州·高三期中）在中，若，，則的最大值為（

）A．7 B． C． D．答案：B【解析】設(shè)，由正弦定理知，因此，故，其中，所以當(dāng)時，，取得最大值，且最大值為，故選：B.5.(2023·四川資陽市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小.（2）若a+c=1，求b的取值范圍.答案：（1）B=π3【解析】（1）由題意得，C=π?A+B∴cosC=?cos∴?cos∴?cosAcosB∴sinAsinB?3∵0<A<π，∴sinA≠0，∴sinB?3cosB=0，∵cosB≠0∵0<B<π，∴B=π（2）由（1）B=π3，∵∴由余弦定理可得：b2由ac≤a+c22=14，∴又由a+c>b，得b>1，∴1【題型三與周長有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·河南·高三階段練習(xí)）已知中，、分別是線段、的中點，與交于點，且，若，則周長的最大值為__________答案：【解析】在中，、分別是線段、的中點，與交于點，則為的重心，因為，故，則.，，所以，即，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，周長的最大值為.2.(2023·山東濟南市高三月考）在中，分別為內(nèi)角的對邊，若.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】(1)解：由及正弦定理得：，又，所以，所以，又，所以，(2)解：由正弦定理可得，所以，，所以的周長，因為，所以，所以所以，即，所以周長的取值范圍為．3．(2023·陜西高三期中）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求B；（2）若△ABC的面積等于，求△ABC的周長的最小值．答案：（1）；（2）．【解析】（1）因為，由正弦定理得．因為，所以sinA＞0，所以，所以，因為，所以，即．（2）依題意，即ac＝4．所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．又由余弦定理得∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時取等號．所以△ABC的周長最小值為．4．(2023·綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校月考）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，則△ABC的周長的最大值為________.答案：9【解析】解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，則a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋6sin，∵B∈，所以，∴當(dāng)B＝時，△ABC的周長取得最大值9.故答案為：9.5.(2023·濟南省實驗月考）在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．（1）求角C的大??；（2）若c＝eq\r(3)，求△ABC周長的取值范圍．答案：（1）C＝eq\f(2π,3)（2）【解析】（1）由題意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵0<C<π，∴C＝eq\f(2π,3)．（2）由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，則△ABC的周長為L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3)．∵0<A<eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)＜A＋eq\f(π,3)＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))≤1，∴2eq\r(3)<2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3)≤2＋eq\r(3)，∴△ABC周長的取值范圍是(2eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．【題型四與面積有關(guān)的最值、范圍問題】1.(2023·貴州金沙·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求角A；(2)若，且AD＝2，求△ABC面積的最大值．答案：(1)(2)【解析】(1)因為，由正弦定理得：．又，所以，即：，得出，又，所以；(2)在中，由余弦定理得：

①又因為，所以，且，即，由余弦定理，得

②將①②聯(lián)立得：，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．2.(2023·湖南益陽·高三期末）設(shè)銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得：，；，，，解得：，；由正弦定理得：；為銳角三角形，，解得：，，，，.故選：D.3．(2023·山東省濟寧市高三月考）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為.（1）求角C；（2）若，求面積的最大值.答案：（1）（2）【解析】（1）由，可得，，因為，所以，.（