初中數(shù)學復習資料合輯(初中三年)

實數(shù)

一、知識要點概述

?正整數(shù)'

整數(shù)零

有理數(shù)負戮有P艮小數(shù)瞬環(huán)小數(shù)

1、實數(shù)<[■正分數(shù)

分數(shù)

【負

?正蘇里數(shù),

無理數(shù)無限不簿不小數(shù)

負元里數(shù)

2、數(shù)軸：規(guī)定了原點，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應關系.

￡

3、有理數(shù)都可以表示為2的形式(p、q為整數(shù)且p、q互質(zhì))：任何一個分數(shù)都可以化成有限小數(shù)或循環(huán)小

數(shù).

4、實數(shù)運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方和開方運算，其中除數(shù)不能為0；開偶次方

時被開方數(shù)不能是負數(shù)；混合運算時，先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減，有括號時，按括號

指明的運算順序進行.

5、實數(shù)的大小比較有三種方法：

①數(shù)軸比較法：數(shù)軸上表示的兩實數(shù)，右邊的數(shù)大于左邊的數(shù).

②差值比較法：對于實數(shù)a,b,當a—b>0時a>b；當a—b=0時;a=b；當a—bVO時aVb.

a.a.a.

—>1-<1-=1

③商值比較法：對于兩個正數(shù)a,b,當力時a>b：當力時aVb；當合時，a=b.

6、近似數(shù)與有效數(shù)字：一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位，這時，從左邊

第一個不是0的數(shù)字起到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字.

7、科學記數(shù)法：把一個數(shù)記成axl()n的形式，叫做科學記數(shù)法，其中上間<10,n為整數(shù)，科學記數(shù)法表

示的數(shù)的有效數(shù)字以a的有效數(shù)字計算.

8、非負數(shù)：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，象lai,a2,、加白妾°)形式的數(shù)都是表示非負數(shù).

9、非負數(shù)的性質(zhì)：①最小的非負數(shù)是零；②若n個非負數(shù)的和為零，則每個非負數(shù)都為零.

二、典例剖析

例1、實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡出.

——1-----------1——1_>

b0a

解：

由數(shù)軸可知：a>O>b,⑸<lbl得b—a<0,a+b<0,所以：

a|+J(a+3)2=\b-a\+\a+b[=a-b-(a+b)=-2b.

點評：

數(shù)形結合的思想是本題的解題關鍵，應學會從數(shù)軸上讀出足夠多的信息為自己所用，同時要熟記各種

法則及應用.

例2:計算：(1)(內(nèi)2+(_孑_/73-1)7

11109341oo

(2)-40-x(l-+—)-S-0.5^(--)X---X[(-2)2-22

24144433

解：⑴原式=2+l-23x-jJ—

Q3~1

=2+l-20x^^=2+1-3-班

點評：⑴注意加=1(加0),1,=—(<7#0,p為正整數(shù))運用.

ap

⑵二次根式分母有理化運算.

解⑵原式=-?xg+罌)x2x(-1)x|--1x[4-4]

_￡1X289X2_44_lx0

2144'3，33

=289

點評：①帶分數(shù)在乘除運算中宜化成假分數(shù)；

②不能簡單地將…+(-'xg看成是…(-1);

③不可將-2?誤認為是4.

例3、⑴如果“臼+3一作-后不，求2x—y+z的值.

(2)若Ix+2y+3l+x?+y2=2xy,求x,'的值.

解：(1)原等式母鄉(xiāng)為|y-3|+|2x-4|+/二1=0

y-3=o，=3

由非負數(shù)的性質(zhì)得，2x-4=0<x=2

z-3=0z=3

:.2x-y+z=2x2-3+3=4

⑵原等式化為：|x+2y+3|+(x-y)2=0

由非負數(shù)的顏可得卜+2"3=0Jx

[x-y=o[y

：.^=(-1)-1=-1

點評：

算術平方根、絕對值、平方等具有非負性，在解題時應注意運用，同時注意幾個非負數(shù)的和為零時，

可得絕對值內(nèi)代數(shù)式為0,算術平方根的被開方數(shù)為0,平方的底數(shù)為0.

例4、填空題：

(1)近似數(shù)3.20x107精確到________位，有個有效數(shù)字.

(2)將908070萬保留兩個有效數(shù)字，用科學記數(shù)法表示為.

(3)光的速度約為3xl()5千米/秒，太陽光射到地球上需要的時間約為5x102秒，則地球與太陽的距離是

________千米.

解：⑴十萬，3

⑵9.1x109

(3)3x105X5X10J1.5x1。8千米

點評：

科學記數(shù)法是中考中常考的題目.應根據(jù)指定的精確度或有效數(shù)字的個數(shù)用四舍五入法求實數(shù)的近似

值，并會用科學記數(shù)法.

d+近)a+d-立抽一21-12_/=o

例5、已知a、b是有理數(shù)，且32412420，求a、b的值.

解：把己知等逑理得：(；0+(占一2；)+ga-Js-l()4=0

fl1,J°fJ

一。+一匕-2—=。a=3-

因為久決有螂44解得:

—ct——2?—1——=08=4—

121220I5

點評：

把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關于a、b的方程組.

例6、函數(shù)y=lx+ll+lx+2l+lx+3l,當x取何值時，y有最小值且最小值是多少？

分析：

先確定三個絕值的零點值，把x的取值范圍分為四個部分，然后逐一討論所求代數(shù)式的取值情況從而

確定其最小值.

解：

當它一1時，y=x+l+x+2+x+3=3x+6>3：

當一2Wx<-1時，y=-x—1+x+2+x+3=x+4>2；

當一3Wx<—2時，y=—x—1—x—2+x+3=—x,此時無最小值；

當x<—30寸，y=—X-1-X-2-X-3=_3x_6,此時無最小值.

所以當x=-2時，y的值最小，最小值是2.

點評：

解答此類題目的一般步驟是：①求零點，劃分區(qū)間；②按區(qū)間分別去掉絕對值的符號.

整式

一、知識要點概述

1、代數(shù)式的分類

［展式］單項式

小加一有理式［多項式

代數(shù)式<八一I

.分式

.無理式

2、同類項：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項.合并同類項時;只把同類項

系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變.

3、整式的運算

(1)整式的加減——先去括號或添括號，再合并同類項.

(2)整式的乘除

a.基的運算性質(zhì)

①am.a'am+ngW，m,n為整數(shù))

②(am)n=amn(a#O,m,n為整數(shù))

③(ab^aK'n為整數(shù)，a#),b/O)

b.零指數(shù)幕與負整數(shù)指數(shù)基

a°=l(aw0)

a-2=-!-=dy3*o,p為避數(shù))

apa

(3)乘法公式

a.平方差公式(a+b)(a-b)=a2—b2

b.完全平方公式：(aib『=a2±2ab+b2

4、基本規(guī)律

(1)代數(shù)式的分類遵循按所給的代數(shù)式的形式分類.

如娓整式但片是分式，正是磁式

x

(2)同類項的尋找是遵循兩同兩無關法則(字母相同，相同字母的指數(shù)相同；與系數(shù)無關，與字母的排

列順序無關.)

(3)整式的運算法則與有理數(shù)運算法則類似.

5、因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式叫多項式的因式分解.

6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分組分解法；④十字相乘法.

7、因式分解常用的公式如下：

@a2—b2=(a+b)(a—b)

?a2±2ab+b2=(a±b)2,

二、典例剖析

例1、填空題

1產(chǎn)"

(1)如果單項式3與一2x3y"b是同類項，那么這兩個單項式的積是.

(2)m,n滿足Im—21+(n—4)2=0.分解因式:(x2+y2)—(mxy+n).

解：⑴依同類項的定義得《

[a+8=2[b=1

故這兩個單項式分別是:廣/與-2xV，它們版只是-36y4

⑵由非負數(shù)的性質(zhì)得卜"2=°二f=2

?-4=0[依=4

所以原式=(/+/)-(2型+4)

=(z2-2xy+>^)-4=(x-y)2-4

=(x-y+2)(x-y-2)

例2、若3x3—x=l,求9x4+12x3—3x2—7x+2008的值.

分析：

此類代數(shù)式求值問題，一般采用整體代入法，即將要求的代數(shù)式經(jīng)過變形，使之含有3x3—x—1的乘

積的代數(shù)和的形式，再求其值.

解：由3x3—x=l得3x'—x—1=0

所以9x4+12x3—3x2—7x+2008

=3X(3X3-X-1)+4(3X3-X-1)+2012

=2012

m3+1

例3、已知多項式2x?+3xy—2yJx+8y—6可分解為(x+2y+m)(2x—y+n)的形式，求閥的值.

分析：

由題設可知，兩個一次三項式的積等于2x?+3xy-2y2-x+8y—6,根據(jù)多項式恒等的條件可列出關

于m,n的二元一次方程組，進而求出m、n.

解：由題意得：

(x+2y+m)(2x-y+n)=2x2+3xy-2y2—x+8y-6

XEI^J(x+2y+m)(2x—y+n)=2x2+3xy—2y2+(2m+n)x+(2n—m)y+mn

根據(jù)多項式恒等的條件，得：

2第+理=-1

<2n-m=8^^導］2

1?=3

〔加咒=一6

m3+l7

"?2-18

點評：解此類題的關鍵是利用多項式恒等對應項的系數(shù)相等得到相關方程組，求待定系數(shù).

例4、計算(1-中(1一次…(1-七)”盛).

分析：

本題若直接計算是很復雜的，因每個括號內(nèi)都是兩個數(shù)的平方差，故可利用平方差公式使計算簡化.

解：原式=+1)(1-1)(1+-)x-x(l--)(1+—)x(1--)(1+—!—)

'22332007200720082008

132432006200820072009

=-X—X—X-X—X---X----X-----X-----X-----

223342007200720082008

120092009

=-x----=-----.

220084016

點評：涉及與乘法有關的復雜計算，要創(chuàng)造條件運用公式簡化計算.

/+后=陋_,2

例5、已知a、b、c,滿足3,求(a-b尸+(b-c)2+(c-a)2的最大值.

分析：

條件等式和待求代數(shù)式都涉及數(shù)的平方關系，由此聯(lián)想到利用完全平方公式求其最大值.

解：由已知得02+52+。2=些

3

..(a-b)2+(i-c)2+(c-a'f

=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca

=3(/+62+c2)-(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)

=3x?-(a+a+c)2

=2005-Q+8+(7)2=2005

?(a-b)2+9-d+(c-a)2的最大值是2005.

點評：適當翔，合理I己方是解決這些問題的關鍵

例6、若2x3-kx2+3被2x+l除后余2,求k的值.

分析：

要求k的值，需找到關于k的方程，由2x3—k^+3被2x+l除后余后可知2x-‘一kx?+l能被2x+l

整除，由此可得關于k的一次方程.

解：?.?29-云^+3被2五+1除后余Z

-H2+1能被2x+l整除，

令2x+l=0得x=」

2

把工=-：代入2/-以2+1=0得

2

解得此=3.

點評：關鍵是利用余數(shù)定理找出關于k的方程，當f(x)能被x-a整除時，f(a)=O.

例7、分解因式

(l)a4+4；

(2)x3-3x2+4；

(3)x2+xy-6y2+x+13y—6；

(4)(x+y)(x+y+2xv)+(xy+l)(xy-1)

解：(l)a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

點評：

本題不可分組，又無法直接運用公式，但這兩項都是完全平方數(shù)，因此可通過添項利用公式去分解.

(2)解法一,：x3—3x2+4=x3+x2—4x2+4

=x2(x+1)—4(x+l)(x—1)

=(x+l)(x—2)2

解法2：x3—3X2+4=X3+1—3X2+3

=(x+l)(x2—x+1)—3(x+l)(x—1)

=(x+l)(x2—4x+4)=(x+l)(x—2)2

解法3：x3—3x2+4=x3+x2—4x2—4x+4x+4

=x2(x+1)—4x(x4-l)+4(x+1)

=(x+l)(x2—4x+4)

=(x+l)(x—2)2

點評：

這是一個關于x的三次式，直接運用分組分解法是難以完成的，可以先將二次項或常數(shù)項進行拆項，

再進行恰當?shù)姆纸M分解.

(3)設x2+xy-6v2+x+13y-6=(x+3y+m)(x-2y+n)

=x2-2xy+nx+3xy-6y2+3ny+mx-2my+my

=x2+xy-6y2+(n+m)x+(3n-2m)y+mn

m+n=l

J/K=-2

<3?-2^=13解得

比較左、右兩邊對應項系數(shù)得：I加閥=一6

，x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y-2)(x-2y+3).

點評：

這是一個二次六項式，運用分組分解法有困難，根據(jù)整式乘法可知，這個二次六項式可分解為兩個一

次三項式，且前三項二次式x2+xy-6y2=(x+3y)(x-2y),由此可知，這兩個一次式的常數(shù)項待定，因此

可用待定系數(shù)法分解.

(4)設x+y=a,xy=b

則原式=a(a+2b)+(b+l)(b—l)=a2+2ab+b2—1

=(a+b)2—l=(a+b+l)(a+b-1)

=(x+y+xy+l)(x+y+xy-1)

=(x+l)(y+l)(x+y+xy-1)

點評：

整體思想，換元思想是常用的數(shù)學思想方法，此題設x+y=a,xy二b進行代換后，再運用

公式法和提公因式法來分解.

分式

一、知識要點概述

1、分式的概念和性質(zhì)

AA

(1)定義：若用A、B表示兩個整式，A+B可以寫成3的形式，若B中含有字母，式子5叫做分式.

(2)，性質(zhì)：￡=但￡,<=上空(其中〃是不等于零的整式)

BBxMBB+M

說明：

1°分式的值為0的條件是：分子為零且分母不為0；2。當分母為零時，分式無意義；3。分式的基本性

質(zhì)是分式運算的重要依據(jù)，分式的運算方法和順序與分數(shù)的運算類似.

2、分式的運算法則

acad±bc

⑴加減涉-±-=——士—=---------

cccb~dbd

acadad

(2)乘除法:眈=總—十—=—■—=—

babdbdbcbe

⑶就:國=55為正整數(shù))

⑷解法則：-=^=-A=-Z￡

b-b-ob

說明：分式的符號變化法則是指整個分子分母和分數(shù)線前的符號，切忌只變分子或分母中第一項符號.

3、約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式的分子和分母中的公因式約去，叫做約分.

4、通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化成和原來的分式分別相等的同分母分式，叫做通分.

二、典例剖析

x2-X-6

例1、若分式x-3的值是絕對值最小的實數(shù).則*=.

分析：

絕對值最小的實數(shù)是0,從而得出分式的值為0,則分子為零且分母不為0,故可求出x.

由題育得'-"Ao,^-^6=0解得入=_2

解：x-3U-3^0

說明：

分式的值為0,分子為零都知道，但往往忽略分母不為0,這是此類題目的考察重點.

墳+3--10?2+3?-10

例2、如果n為正整數(shù)，6浮T6是既約分數(shù)，那么/+6汽-16

分析：

n2+3n-10=(n+5)(n-2),n2+6n-16=(n+8)(n—2)分式，分母有公因式n—2,但此分數(shù)為既約分

數(shù)，從而有11-2=1,易可求n,進而求出此分式值.

是既約分數(shù)；,?-=1,..?=3

解：由題影口工+/7°”呼一22

為+6加一16(?+8)(/2-2)

?原式=富4七個聆分數(shù)

說明：

解答此題的關鍵在于：巧妙運用既約分數(shù)的概念確定n的取值，注意化簡分式時先要分別將分子、分

母分解因式，再約分.

同舊兒的&+哄a+c),2b2(c+a)2c2(a+b)

例炎化簡：(a-以a-0+(b-/b-a)+(c-豕f

分析：

先找出原式中的最簡公分母，再對原式進行通分，然后將原式進行因式分解，以便約分化簡.

解后十_a(a+5)(a+c)(b-c)+2b2(c+a)(c-<?)+2c2(a+E)(a-5)

_a(a+b)(a+c)(b-c)-2a2Q?-c2)

(a-3(b-c)("c)

_a(b-c)[(a+b)(a+c)-2a(b+c)]

(a-b)Q^-c)(a-c}

a(b-c)(a-b)(a-c)

(。一8)(8-c)(a-c)

6x+3

例4、若x取整數(shù)，則使分式2x-l的值為整數(shù)的x有()

A.3個B.4個

C.6個D.8個

分析：

6x+3

將分式2為-1進行分析,即將它變形為一個整數(shù)部分與一個分子為整數(shù)的分式之和的形式，然后再討

論其整數(shù)的個數(shù).

解：

..6x+3_3(2x-1)+6_§+6

2x-l2x-l2x-1

.?.當2x-l=±l或±3時，x為整數(shù)，0,1,2,-1；

當2x-l=±6或±2時，x都不是整數(shù).

所以符合題意的x的取值只有4個，應選B項.

說明：將分式進行分拆，關鍵是在于把分子中含字母的部分湊成與分母相同的公因式.

例5、已知3a+2人5=2升”1--3“+2=2,求。+25+3~2的值

a-b+23b+2c-82c+a-b4a-3i>+c+7

分析：由已知可得到關于a、b、c的值，然后代入求值.

解：由3a+2b—5=2(a-b+2)得a+4b—9=0①

由2b+c—l=2(3b+2c—8)得4b+3c—17=0②

由c—3a+2=2(2c+a—b)得3c+5a—14=0③

解聯(lián)立①②③組成的方程組得a=l,b=2,c=3.

白+23+攵―21+4+9-212..

:.-------------------=----------------==1.5

4a-3b+c+74-6+3+78.

說明：對于含條件等式的分式求值問題，除考慮對欲求的分式化簡外，還要對條件進行分析適當變形，并

根據(jù)需要加以轉化.

(a-i>)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)a-bb-cc-a

分析：從等式的左邊入手，先將三個分式的分子添項然后將每個分式分為兩個分

式的差域W),再分組相加即可獲證.

忸..b-c_(a-c)-(a-b)_1_1

JUT?■-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

(a-b)(a-c)(a-b)(a-c)a-ba-c

同理—匕_=_1___J_

(b-c'ytb-a)b-cb-a

a-b11

(c-a)(c-b)c-ac-b

a-ba-cb-cb-ac-ac-b

]11111

a-bc-ab-ca-bc-ab-c

222

=----+----+----=石處

a-bb-cc-a

即等式成立.

說明：添項、拆項是分式計算與證明的常用方法.此題可抓住左邊分式的分子與分母的特點進行突破，如

1?一€=仍一（：）一但一切就可以進行分拆.

例7、己知&+人c，—+c=-a+&+c,求3+3@+歐。+。）的值

cbaabc

分析：己知條件以連比的形式出現(xiàn)可引進一個參數(shù)表示連也從而將分式化為

整式

a+b-ca-b+c-a+S+c

當a+力+cw0時,由等比的性質(zhì)可知無=1

故此時a+5=2c,a+c=2b,b+c=2a,所以此時原式=8.

當a+B+c=0時，可得a+5=一域8+c=-as^la+c=-b,

此時原式=（-1）3=7

點評:應用等比性質(zhì)！4=…=四=;+;+…+第=?解題時，不能忽視其成立的

banb-\-a+--?+?b

條件小+d+…+閥#0,否則會漏解或出錯.

二次根式

一、知識要點概述

1、二次根式：式子而（a?°）叫做二次根式.

2、最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式.

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式.

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類

二次根式.

4、二次根式的主要性質(zhì)

(1)(&)2=云0)

a(a>0)

(2)Ja2=|白卜<0(a=0)

-a(a<0)

(3)-Jab=?*4(a》Q,b》0)

⑷指

5、二次根式的運算

(1)因式的外移和內(nèi)移

如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根號外；如果被開方

數(shù)是多項式的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外.反之，也可以將根號外的正

因式平方后移到根號里面去.

(2)有理化因式與分母有理化

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式，將

分母中的根號化去，叫做分母有理化.

(3)二次根式的加減法：

先把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式.

(4)二次根式的乘除法

二次根式相乘(除)，將被開方數(shù)相乘(除)所得的積(商)仍作積(商)的被開方數(shù)，并將運算結果化為最簡

二次根式.

(5)有理數(shù)的加法交換律、結合律；乘法交換律、結合律、乘法對加法的分配律，以及多項式的乘法公

式，都適用于二次根式的運算.

二、典例剖析

例1'己知y=居2,則/+/=---------

分析：

因一個等式中含有兩個未知量，初看似乎條件不足，仔細觀察兩被開方數(shù)互為相反數(shù)，不妨從二次根

式定義入手.

IV-2

解:由隹-4得±_12=0,二#=20=2.

心》。*2

14-5%

/+夕=2+22=6.

例2、化簡J+_L^,所得結果為（）

5+1）2

,11

AA.1+-+-----B.1--+—

n咒+1n為+1

C.1+1--

n閥+1n甩+1

分析：待選項不再含根號，從而可預見被開方數(shù)通過配方運算后必為完全平方式

解:選C

原式

i+L—L

n?+1

例3、已知xy>0,化簡二次根式的正確結果是（）

B.C.日D.-日

分析：

解題的關鍵是首先確定被開方式中字母的符號，既可以化簡被開方式，又可把根號外的因式移入根號

內(nèi).

解：選D

因為-與》雙砂>0得

所以原式=覆或￡=或原式==~y/~y

說明：

運用二次根式性質(zhì)解題時，既要注意每一性質(zhì)成立的條件，又要學會性質(zhì)的“正用”與“逆用”特別地字

母因式由根號內(nèi)（外）移到根號（外）內(nèi)時必須考慮字母因式隱含的符號.

例4、計算:

⑴痛+4#+3>/2

㈠函+我（有+m

710+^/14-715-721

（;Tio+Vw+7i5+V2T

八、1111

（3）---------+----------------+------------------!-.?一+--------------

3+有5小+3下7書+5幣49歷+47歷

3715-V10-2^/6+373-^2+18

（）書+2幣+1-

分析：A開始就把分母有理化則使計算復雜化觀察每題中分子與分母的數(shù)字

特點通過分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系以此為解題的突破口.

（#+#）+3（#+點）

解：⑴

（直+不）出+企）

=—/=----7=+—（=---7==巫一&

V6+V3道+0

加面黃一點（有+/）-力3+力）_（有+力）第-召）*一,

⑷原'二三（有+5）+不（#+5）=（有+7）（&+b）=^7^"

⑶考察一般觥=____________]

（2?+1卜/2為-1+（2網(wǎng)-1）J2福+1

______________1______________

J2咒-1?J2線+1（J2盟+1+J2福T）

J2盟+1-12盟-1

2j2》-l?j2o+1

所以原式=如喪）+；方七）+；方力+…+；（巖一加

石（3君-匹+2g（30-亞'）+（3有-3）

（4）原式

岔+2召+1

G幣-a）（書+2出+1）

書+2出+1

例5、己知石潮為正整數(shù)且石+3&=7300,求蒼y的值

分析：因為只有同類二次根式才能合并，而6+3拒=國無故6萬都與為

同類二在根式.

解：因為師=10"故只能有以下三種情況：

石+3后=4+9/=4乖+6有=7#+3/=10召

解得什3,2=48,=147

Ui=271為=12I為=3

a+b-2yla-l-4-Jb-2=3&-35

例6、已知2,求a+b+c的值.

分析：已知條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式怎樣才能確定未知量的值呢？考慮從

配方的角度試一試.

解：將己知等式整理配方，得

（內(nèi)-%（匹一疥；（燈一出。

J"1-1=0

由非負數(shù)的性質(zhì)得<后工-2=0

&-3-3=0

..（7=2,b=6,c=12

故白+占+已=20.

點評：

應用非負數(shù)概念和性質(zhì)是初中代數(shù)解題的常用方法之一，⑸,a2n,m是三種重要的非負數(shù)表現(xiàn)形式.判

斷一個數(shù)是否為非負數(shù)，最關鍵的是看它能否通過配方得到完全平方式，如：a±2■+b=（加土6y

在解多變元二次根式，復合二次根式等問題時，常用到配方法，如化簡

也+2/+也-2后=?0+1）2+&有-1）2=島】+有-1=2出

710+8由+2&=J10+8J（應+/=718+872=J（4+9=4+&

不等式與不等式組

一、知識要點概述

1、不等式的基本性質(zhì)

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式不等號的方向不變.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以乂司一個負數(shù)，不等號的方向改變.

2、不等式（組）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負

數(shù)時，不等號的方向必須改變.

（2）解不等式組一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再求出它們的公共部分，就得到不等式

組的解集.

（3）設aVb,那么：

x>a

<

①不等式組&的解集是X>b（大大取大）；

Jx<a

②不等式組lx<b的解集是xVa（小小取小）；

x>a

③不等式組K<b的解集是a<xVb（大小、小大中間找）：

x<a

<

④不等式組〔x>8的解集是空集（大大、小小題無解）.

3、不等式（組）的應用

會列一元一次不等式（組）解決實際問題，其步驟是：

（1）找出實際問題的不等關系，設定未知數(shù)，列出不等式（組）；

（2）解不等式（組）；

（3）從不等式（組）的解集中求出符合題意的答案.

二、典例剖析

例1、（1）已知不等式3x—aSO的正整數(shù)解恰是1,2,3,則a的取值范圍是.

x-a>0（D

⑵已知關于X的不等式組15-2x2-1②無解，則a的取值范圍是.

分析：

對于（1），由題意知不等式的解在x<4的范圍內(nèi)；對于（2）,從數(shù)軸上看，原不等式組中兩個不等式的

解集無公共部分.

解：

3<-<4

（1）由題意得3,.,.9<a<12.

（2）由（1）得x>a,由⑵得爛3,因不等式組無解，，aV3.

說明：確定不等式（組）中參數(shù)的取值或范圍常用的方法有：（1）逆用不等式（組）解集確定；（2）分類討論

確定；（3）借助數(shù)軸確定.

例2、解下列關于x的不等式（組）.

（l）lx-2l<2x-10；

（2）（2mx+3）—n<3x.

分析：

對于⑴確定“零界點”x=2（令x-2=0得x=2）分x>2和xV2,去掉絕對值后求出不等式的解集；對于（2）,

化為axVb的形式，再就a的正負性討論.

解：⑴當2時，原不等式化為〈C—C皿解得矛》8

x-2W2x-10

當x<2時,原不等式化為[x-2：0

[2-x<2x-10

解之得x<2且x24,所以“訝中情形不等式無解，故原不等式的解集為Xe8.

(2)由原不等式得(2加-3)x<?-3

當2四-3>0,即加>3時，其解集為x〈士乙

22m-3

當2*3<0,即就<3時,其解為。士_；

22m-3

當2加=3即附=由>3時,不等式的解集為所有實數(shù)；

2

當?shù)?3瓦w組寸，原不等式無解.

2

說明：涉及未知系數(shù)或絕對值式子的題目，均可用零點分段討論法解答.

例3^已知3a+2b—6=ac+4b—8=0且a>b>0求c的取值范圍.

分析：消去a,b得到關于c的不等式組，解不等式組得c的取值范圍.

4

解：解關于°、項方程組以得?6-c

12-3c

6-c

g

0,所以。<12-3cW4解得Wc<4.

2x-3a<lb

例4、⑴若不等式組的解是5<x<22,求心敞取值范圍

6b-3x<5a

2x-l

(2)己知不等式組~T~>的解集為X>2,求盤范圍.

x>a

分析：

已知不等式組的解集，求某些字母的值(或范圍)是不等式組解集確定方法的逆向應用，處理這類問題

時，可先求出原不等式組含有字母的解集，然后對照已知“對號入座”，應取有針對性的方法.

x<i(3<7+7Z?)

解：⑴原不等式組可化為,

x>；(-5a+6b~)

由題蔚導；(-5a+6a)<x<；(3a+7b)

又由題意知,該不等式組的解集為5Vx<22

二彳-(3a+7b)=22耐襄；(,

：(-50+63=5I

(2源不等式組可化為fL依題意知x>2

[x>a

“W2(注意：這里不肓褊掉等號)

例5、己知方程組=1+3陽的解滿足x+y<0,攝的取值范圍

x+3y=1-m

分析：?■看成己知數(shù)解關于X,通方程組.再I與所得結果代入x+y<0,就潺到一

個關于m的不等式解這個不等式,就可以求出程的取值范圍.

x=；(l+5m)

叱y=：+3用得.

解：解方程組

x+3y=\-my=^(l-3m)

x+y<0,-(1+5m)+-(l-3w)〈。,解得加<-l.

44

物《的取值范圍是m<-l.

例6、東風商場文具部的某種毛筆每枝售價25元，書法練習本每本售價5元，該商場為促銷制定了兩種優(yōu)

惠方法：

甲：買一支毛筆就贈送一本書法練習本；

乙：按購買金額打九折付款.

某校欲為校書法興颼小組購買這種毛筆10支，書法練習本x(x*O)本.

⑴寫出每種優(yōu)惠辦法實際付款金額y甲(元)、y乙(元)與x(本)之間的關系式；

(2)比較購買同樣多的書法練習本時:按哪種優(yōu)惠辦法付款更省錢；

(3)如果商場允許可以任意選擇一種優(yōu)惠辦法購買，也可以同時用兩種優(yōu)惠辦法購買，請你就購買這種

毛筆10支和書法練習本60本設計一種更省錢的購買方案.

分析：

(2)中比較哪種優(yōu)惠辦法更省錢與購買練習本的數(shù)量有關，因此應分類討論：(3)中因為可同時用兩種優(yōu)

惠辦法購買，所以需要重新建立關于毛筆枝數(shù)的關系式求解.

解：

(1)依題意，可得y，P=25X10+5(X-10)=5X+200(X*0)；

y^=(25xl0+5x)x90%=4.5x+225(x>10)

⑵由⑴有y單一y匕=O.5x—25

當y巾一y4=。時，解得x=50；

當y中一y乙>0時，解得x>50；

當y，p—y4<0時，解得x<50.

所以，當購買50本書法練習本時，兩種優(yōu)惠辦法的實際付款一樣，即可任選一種辦法付款，當購買

本數(shù)在10?50之間時，選擇優(yōu)惠辦法甲付款更省錢；當購買本數(shù)大于50本時，選擇優(yōu)惠辦法乙更省錢.

(3)①因為60>50,由(2)知不考慮單獨選用優(yōu)惠辦法甲購買.

若只用優(yōu)惠辦法乙購買10支毛筆和60本書法練習本需付款(25xl0+5x60)x90%=495(元)

②若用優(yōu)惠辦法乙購買m支毛筆，則須用優(yōu)惠辦法甲購買(10-m)支毛筆，用優(yōu)惠辦法乙購買60—(10

—m)=m+50本書法練習本，設付款總金額為P,貝IJ：

P=25(10-m)+[25m+5(m+50)]x90%=2m+475(Q<m<10)

所以，當m=0即用優(yōu)惠辦法甲購買10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購買50本書法練習本時，P取得最小

值為：2x0+475=475(元)

故選用優(yōu)惠辦法甲購買10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購買50本書法練習本的方案最省錢.

例7、我市某化工廠現(xiàn)有甲種原料290kg,乙種原料212kg,計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共80

件，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲種原料5kg,乙種原料1.5kg,生產(chǎn)成本是120元；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品，需要甲

種原料2.5kg,乙種原料3.5kg,生產(chǎn)成本是200元.

(1)該化工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)？若能的話，有兒種生產(chǎn)方案？請你設計出來.

(2)設生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總成本為y元，其中一種生產(chǎn)的件數(shù)為x,試寫出y與x之間的關系式，

并利用關系式說明(1)中哪種生產(chǎn)方案總成本最低？最低生產(chǎn)總成本是多少？

分析：

若設安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，根據(jù)題意可建立關于x的不等式組，解出不等式組得x的取值范圍.由

x為整數(shù)在取值范圍內(nèi)確定x的取值，從而得出生產(chǎn)方案，然后由成本的已知條件求出x與y之間的關系

式，根據(jù)此關系式求出最低生產(chǎn)總成本.

解：

(1)設安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80-x)件，依題意，可得：

f5x+2.5(80-%)<290

[1,5X+3.5(80-x)<212

解得：34<x<36

因為x為整數(shù)，所以x只能取34或35或36.

所以該工廠現(xiàn)有的原料能保證生產(chǎn)，有三種生產(chǎn)方案：

第一種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件；

第二種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品35件，B種產(chǎn)品45件；

第三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件.

(2)設生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意，可得：

y=120x+200(80-x)B[Jy=-80x+16000(x取34或35或36)

由式子可知，當x取最大值36時，y取最小值為一80x36+1600013120元，即第三種方案；生產(chǎn)A

種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件，總成本最低，最低生產(chǎn)成本是13120元.

說明：

利用列不等式組然后求出不等式組的集，在其解集內(nèi)求出符合條件(一般是整數(shù))的值，是解方案設計

型應用題的常用方法.

方程與方程組

一、知識要點概述

1、等式和方程的有關概念、等式的基本性質(zhì).

2、一元一次方程的解法及最簡方程2乂4解的三種情況.

(1)解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項和將未知數(shù)的系數(shù)化為1.

(2)最簡方程ax=b的解有以下三種情況：

b

x=

①當存0時，方程有唯一解°

②當a=0,爾0時，方程無解.

③當a=0,b=0時，方程有無窮多解.

3、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(時0)

其解法主要有：直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式是：

序-4。匕

（b2-4比》0）

注意：求根公式成立的條件為：①存0；②b?-4a(^0.

5、一元二次方程ax2+bx+c=0(M))的根的判別式是△:b2—4ac.當△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

-i±^b2-4ac

b

=Th=1-^―

當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即2a；

當^〈0時，方程沒有實根，反之成立.

bc

+^2=一一，^1^2二一?

aa

6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩根為x”x2,則

7、以兩數(shù)a、為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2—(a+B)x+a|J=0.

8、解一次方程組的基本思想是消元，常用的消元方法是加減消元法和代入消元法.

9、解簡單的二元二次方程組的基本思想是“消元”與“降次”.①若方程組中有一個是一次方程，則--般用代

入消元法求解：②若方程組中有能分解成兩個一次方程的方程，則一般用“分解降次”的方法將原方程組化

為兩個或四個方程組求解.

10、簡單的分式方程組的解法，一般是用去分母或換元法將其轉化為整式方程組求解，并要驗解.

11、方程組的解的存在性問題，一般轉化為方程的解的存在性問題來研究.

二、典例剖析

例1、方程L和-*'=法加解是

分析:按部就班地解，顯然繁雜，視(為-點為整體，先去括號，可獲得簡解

解:去^jX+-^-(X-^)=

4167lo7

得L=0

4

x=0

點評：靈活解一元一次方程時常用到以下方法技巧.

(1)若括號內(nèi)有分數(shù)時，則由外向內(nèi)先去括號，再去分母；

(2)若有多重括號，則去括號與合并同類項交替進行：

(3)恰當用整體思想.

例2、解下列關于x的方程.

(l)4x+b=ax—8(a/4)

(2)mx—l=nx

1第(五一閥)=—(x+2m)

⑶34

分析：把方程化為一般形式后，再對每個方程中字母系數(shù)可能取值的情況進行討論.

解:⑴原法翔為(4-a)x=-8-3

?.?。工4—4一。=0

..方程的解為x=*.