高考高中數(shù)學(xué)第76煉 存在性問題

第76煉圓錐曲線中的存在性問題

一、基礎(chǔ)知識

1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時(shí)，通常先假定所求的要素（點(diǎn)，線，圖形或是參數(shù)）

存在，并用代數(shù)形式進(jìn)行表示。再結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，若能求出相應(yīng)的要素，則假設(shè)成

立；否則即判定不存在

2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替

（1）點(diǎn)：坐標(biāo)（%,%）

（2）直線：斜截式或點(diǎn)斜式（通常以斜率為未知量）

（3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

3、解決存在性問題的一些技巧：

（1）特殊值（點(diǎn)）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必

要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。

（2）核心變量的選?。阂?yàn)榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素

作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時(shí)候消去。

（3）核心變量的求法：

①直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解

②間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該變量與輔助變

量的方程（組），運(yùn)用方程思想求解。

二、典型例題：

例1：已知橢圓c：=+工=1（?！等f〉0）的離心率為無，過右焦點(diǎn)廠的直線/與C相交

ab"3

Ji

于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)/的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)。至U的距離為X—。

2

（1）求的值

（2）C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)/繞E旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有。尸=。4+。3成立？若存

在，求出所有的P的坐標(biāo)和/的方程，若不存在，說明理由

解：（1）e=—=a:b:c=V3:y/2:1

a3

則。=石。力=岳，依題意可得：F（c,O）,當(dāng)/的斜率為1時(shí)

1:y=%-c=>x-y-c=O

do_l=-^==解得：c=l

22

：.a=?b=6~橢圓方程為：—+—=1

32

（2）設(shè)P（%o，%）,A（再,％）,5（%2，%）

當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)/:y=k（x—1）

X。=X]+x

OP=OA+OB2

。0=%+%

y=k（x—1）_、,—

聯(lián)立直線與橢圓方程：V'）消去y可得：2/+3/（x—1）-=6,整理可得:

2X2+3/=6

（3k1+2）x2-6k2x+3左2—6=0

6k2，/、c,6k3c,4k

x,+x=-；---y,+y=klx,+x\-2k=2-------2k=------2------

127342+2八J22v1R3k+23k+2

2

72kA+48/=6（3左2+27n24/0/+2）=6^3k+27

24k2=6（3k~+2）=女=±72

當(dāng)左=后時(shí)，/:y=V2（x-1）,JG3F封

當(dāng)左=—應(yīng)時(shí)，Z:y=-V2（x-l）,P

當(dāng)斜率不存在時(shí)，可知/：x=l,則P（2,0）不在橢圓上

（3萬、

二綜上所述：/:y=0（九—1）,P或/:y=—夜（x—1）,P

（22J

22

例2：過橢圓「：鼻+%=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)工的直線交橢圓于4,3兩點(diǎn)，耳為其左

焦點(diǎn)，已知的周長為8,橢圓的離心率為日

（1）求橢圓r的方程

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓r恒有兩個(gè)交點(diǎn)P,Q,且

OP±OQ?若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由

解：（1）由AFJJB的周長可得：4a=8=〃=2

e=—=nc=A/3/.b2=a2—c2=1

a2

2

橢圓「上+y=1

4

（2）假設(shè)滿足條件的圓為爐+9=尸，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi)

,-.0<r<l

若直線PQ斜率存在，設(shè)=+尸（4乂）,。（X2，%）

222

PQ與圓相切do,=,=r<=m=r（^+1）

、7

OP_LOQnOP-OQ=0即xrx2+yxy2=0

,y=kx+m（八）

聯(lián)立方程：r,^（l+4A:2）x2+8b/u+4m29-4=0

x+4y=4'7

8km4m2-4

12

4公+1I?4P+1

22

/.yxy2=（村+m）（Ax2+m）=^^x2+km^xv+x2）+m

二.+M%=（左之+1）%/+6（玉+%）+加之

4k-+1

5m2-4k--4

4/+1

5m2-4k2-4=0對任意的m,k均成立

將機(jī)2=，（/+］）代入可得：5/（產(chǎn)+1）—4（左2+1）=0

，（5/一4）（左2+1）=0.?./=1

，存在符合條件的圓，其方程為：x2+y2=-

5

當(dāng)尸。斜率不存在時(shí)，可知切線2。為兀=±2?

若吟=15則信用q聆叫

:.OPOQ=0；.PQ:x=|6符合題意

若PQ:x=-16，同理可得也符合條件

4

綜上所述，圓的方程為：f0+y02=—

5

例3：已知橢圓5+5=1（?！?〉0）經(jīng)過點(diǎn)（0,、6），離心率為:，左，右焦點(diǎn)分別為

月（—c,0）和4（c,0）

（1）求橢圓C的方程

（2）設(shè)橢圓。與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A,過點(diǎn)四（T,0）作斜率為左（左力0）的直線/,交橢

圓。于伉。兩點(diǎn)（3在M,。之間），N為BD中點(diǎn)、,并設(shè)直線ON的斜率為匕

①證明：左人為定值

②是否存在實(shí)數(shù)左，使得￡N，A￡>?如果存在，求直線/的方程；如果不存在，請說明

理由

解：（1）依題意可知：e=￡=」可得：a:bic=2;^3:l

a2

22

，橢圓方程為：—y+=1，可得:c=l

4c23c2

橢圓方程為：—+^=1

43

（2）①證明：設(shè)3（%,%）,。（%2，%），線段班＞的中點(diǎn)N（%,%）

設(shè)直線/的方程為：丁=左（％+4）,聯(lián)立方程:

y=k(x+4)

<化為：(3+4A;2)%2+32k1x+64k2-12=0

3x2+4y2=12

,1口-324264--12

由△>()解得：k<-且=4.+3'石々=

44r+3

x.+x-,1642,12k

%=丁=一K%=—z)=「

3

/.k、k=-----

14k4

②假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得F.NLAD,則kFtN-kAD^-l

12k

.k：%_3+4-2_4k

L詞-16k2;匚死

―3+4二+

=%=M-+4)

AD

X2+2X2+2

_4左k(x2+4)_

N*AD-7.——]

F'N仞I-4k-X2+2

2

即4k20+16k=(4左2-1)無2+8左2—2=%=—2—8k?<-2

因?yàn)?。在橢圓上，所以々4―2,2],矛盾

所以不存在符合條件的直線/

例4：設(shè)E為橢圓E:/+，=l(a〉5〉0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，直線

Z0:3x-4y-10=C與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓E的長半軸長為半徑的圓相切

（1）求橢圓E的方程

（2）過點(diǎn)/的直線/與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸且平行于AB的直線與橢圓交于另一

點(diǎn)。，問是否存在直線/,使得四邊形2鉆。的對角線互相平分？若存在，求出/的方程;

若不存在，說明理由

解：（1）/（）與圓相切

/10CC

ao_l=-=2=ra=2

將代入橢圓方程;+\=1可得：人=退

22

，橢圓方程為：--1--=1

43

（2）由橢圓方程可得：尸（1,0）

3

設(shè)直線=—?jiǎng)tPQ:y—e=Z（x_l）

聯(lián)立直線/與橢圓方程：

y-k（x-l）消去得：（4左2+3）尤2—8左2無+4k2-12=0

3d+4/=12'7

A1=（8/J-4（4左2+3）（4左2-12）=144左？+144

:.\AB\=J1+左2,—%|=Jl+公,嚴(yán)=I?,+1）

1111J4k2+34/+3

同理：

聯(lián)立直線PQ與橢圓方程：

一3

＜，-'（X—1）+5消去y可得：（4左2+3）尤2—（8左2—12可尤+4左2—12左一3=0

3x2+4/=12

A2=［（842—12勾，-4（4左2—12k-3）（4左之+3）=1441（+左+左？）

144廿+左+42

4k2+3

因?yàn)樗倪呅蜳ABQ的對角線互相平分

四邊形上鉆。為平行四邊形

.-.\AB\=\PQ\

lA^+k+k2

.12儼+1)

=Jl+E

"4左2+34左②+3

3

解得：k=-

4

存在直線/:3x—4y—3=0時(shí)，四邊形PABQ的對角線互相平分

例5：橢圓C:0+2=l（a〉6〉O）的左右焦點(diǎn)分別為耳，心，右頂點(diǎn)為4,尸為橢圓G

上任意一點(diǎn)，且出.2用的最大值的取值范圍是[。2,302],其中°=上

（1）求橢圓G的離心率e的取值范圍

（2）設(shè)雙曲線G以橢圓G的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，5是雙曲線。2在第一象限上任意

一點(diǎn)，當(dāng)e取得最小值時(shí)，試問是否存在常數(shù)彳（彳＞0）,使得/BA片恒成立?

若存在，求出4的值；若不存在，請說明理由

解：⑴設(shè)尸（蒼y），E（—c,0）,6（c,0）

：.PF1=^-c-x,-y）,PF2=（c-x,-y）

i22

:.PF[PF2=x+y-c

221

xy,?f9b7,/

由F+=1可得：y-b--x代入可得：

aba

2

222222222

PFcPF2=x+y-cl-〈x+b-c=—7x+b-c

'a?a

2

x^\-a.a\/.(P/J-PF2]=b

L」\/max

22V2

c1<b2<3c2c2<a2—c2<3c2=><

4c2>a

12110

4222

（2）當(dāng)6=工時(shí)，可得：a=2c,b=yf3c

2

22

二雙曲線方程為1r=1,A（2c,0），K（—c,0）,設(shè)3（%,%），毛〉0,為〉0

當(dāng)AB±x軸時(shí)，X。=2。,%=3c

TC71

tanBEA=—=1二ZBF.A=-因?yàn)閆BAF.=-

13c1412

NBAF]=2NBRA

所以2=2,下面證明2=2對任意B點(diǎn)均使得/BA片A成立

考慮tanNBAF[=-k=----——,tanZBFA=k=———

AB{BF1

“x0-2cx0+c

2%

_2tanN5耳A_x0+c_2%（冗0+c）

=1—tad/B耳4=]（%j=（x°+c）2—3

[xo+c.

由雙曲線方程f—\"=1，可得：y；=3x：-3/

c3c

（%。+c）—yj=（%o+c）—3XQ+3c2=—2%；+2cxQ+4c?=2（x0+c）（2c—%（））

tan2ZBF.A=2yo（1+。）=%=tanZBAF

2（x0+c）（2c-x0）2c-x0

ZBAF}=2ABFXA

結(jié)論得證

,4=2時(shí)，NBAF[=A恒成立

22

例6：如圖，橢圓石：二+1=l（a〉6〉0）的離心率是,過點(diǎn)P（O,1）的動直線/與橢

a2b2

圓相交于A,3兩點(diǎn)，當(dāng)直線/平行于x軸時(shí)，直線/被橢圓E截得的線段長為20

（1）求橢圓E的方程

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)。，使得對于任意直線/,

區(qū)2=?斗恒成立？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

3阿

解：（1）e=—=----cibc=A/2:1:1

a2

22

橢圓方程為+斗=1

2b-b2

由直線I被橢圓E截得的線段長為20及橢圓的對稱性可得：

點(diǎn)（、/5,1）在橢圓上

.橢圓方程為---H-^―=1

42

（2）當(dāng)/與x軸平行時(shí)，由對稱性可得：|24|=|尸固

\QA\|PA|....

~\=I^\QA\=\QB\

\QB\\PB\1111

.?.Q在A3的中垂線上，即。位于y軸上，設(shè)Q（0,%）

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，貝iJA（O,行）,網(wǎng)0,-0）

冏=友+1\QA\=\y0-

.QA_PA%-夜6_1

二一二可解得%=1或%=2

"\QB\|「仁為+0一V2+1

y八

P,。不重合二為=2

Q

2（0,2）

下面判斷Q（0,2）能否對任意直線均成立一人…一Q-

若直線/的斜率存在，設(shè)/:y=kx+l,

人（希，%），3（孫％）

聯(lián)立方程可得：卜+2y=4^（l+2k2）x2+4kx-2=0

y=kx+l、'

由因=因可想到角平分線公式，即只需證明平分NBQA

3\PB\

只需證明kQA=-kQBnkQA+ka=0

，4（%%），8（%％）

?kX2k_%-2

一^QA

X{x2

%—2?%—2=%（X—2）+%（%—2）=%%+%％—2（%+々）①

?k4-“

…幾Q4丁KQB

%%再入2藥%2

y.=kxy+1

因?yàn)锳（玉,%）,5（%2，%）在直線y="+1上,11代入①可得:

y2=kx2+l

x（hq+1）+罰（仇+1）—2（石+W）2kx\X?—（國+馬）

?k_i_V-2

一氏QA丁0QB

石工2

聯(lián)立方程可得：\X+2y=4=＞（1+2/）%2+4辰—2=0

y=kx+\、'

4k2

"+%=-百尸2=一胃！

2k——J

kQA+kQB=——1+2左21+2左-=0

1+242

?e?^QA+k0B=。成乂

:.QP平分NBQA.?.由角平分線公式可得：=W

\QB\\PB\

例7：橢圓0:《+提=1（“〉6〉0）的上頂點(diǎn)為4,是C上的一點(diǎn)，以AP為

直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F

（1）求橢圓C的方程

（2）動直線/與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直

線/的距離之積等于1?若存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由

解：由橢圓可知：A（O,Z?）,F（c,O）

AP為直徑的圓經(jīng)過/.\FA±FP

(Ab

:.FAFP=OFA=(-c,b),FP=^-c,-

4cV—=0^>c2--c+—=0

333

4b

由「在橢圓上，代入橢圓方程可得:

353

1161/2

—7---F—r—=ln〃=2

a29b29

24/

c——c-\---=0,<

33n6=c=l

b2+c2=a2=2

2

橢圓方程為三+丁=1

（2）假設(shè)存在》軸上兩定點(diǎn)必（4,o）,澳（4,。），（4<4）

設(shè)直線I:y=kx+m

\k\+m||左尢+m|

=7FTT，￡/,所以依題意:

|k\+m|卜4+叫左244+如+/?2)+7〃2

“%一/“2-1=1①

k2+l

因?yàn)橹本€/與橢圓相切，.?.聯(lián)立方程:

y=kx+m(,、

丁，n(2/+l)x2+4kmx+2m2-2=0

%2+2/=2'7

由直線l與橢圓相切可知A=（4fon）2-4（2F+1）（2//—2）=0

化簡可得：祇2=2/+1,代入①可得:

女~44+左〃z(4+4)+2k~+1

=1上"4%++4)+2k~+1=k+1

k2+l

；"2（44+I）+珈（4+4）=°，依題意可得：無論左，機(jī)為何值，等式均成立

4%=T

4=T

4+4=0n<

?4=1

所以存在兩定點(diǎn)：加1（—1,0）,加2（1，0）

例8：已知橢圓6：/+4丁2=1的左右焦點(diǎn)分別為耳,耳，點(diǎn)尸是G上任意一點(diǎn)，。是坐

標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的軌跡為G

OQ=PF1+PF2,

（1）求點(diǎn)。的軌跡G的方程

（2）若點(diǎn)T滿足：OT=MN+2OM+ON,其中M,N是G上的點(diǎn)，且直線OM,QN的

斜率之積等于-；，是否存在兩定點(diǎn)，使得|力4|+|2|為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由

（1）設(shè)點(diǎn)0的坐標(biāo)為（羽丁），點(diǎn)2的坐標(biāo)為（尤0，%），則君+4尤=1

由橢圓方程可得：

I2

OQ=PFX+PF2且尸片=[—冷―玉）,一為）尸工=[m一/,一為

X

*（）二—

2

:.Q（-2xQ,-2yQ）.?」；1_；；：=<代入至!）4+44=1可得：

2

X2

1+y=i

（2）設(shè)點(diǎn)T（x,y）,加（石,乂）,？/（%2，%）

OT=MN+2OM+ON

(蒼y)=(%—%，x—%)+2(%,x)+(%，%)

x=2X2+不

?°=2%+%

設(shè)直線OM,ON的斜率分別為kOM,kON,由已知可得：kOM-kON="=--

%2玉4

二.玉%2+4%>2=0

22

考慮%+4y2=（2%+%1）+4（2%+為『=（x；+4y；）+4（考++16%%

爐+4y2=4

M,N是G上的點(diǎn)???1::

昌+4y；=4

2

%+4y2=4+4x4=20

2222

即T的軌跡方程為土+乙=1,由定義可知，T到橢圓上+乙=1焦點(diǎn)的距離和為定值

205205

.?.A3為橢圓的焦點(diǎn)4（-715,0）,5（715,0）

所以存在定點(diǎn)A3

22/lQ

例9：橢圓E1：—+^—r=1（?！?〉0）的焦點(diǎn)到直線x—3y=0的距離為北一，離心率為

a1b2

鋁，拋物線6:/=2°%（0>0）的焦點(diǎn)與橢圓后的焦點(diǎn)重合，斜率為左的直線/過G的

焦點(diǎn)與E交于AB,與G交于C,。

（1）求橢圓E及拋物線G的方程

11

（2）是否存在常數(shù);I,使得~+1一為常數(shù)？若存在，求出X的值；若不存在，請說

\ABr\\CD\^

明理由

解：（1）設(shè)E,G的公共焦點(diǎn)為歹（c,0）

,同_VIo

-—------C—Z

V105

e=—=2"=>a=y/5:.b2=6^-c2=1

a5

E:—+y2=1

5

/.y1=8x

（2）設(shè)直線/:丁=左（％—2）,4%,%）,3（%2，%），0（$，%），。（%4，%）

與橢圓聯(lián)立方程：<:一"（：—2）n（5左2+1）——20左2工+20左2—5=0

x2+5y=5

20k②2042—5

212

飛1+5421+542

26儼+1）

.?.|AB|=V1+

1+5/-

y—k（x—2）

直線與拋物線聯(lián)立方程：\\1二父/—（442+8卜+4左2=0

V=8x

4左之+8、..8傍+1）

x3+x4=———CD是焦點(diǎn)弦|CZ>|=￡+=+4='7—-

1一_1+5左2.左2_4+20.2+&\,2_4+（20+石\）42

■,|AB|+|CDP2V5（^2+1）+8（^2+1）-8君儼+1）-8A/5（^2+1）

若■j--r+-；---[?為常數(shù)，則20+，5Z=4A=--------

|AB|\CD\5

例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，橢圓C：W+}=l（a〉6〉0）的離心率為漁，

a"b~3

直線/與％軸交于點(diǎn)E,與橢圓C交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的

/7

右焦點(diǎn)時(shí)，弦A3的長為2*

3

（1）求橢圓C的方程

11

（2）是否存在點(diǎn)E,使得育+市為定值？若存在,

請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理

由

解：（1）依題意可得：e=—=—?:Z?:C=A/3:1：A/2

a3

當(dāng)/與x軸垂直且E為右焦點(diǎn)時(shí)，為通徑

??』如"半

/.a=y/6,b=A/2

22

%J

-------1-------=1

62

（2）思路：本題若直接用用字母表示A,E,3坐標(biāo)并表示|胡|,|座|,則所求式子較為復(fù)雜,

不易于計(jì)算定值與E的坐標(biāo)。因?yàn)镋要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出E點(diǎn)

11

及定值，再取判定（或證明）該點(diǎn)在其它直線中能否使得為定值。

解：（2）假設(shè)存在點(diǎn)E,設(shè)E（%,0）

若直線A3與％軸重合，則4-詬0）,網(wǎng)跖0）

=|x+

.'.\EA\0V6|,|EB|=|x0-V6|

11112/+12

-------------1------------=------------------------1-----------------------=------------------

■>|2l^l21。+佝2（%-佝2（X：-6）2

若直線|A卻與x軸垂直，則A3關(guān)于x軸對稱

???設(shè)4（飛,y）,B（%-y）,其中y>0,代入橢圓方程可得;

22ITIr

看+]=1=＞丁力-甘??.同=|珅4？

1126

------------1------------=--------------=-------------

|E4|2\EBf2一芯6一片

3

,2XQ+126=2（芯+6乂6-片）=6（片—6『，可解得:

（X；-6）26-x：

.?.若存在點(diǎn)E,則E（±"0b若E（"0）,設(shè)4&,乂）,3（孫％）

x2+3,2=6

設(shè)A5:x=,孫+3，與橢圓C聯(lián)立方程可得:，消去y可得:

my+（蘇+3）＞2+26my-3=0

2y/3m3

.?J+LE'W-F

1]1111

—,同理:

-力+弁42工2+y；2m2+1m2+

1111才+y；

--r---222

倒回Im2+1J+（加2+1）y；（加2+1）y；y；（加之十]）

2也m3

代入.1.%+%=—可得:

12m2+6（〃5+3）

2

m+3）18m2+18.

=2

9（〃/+1

m2+3）

11

所以-------7-I----------萬為定值，定值為2

畫\EB\

11

若網(wǎng)—6,0）,同理可得萬為定值2

-I-網(wǎng)-----7網(wǎng)----------

11

綜上所述:+?，使得5為定值2

-畫------一T---即-------

三、歷年好題精選

22c

1、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E:=1（?！??！?）過點(diǎn)尸百,

ab

離心率為過直線/：x=4上一點(diǎn)M引橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別是A3

2

（1）求橢圓￡的方程

V2y2

（2）若在橢圓下十=1（?！怠！?）上的任一點(diǎn)N（Xo，No）處的切線方程是

ab2

滬21,求證:直線A3恒過定點(diǎn)C,并求出定點(diǎn)。的坐標(biāo)

⑶是否存在實(shí)數(shù)；I,使得|AC|+忸。|=川4。|?忸q恒成立？（點(diǎn)C為直線A3恒過的

定點(diǎn)），若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由

22

2、已知橢圓。：§+2=1（?！?〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線V=4x的焦點(diǎn)重合，

1j是橢圓C上的一點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程

（2）設(shè)分別是橢圓。的左右頂點(diǎn)，P,Q是橢圓C上異于的兩個(gè)動點(diǎn)，直線

的斜率之積為-；，設(shè)APQ與3P。的面積分別為4,§2,請問：是否存在常數(shù)

2（2e7?）,使得Si=XS2恒成立？若存在，求出2的值，若不存在，請說明理由

3、己知橢圓，+5=1（。〉?！?）經(jīng)過點(diǎn)（°，6），離心率為:，左，右焦點(diǎn)分別為

G（—c,0）和月（c,0）

（1）求橢圓。的方程

（2）設(shè)橢圓。與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為4,過點(diǎn)Af（T,0）作斜率為M左20）的直線/,交橢

圓。于昆。兩點(diǎn)（6在之間），N為BD中點(diǎn)、,并設(shè)直線ON的斜率為匕

①證明：h吊為定值

②是否存在實(shí)數(shù)左，使得耳NLAD?如果存在，求直線/的方程；如果不存在，請說明

理由

4、已知圓“：（》+6，+/=36,定點(diǎn)N（6,0）,點(diǎn)P為圓加上的動點(diǎn)，點(diǎn)。在NP

上，點(diǎn)G在上，且滿足NP=2NQ,GQ-NP=0

（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程

（2）過點(diǎn)（2,0）作直線/,與曲線。交于A8兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OS=OA+O3,

是否存在這樣的直線/,使得四邊形OAS3的對角線相等（即|OS|=|A@）?若存在，求

出直線/的方程；若不存在，試說明理由

22

5、（2014,福建）已知雙曲線E:J—￡=1（?！怠懔Α?）的兩條漸近線分別為4：y=2x,

l2:y--2x

（1）求雙曲線E的離心率

（2）如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線/分別交直線h4于A8兩點(diǎn)（A3分別在第一、四象

限），且。鉆的面積恒為8,試探究：是否存在總與直線/有且只有

一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在請

說明理由

習(xí)題答案:

c1/—

1、解析：（1）e=—=—^a:b:c=2：y]3:l

a2

橢圓過點(diǎn)尸百，

—yH----=1J再由4：/?：C=2：：1可解得：4=2,b=

cr4Z?2

22

二.橢圓方程為：---F―1

43

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（再,必）,5（々,%），直線上一點(diǎn)“（4,。，依題意可得:

兩條切線方程為:

至+里

=1%1+—=1

43由切線均過/可得：\

型+9=1x+理=1

、43r3

71(%1，%),8(%2,，2)均在直線％+'1'=1上

因?yàn)閮牲c(diǎn)唯一確定一條直線

:.AB:x+^y=l,即過定點(diǎn)(1,0),即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)

■IIII?IIIACl+l5cl11

(3)AC+LBC=2AC-BC=_LJ___

11+

......MCq\AC\\BC\

x+—

聯(lián)立方程：｛32(r+12)/—6^—27=0

3X2+4/=12

6/27

?,?%+%=77"^，%%=—7^7,不妨設(shè)為〉0,為<°

J.4ILA.乙IL

AC

||=J(X]T)2+y；=，9：M，忸c|=J(%2T『+￡=一’9：%

11

k6t丫108_____________

3亞12+/J-12+/_]J144—+9x144_4

y19+t2—27,9+付93

12+t2

32=

■■-l使得IAC|+忸q=川AC|.忸q恒成立

2、解析：(1)拋物線V=4x的焦點(diǎn)為(1,0).-.C=l

19,

依題意可知:<a24-b2=>片=46=3

a2-b2=c2=1

二.橢圓方程為：---F―1

43

(2)由(1)可得：A(—2,0),5(2,0),若直線PQ斜率存在

^PQ:y=kx+m,尸(花,%)。(如％)

A到直線PQ的距離4="8到直線PQ的距離d,=犁二

J1+42~J1+42

.5「；，歸。14_4——24+同

，2l.|P2|J24\2k+m\

222

聯(lián)立方程：1,^(3+4^)%+8fo7ix+4m-12=0

3d+4/=12'7

8km4m2-12

x1,+x2=----------,xx=-----；-----

2442+31224/+3

kk

AP-AQ==+(X1+2)(%+2)=0(*)

22

23m-12k

yy=(而1+z/7)(fct+m)=lcxx+km(x[+x)+m

x22x224A2+3

16k2-16km+4-m2

(%i+2)(%+2)=xx+2(X[+尤2)+4=代入到(*)可得:

Y24/+3

16m2—16km—32k2

=0=>m2-km-2k2=0

4r+3

m=2k或m=-k

當(dāng)加=2左時(shí)，PQ:y=kx+2k=k(x+2),交點(diǎn)與A重合，不符題意

:.m=-k,代入到工可得：

邑

—=?,J=3=>S[=3s2,即之=3

S2IM

3、解：(1)依題意可知：e=￡=」可得：a:b:c=2:^/3:1

a2

22

二.橢圓方程為：*+3=1，代入(0,6)可得：C=1

，橢圓方程為：----F=1

43

(2)①證明：設(shè)3(%,%),￡>(%,%)，線段班?的中點(diǎn)N(%,為)

設(shè)直線/的方程為：丁=左(1+4),聯(lián)立方程:

y=k(x+4),.

-')化為：(3+4左2)尤2+32左2工+64左2—12=0

3x2+4v2=12''

,1-32k264左2—12

由A>0解得：k<-且玉+%=------=-------9----

44左2+3124左2+3

x+x916k2-八12k

%=丁=一EKO=E

33

K=&=-3lek=-----k=—

14k4

x04k

②假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得F.NLAD,則kFxN窿=-1

12k

.k：%_3+4-2_4k

0----------------7+i

3+4左2

；%=M-+4)

陋%+2%+2

4k^(x2+4)

1一4左2x,+2

即*2+16k2=(4左2—1)無2+8上2—229=—2—8左2<-2

因?yàn)椤Ｔ跈E圓上，所以七4―2,2],矛盾

所以不存在符合條件的直線/

4、解析：(1)由NP=2NQ,GQ?NP=0可得。為PN的中點(diǎn)，且GQLPN

.?.GQ為PN的中垂線.?1PG|=|GM

:.\GN\+\GM\=\MP\=6

；.G點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其半長軸長為。=3,半焦距。=不

b2=a2-c2=4

22

.,.軌跡方程為：---1-2―=1

94

（2）因?yàn)镺S=OA+O3

四邊形為平行四邊形

若|QS|=|AB|,則四邊形Q455為矩形，即。4。3=0

①若直線I的斜率不存在，則/:x=2

x=2x=2（

述、J22⑤

聯(lián)立方程：\-y2n2后,即A2,2,-----

-------1-------—1y=±—I

[943、、3