測試技術(shù)課后習(xí)題答案習(xí)題1信號描述

習(xí)題1

題圖1-2雙邊指數(shù)函數(shù)

解：

X")是一個非周期信號，它的傅里葉變換即為其頻譜密度函數(shù)，按定義式求解:

X(/)=「必由如"df=d’+「e“eT2""d'

J—ooJ-oaJo

=良(124)&+「7924)&

J-8JO

112a

=---------------1---------------=-------------------

a-]2nfa+j2nfa2+(2n/)2

1.2求題圖1-1周期三角波的傅里葉級數(shù)(三角函數(shù)形式和復(fù)指數(shù)形式)，并畫出頻譜

圖。周期三角波的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

解：將x(f)展開成三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，求其頻譜。

計算傅里葉系數(shù)：

:%。)是偶函數(shù)

b“=0

T

_1產(chǎn)/\u22AA、,22_A

%一TJ-T/2~7

TT0

2rT/24「7722A4ACT/22、

a"=TJ-/72%(Z)C0SnC0{}tdr=TJo(A-T：)cos〃卬加=于])(1—cosnco^tdJt

_4Asin〃W

=—(-------

TncoQ

4AsinnCD^T/2T急…心+「糕箸明

n(oQ

4A.sinncoj1/22xT/2.2cosy小

—(-------------------sinncdfT/2-------------；)

1

Tnco[}Tna)()Tnco()na)(}

2cosna)QT/2

T<-Tna)()nco^

_4A2cosnco^T/2

二產(chǎn)(22

27r

將。代入上式，可得

T

22

a,=4A(COSn兀)

4/乃24//

2A

(1-COS7VT)

n27T2

4An=1,3,5…

7i2n2

0n=2,4,6…

將上式各參數(shù)代入傅立葉三角函數(shù)展開式

x(r)=%+Z(%cosna)Qt+bnsinna)Qt)

n=\

可得X”)的三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開上展開式為

aC0S

X。)=——^/.n〃卬

2n=\

A4A1

一十r—cosnco^t

2兀,z.rT

由兩角和的三角公函數(shù)公式，可得x?)=ao+ZA〃sin(〃g，+%)

n=l

〃次諧波分量的幅值=荷+公=4A

n~Ti

”次諧波分量的相位（p?=arctany-=arctan°°=~

以0為橫坐標(biāo)，以A“和巴為縱坐標(biāo)畫出x?）的頻譜圖，如題圖1.2（b）所示。

萬/2萬/2萬/2//2)/2

0a)03。05476y09gco

題圖1.2(b)

將X“）展開成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，求其頻譜。

計算傅里葉系數(shù)

12f7zx2A、/2(tA2A

2

1T/21r/2

fxefsindr

-\_TI2^dr=7L/?)(cosW./W)

1「r/24A2cos〃@)T/2

=[(r)cosdr=-(z一一直「十

?r//W舟

=2A(,,-22cosg=(1-COS〃乃)

\n-n-Anrrk

2A

-n=±1,±3,±5...

=〈n~9n~,

.n—±2,±4,±6...

由此得x(r)的復(fù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開上展開式為

x?)=fc“e”如(〃=0,±l,±2,...)

n=-oo

=Co+Xc/s'S=±1,±2,...)

?=-<?

A04-^1

=：+FXV(〃=±L±3?±5,“.)

2兀二〃

〃次諧波分量的幅值

2A

H2TI2

〃次諧波分量的相位

h-n/2,n>0

(pn=arctan(——-)=<

4兀/2,n<0

以0為橫坐標(biāo),以4和久為縱坐標(biāo)畫出X。)的頻譜如題圖1.2(c)所示。

%

n\7C\7C\71\71I

|||||_______0,3叼)5鈾7劣9,0p

5<y

-9%―7切()—o-38-?00||I|I

-7T-兀-K-JI-K

題圖1.2(c)

1-3求正弦信號雙。=Asin(S+@的絕對均值〃崗，均方根值Ke。)及概率密度函

數(shù)p(x)。

解：根據(jù)定義可求得絕對均值〃N

4T7。；即)巾=:［；：A卜皿加+砌dt

通過合理的選擇初始時間，可將。去掉

2A嚴(yán)2.A17722A

4klsinat6.1--cosat\0=—

11TJo7117T

?._221N.2/A）（r\-cos2at,A2

均方值癖=yjftA-sin-?/d^=—Jo---df=—

均方根值1⑺%⑺=必==~^A

取x（r）=Asmat

則有dx=Aacosatdt

對于有限時間記錄T內(nèi)的概率密度函數(shù)可由公式p（x）=—匚估計（參考《測試技術(shù)

TAx

基礎(chǔ)》江征風(fēng)主編北京大學(xué)出版社）

dr11]

〃（無）=

TdxTAacosat27tAvl-sin2at

2ny]A2-x2

1.4求被矩形窗函數(shù)截斷的余弦函數(shù)cosgr（題圖1.4）的頻譜，并作頻譜圖。（圖不準(zhǔn)）

解法一：對尤（。進(jìn)行傅立葉變換

X（⑷=廣加）"網(wǎng)力=匚x（t）-天加山+『4"）?"泗dt+J；X”）.e-i^dt

?TeT

=/COS卬?6-皿山=「cosW(cos@-jsin?)di=2Lcosg/cosGfdf

J—T

根據(jù)和差化積公式可得

T

X(co)=f[cos(a)+a)())t+cos(a)-co^t]dr

JO

一~|T

_sin(①+%)，+sin(/_g)/

0+4所為Jo

_sin[(3+4)T]+sin[(ty4)T]

69+/CO-COQ

sinx

由于森克函數(shù)定義為sinc(x)=—

x

所以X(o)可以寫成X(o)=Tsinc[0+⑷T]+Tsinc[(o-%)T]

解法二：在(-To,To)范圍內(nèi)，尤(。滿足狄利克雷條件，則有

X(o)=J：cos6V.e-泗山

因為ew-cosco^t-jsinco^t

ww

所以X(0)=JTcosa)ot-e-""ck=r(^+e)-

：Jr[e-i*+eT吐%[df

rnT

_/(叱.)，1白(吒外)r

2”0+4)八所為)

1|"/(研因"_(叱4)7'|I______1所做>"_-j(ft>-^)T

2(3+4)L」2(0_4)L

_sin[(①+以))為+sin[(。一%)T]

0+43-3。

=Tsinc[(。一%)T]+Tsinc[(69+4)T]

(這個圖有待斟酌)

1.5單邊指數(shù)函數(shù)x")=AeP(a>0,r20)與余弦振蕩信號y(r)=cos4/的乘積

為Z⑺=x(f)y(r),在信號調(diào)制中，x(f)叫調(diào)制信號，)0叫載波，X。便是調(diào)幅信號。若把

Z⑺再與y(t)相乘得解調(diào)信號w(t)=x(t)y(t)z(r)o

求調(diào)幅信號z(r)的傅里葉變換并畫出調(diào)幅信號及其頻譜。

求解調(diào)信號w(t)的傅里葉變換并畫出解調(diào)信號及其頻譜。

解：首先求單邊指數(shù)函數(shù)x(f)=Ae-a'(a>0,t>0)的傅里葉變換及頻譜

X(f)=j'^x(r)e-i2nf,dt=dt

(a+i2nfv

=e-dt=------------e-("+j2”°‘

a+]2nf0

=4=.

〃+j2兀/a2+(2TIf)2

|X(/)|=/J2

Ja+(2時)

余弦振蕩信號y(t)=cos2班/的頻譜

s)+s)]

由于x?)b(f±T)=x(f±T)

利用6函數(shù)的卷積特性，可求出調(diào)幅信號z(r)=x(f>y(。的頻譜

z(/)=x(f)*")=x(f)*軻"制+叼一加寸x("/)+x(T)]

=A"j2M/+/o)+4g-j27i(/-4)

22

2a+[2nf(f+f0^T?+[271/(/-4)f

|zcn|=；[|x(/+/)|+|x(/—力力會-廠」亍+~TT,-1)

22&2+[2無(/+m]2擊2+[2兀

調(diào)幅信號及其頻譜如題圖1.5a

求解調(diào)信號卬⑺的傅里葉變換并畫出解調(diào)信號及其頻譜。

同理可求出調(diào)幅信號卬⑺=?)(。?y⑺的頻譜

w(/)=z(/)^y(/)=z(/)*l[^(/+4)+^(/-/o)]

=L(f+f>+Lz(f-f)/"j2M/+2/)A