新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第10章　§10.1　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（原卷版）

§10.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理考試要求1.理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)梳理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.常用結(jié)論1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能直接完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()教材改編題1．已知某公園有4個(gè)門(mén)，從一個(gè)門(mén)進(jìn)，另一個(gè)門(mén)出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16B．13C．12D．102．有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有()A．8種B．9種C．10種D．11種3．由于用具簡(jiǎn)單、趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng)．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線有()A．10條B．8條C．6條D．4條題型一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理例1(1)某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種(2)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱(chēng)這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．思維升華使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類(lèi)時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，不能重復(fù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有()A．3種B．6種C．7種D．8種(2)設(shè)I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(chēng)(A，B)為一個(gè)“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個(gè)．題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲．如圖是數(shù)獨(dú)的一個(gè)簡(jiǎn)化版，由3行3列9個(gè)單元格構(gòu)成．玩該游戲時(shí)，需要將數(shù)字1,2,3(各3個(gè))全部填入單元格，每個(gè)單元格填一個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有1,2,3這三個(gè)數(shù)字，則不同的填法有()A．12種B．24種C．72種D．216種(2)(多選)現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說(shuō)法正確的是()A．共有43種不同的安排方法B．若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．跟蹤訓(xùn)練2(1)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，則由一層到五層不同的走法有()A．10種B．25種C．52種D．24種(2)(多選)有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說(shuō)法正確的是()A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有43種題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺(tái)、2個(gè)不同的球，若從中取出2個(gè)幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè)，則不同的取法種數(shù)是()A．14B．23C．48D．120(2)甲與其他四位同事各有一輛私家車(chē)，車(chē)牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為奇數(shù)的車(chē)通行，偶數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為偶數(shù)的車(chē)通行)，五人商議拼車(chē)出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車(chē)，但甲的車(chē)最多只能用一天，則不同的用車(chē)方案種數(shù)為_(kāi)_______．思維升華利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無(wú)從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．(2)分類(lèi)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫(huà)出示意圖或樹(shù)狀圖．(3)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，一般是先分類(lèi)再分步．跟蹤訓(xùn)練3(1)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為()A．24B．14C．10D．9(2)如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．480 B．600C．720 D．840課時(shí)精練1.小黑點(diǎn)表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)絡(luò)相連．連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量．現(xiàn)在從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A．9B．21C．12D．82．某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有()A．4種B．6種C．8種D．12種3．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．6D．84．中國(guó)古代將物質(zhì)屬性分為“金、木、土、水、火”五種，其相互關(guān)系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，則屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰的排法種數(shù)為()A．8B．10C．15D．205．中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有()A．360種 B．50種C．60種 D．90種6．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)為()A．12B．24C．36D．487．用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．180B．240C．420D.4808．(多選)現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說(shuō)法正確的是()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為34B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為5400C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種9.如圖所示，在由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答)．10．算籌是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，是中國(guó)古代用來(lái)記數(shù)、列式和進(jìn)行各種數(shù)與式演算的一種工具，是中國(guó)古代的一項(xiàng)偉大、重要的發(fā)明．在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來(lái)表示數(shù)字，如表所示：數(shù)字方式123456789縱式橫式用算籌計(jì)數(shù)法表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類(lèi)推，遇零則置空，知“”表示的三位數(shù)為_(kāi)_______；如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示能?整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．11.如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是()A．48 B．54C．72 D．10812．世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(各組的前2名小組出線)，這16支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為_(kāi)_______．13．幾只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；(2)乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；(3)丙在下落的過(guò)程中依次