4.3 公式法 （解析版）-八年級數(shù)學下

4.3公式法考點：因式分解公式法運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2題型一：判斷是否能用公式法因式分解1．（2023秋·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)能用平方差公式分解因式的式子必須是兩項平方項的差即可判斷．【詳解】解：A.是與的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本選項正確，符合題意；B.兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式，故本選項錯誤，不符合題意；C.是三項，不能用平方差公式分解因式，故本選項錯誤，不符合題意；D.兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式，故本選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了平方差公式分解因式，熟記能用平方差公式分解因式的式子必須是兩項平方項的差是解題的關鍵．2．（2023春·八年級課時練習）下列多項式，能用公式法分解因式的有（）個．①

②

③

④

⑤

⑥A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式進行判斷即可．【詳解】解：①不能用公式法分解因式，不符合題意；②，可以用平方差公式分解因式，符合題意；③不能用公式法分解因式，不符合題意；④不能用公式法分解因式，不符合題意；⑤不能用公式法分解因式，不符合題意；⑥，可以用完全平方公式分解因式，符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解題的關鍵．3．（2022秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）下列多項式：①，②，③，④能用公式法因式分解的有個（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)公式法因式分解的方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：，符合題意；，符合題意；，符合題意；，不能用公式法進行因式分解，不符合題意．故選C．【點睛】本題考查公式法因式分解．熟練掌握公式法因式分解是解題的關鍵．題型二：運用平方差公式因式分解4．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┮淮螖?shù)學課上，老師出了下面一道因式分解的題目：，請問正確的結果為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了分解因式，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后結果．5．（2022秋·全國·八年級專題練習）下列多項式中，在有理數(shù)范圍內(nèi)不能用平方差公式分解的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方差公式的結果特征判斷即可，能用平方差因式分解的式子的特點是：兩項平方項，符號相反．【詳解】在有理數(shù)范圍內(nèi)不能用平方差公式分解的是，A、，B、，D、，故選：C．【點睛】本題考查了公式法分解因式，不僅要掌握平方差公式的特點，還要對有理數(shù)的范圍把握好．6．（2022春·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）下列多項式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反，根據(jù)平方差公式分解因式的特點進行分析即可．【詳解】A.能用平方差公式因式分解，故不符合題意；B.能用平方差公式因式分解，故不符合題意；C.不能用平方差公式因式分解，故符合題意；D.能用平方差公式因式分解，故不符合題意；故選擇：C【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，關鍵是掌握平方差公式分解因式的特點．題型三：運用完全平方公式因式分解7．（2023春·全國·八年級期中）下列各式：①；②；③；④，其中不能用完全平方公式因式分解的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】能利用完全平方公式因式分解的整式需滿足：整式是“兩數(shù)平方和與這兩個數(shù)積的2倍”．利用完全平方公式的結構特點逐個分析得結論．【詳解】解：，故①能用完全平方公式因式分解；整式與不滿足兩數(shù)平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；整式的中間項不是與積的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解．故選：C．【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的結構特點是解決本題的關鍵．8．（2023春·浙江·八年級階段練習）已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知，得到，整體思想帶入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值．熟練掌握二次根式的運算法則，利用整體思想進行求解，是解題的關鍵．9．（2023秋·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）下列多項式，不能用完全平方公式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對每個選項進行因式分解即可做出判斷．【詳解】解：A．，故選項不符合題意；B．，故選項不符合題意；C．不能用完全平方公式分解，故選項符合題意；D．，故選項不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了因式分解，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．題型四：綜合運行公式法因式分解10．（2023秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公式法分別判斷即可．【詳解】A．，故原選項錯誤；B．，故原選項錯誤；C．，故原選項錯誤；D．，故原選項正確；故選D．【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．11．（2023秋·湖北荊門·八年級統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關鍵．12．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先計算整式的乘法，再利用完全平方公式進行因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）．【點睛】本題考查的是因式分解，掌握“利用提取公因式與利用公式法分解因式”是解本題的關鍵．題型五：因式分解在有理數(shù)簡算的應用13．（2023秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）計算的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括號利用平方差公式變形，約分即可得到結果．【詳解】原式，，，，故選：C．【點睛】本題考查的是平方差公式，掌握運算法則和平方差公式是解題關鍵．14．（2022秋·八年級單元測試）利用因式分解簡便計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因數(shù)，然后利用平方差公式進行計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式進行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，熟知因式分解的方法是解題的關鍵．15．（2022秋·重慶合川·八年級?？计谀?）先化簡，再求值：，其中，；（2）已知，，求的值．【答案】，；【分析】（1）先根據(jù)平方差公式和完全平方公式進行計算，再進行同類項的合并，最后代入，計算即可；（2）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式將原式進行因式分解，將原式轉換為，再將，代入計算即可．【詳解】解：（1）==，當時，原式===；（2）=====．一、單選題16．（2023春·全國·八年級專題練習）下列各式不能運用公式法進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式因式分解，逐項分析即可．【詳解】因為，能因式分解，所以A不符合題意；因為，能因式分解，所以B不符合題意；因為不能因式分解，所以C不符合題意；因為，能因式分解，所以D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解題的關鍵．17．（2023秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解：①；②；③；④，其中結果正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)因式分解逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：①，故①不正確；②，故②正確；③，故③正確；④，故④正確,∴正確的有3個，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．18．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）下列因式分解正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用提公因式法，公式法進行分解，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、，不是因式分解，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了提公因式法與公因式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．19．（2023秋·福建福州·八年級福州三牧中學校考期末）已知是的三邊，且滿足，則此三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．以上都不對【答案】B【分析】將原式整理為完全平方式，然后根據(jù)平方式的非負性即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，即，∴，，∴，∴此三角形的形狀一定是等邊三角形，故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式及其非負性，熟練掌握完全平方公式的結構特點是解本題的關鍵．20．（2023春·全國·八年級專題練習）分解因式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握完全平方公式分解因式是解題的關鍵．21．（2023秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）發(fā)現(xiàn)與探索．(1)根據(jù)小明的解答將因式分解；(2)根據(jù)小麗的思考，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將改寫為，再根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行因式分解；（2）根據(jù)題意，將化為，即可進行解答．【詳解】（1）解：；（2）解：，無論a取何值都大于等于0，再加上，則代數(shù)式大于等于，則的最小值為．【點睛】本題主要考查了利用平方差公式和完全平方公式進行因式分解，解題的關鍵是掌握，．一、單選題22．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）下列各式能用完全平方公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式：，進而判斷得出答案．【詳解】解：A、，能用完全平方公式進行因式分解；B、，不能用完全平方公式進行因式分解；C、，不能用完全平方公式進行因式分解；D、，不能用完全平方公式進行因式分解；故選：A．【點睛】本題考查用完全平方公式進行因式分解，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式．23．（2023秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）已知a、b、c是三條邊的長，且滿足條件，則的形狀是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分組分解法對已知等式的左邊進行因式分解，再根據(jù)非負數(shù)的性質得到，從而得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，故選A．【點睛】本題考查了因式分解的應用、非負數(shù)的性質、等邊三角形的判斷，解題的關鍵在于靈活利用因式分解建立與方程之間的關系來解決問題．24．（2023秋·河南安陽·八年級校考期末）王林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，a，分別對應六個字：南，愛，我，數(shù)，學，河，現(xiàn)將因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛數(shù)學 B．愛河南 C．河南數(shù)學 D．我愛河南【答案】D【分析】先把代數(shù)式分解因式，再對照密碼手冊求解．【詳解】解：，所以，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛河南故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應用，分解因式是解題的關鍵．25．（2023秋·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）下列分解因式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)提公因式法和公式法分別分解因式，從而可判斷求解．【詳解】解：A、應為，故選項錯誤，不符合題意；B、不能分解，故選項錯誤，不符合題意；C、不能分解，故選項錯誤，不符合題意；D、，故選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了多項式的因式分解，符號的變化是學生容易出錯的地方，要克服．26．（2023秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）已知，，，那么，代數(shù)式的值是（

）A． B．2022 C． D．3【答案】D【分析】先求解，，，再把原式化為，再代入求值即可．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴；故選D．【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的應用，求解代數(shù)式的值，掌握“完全平方公式的應用”是解本題的關鍵．27．（2023秋·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，，，，分別對應下列六個字：河，愛，我，香，游，美，現(xiàn)將因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛美 B．香河游 C．我愛香河 D．美我香河【答案】C【分析】將所給的多項式因式分解，然后與已知的密碼相對應得出文字信息．【詳解】解：∵又∵，，，，分別對應下列四個個字：河，愛，我，香，∴結果呈現(xiàn)的密碼信息是：我愛香河．故選：C．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用．解題的關鍵是將多項式因式分解，注意因式分解要分解到每一個因式都不能再分解為止．28．（2023秋·廣東韶關·八年級統(tǒng)考期末）若，則代數(shù)式的值是（

）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023【答案】D【分析】把所給代數(shù)式變形后把代入計算即可．【詳解】解：∵，∴．故選D．【點睛】此題考查了因式分解的應用，代數(shù)式求值問題，要熟練掌握，求代數(shù)式的值可以直接代入、計算，也可以運用整體代入的思想，本題就利用了整體代入進行計算．29．（2022秋·八年級單元測試）已知，則的值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后將代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，故選A．【點睛】本題考查了綜合提公因式法和公式法分解因式，代數(shù)式的求值，熟悉相關運算法則是解題的關鍵．二、填空題30．（2023春·全國·八年級期中）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：______【答案】【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解即可求得答案．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，掌握因式分解的步驟是關鍵．31．（2023春·全國·八年級期中）的面積為，斜邊長為，兩直角邊長分別為，，則代數(shù)式的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)兩直角邊乘積的一半表示出的面積，把已知面積代入求出的值，利用勾股定理得到，將代數(shù)式變形，把與的值代入計算即可求出值．【詳解】解：∵的面積為，∴，解得，根據(jù)勾股定理得：，則代數(shù)式．故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理，以及三角形面積求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．32．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習）已知，．（1）的值為______；的值為______；（2）若，則的值為______．【答案】

##

6【分析】（1）利用完全平方公式求x的值；利用平方差公式法因式分解求解即可；（2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，將等式分組因式分解成含有、的等式，將、的值代入等式即可求出n的值．【詳解】（1）解：；；故答案為：；；（2），，，，；，，，，解得，故答案為：6．【點睛】本題考查二次根式的運算、完全平方公式與平方差公式，由于直接代入計算復雜容易出錯，因此可以考慮整體代入是解題的關鍵．33．（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）若，，則的值為______．【答案】15【分析】先提取公因式分解因式，在把，，代入原式計算即可．【詳解】解：，把，，代入，原式，故答案為：15．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，掌握取公因式分解因式的方法是解題關鍵．34．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）已知，則多項式的值為_______．【答案】2022【分析】將多項式中含有字母的式子因式分解，然后整體代入可得結果．【詳解】解：，∵，∴原式．故答案為：2022．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是利用整體代入思想解決問題．35．（2023秋·重慶萬州·八年級統(tǒng)考期末）若，則代數(shù)式的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式因式分解進而即可求解．【詳解】解：∵∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應用，掌握是解題的關鍵．三、解答題36．（2023春·廣東深圳·八年級期中）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式進行因式分解即可；（2）利用平方差法進行因式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握提公因式和公式法分解因式是解題的關鍵．37．（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）把看作整體，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】（1）（2）【點睛】此題考查了因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．38．（2023春·全國·八年級專題練習）（1）把一個多項式寫成兩數(shù)和（或差）的平方的形式叫做配方法．閱讀下列有配方法分解因式的過程：仿照上面方法，將下式因式分解；

（2）讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：①上述分解因式的方法是，共應用了次．②若分解，則需應用上述方法次，結果是．③分解因式：(n為正整數(shù))．【答案】（1）；（2）①提取公因式，3