2025年高考數(shù)學二輪專題復習-函數(shù)的極值、最值和零點問題-學案講義

函數(shù)的極值、最值和零點問題知識導引1.極值一般地,設函數(shù)的定義域為,取,如果對于附近的任意不同于的(是指存在區(qū)間,使得且都有:(1),則稱為函數(shù)的一個極大值點,且在處取得極大值;(2),則稱為函數(shù)的一個極小值點,且在處取得極小值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.一般地,如果是的極值點,且在處可導,則必有.若存在,則“”是“是的極值點”的必要不充分條件.2.最值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值;最值一般在極值與端點函數(shù)值中取得.3.零點連續(xù)函數(shù),若存在,使得,則存在,使得,在具體函數(shù)中,尋找常常與極值點有聯(lián)系.4.*當在處可導,若,則是的極小值點;若,則是的極大值點.進階提升題目1已知函數(shù),若函數(shù)的最大值為,求函數(shù)的表達式.審題 利用函數(shù)的單調性求出,進而得到的表達式.解析 ,①當時,函數(shù)在上為減函數(shù),所以,解得;②當時,函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),故,解得(不符合,舍去)；③當時,函數(shù)在上為增函數(shù),,解得(不符合,舍去);所以,即.回爐 分類討論求出函數(shù)最值,是此類問題的常見解法.【相似題1】若函數(shù)在上的最大值為2,則__________

題目2若函數(shù)在其定義域內的一個子集上存在極值,求實數(shù)的取值范圍.審題 求出極值點位于區(qū)間即可,一定要注意定義域.解析 對求導得.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故為的極小值點.若在定義域內的一個子集上存在極值,則有,解得.回爐 必要條件為在上有解.【相似題2】設函數(shù)有兩個極值點,且(1)試求的取值范圍;(2)求證:.

題目3已知函數(shù)的圖象與直線有2個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.審題 本題考查三次函數(shù)圖象特點,利用函數(shù)單調性得到函數(shù)圖象進行分析.解析 對求導得.當時,單調遞增;當時單調遞減;當時,單調遞增,其中.若的圖象與直線有2個不同的交點,則有或,解得或.回爐 本題中并不含參數(shù),因此圖象是固定的,通過數(shù)形結合不難知道:若函數(shù)的圖象與直線有2個不同的交點,則必與函數(shù)極值產生聯(lián)系.【相似題3】已知函數(shù).(1)當時,求的最小值;(2)討論函數(shù)的零點的個數(shù).

題目4設已知函數(shù).(1)當時,證明:當時,;(2)當時,證明:函數(shù)有唯一零點.審題 (1)構造函數(shù)來處理不等式問題,(2)先利用第(1)小題的結論,易得當時,恒成立,所以只需考慮在時的零點問題.解析 (1)即證等價于,記,則.因為,所以,所以,則為增函數(shù),故成立,所以.(2)當時,因為,由(1)知,所以函數(shù)在時沒有零點.下面考慮當時的零點情況.記.記,則,令,因為,所以遞增,即遞增,因為且,故在上存在唯一零點,所以在上遞減,在上遞減.由,所以在上有唯一零點,記為,則當時,,當時,,所以在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).因為,所以在無零點.又因為,當時,,所以當時,,（或當時,)所以在上有唯一零點,綜上可知,函數(shù)有唯一零點.回爐 利用函數(shù)單調性與極值是處理函數(shù)零點的常見方法.【相似題4】已知函數(shù)為的導數(shù).證明:(1)在區(qū)間上存在唯一極大值點;(2)有且僅有2個零點.

題目5已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值;(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱,證明:當時,;(3)如果,且,證明:.審題 單調區(qū)間問題和不等式問題可利用構造函數(shù)法解決,第(3)小題可利用第(2)小題的對稱函數(shù),再利用函數(shù)的單調性,求得的關系.解析 (1)因為,所以的增區(qū)間為,減區(qū)間為,當時,有極大值.(2)由題意可知,令,即,于是,當時,,從而,又,所以,從而函數(shù)在上是增函數(shù).又,所以當時,有,即當時,.（3）不妨設,則由題意借助的單調性可得,由(2)可知,,因為,所以,從而.因為,所以.又由可知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),所以,即.回爐 構造對稱函數(shù),利用函數(shù)單調性可以解決函數(shù)值相等的兩變量的大小問題.【相似題5】已知函數(shù).(1)討論的單調性；（2）設,證明:當時,;(3)若函數(shù)的圖象與軸交于兩點,線段中點的橫坐標為,證明:

題目6已知函數(shù).（1）證明:當時,;（2）設函數(shù)在上有極小值,求的取值范圍.審題 (1)因為函數(shù)式很復雜,難以處理,直接求導不可行,所以需要進行不等式放縮,常見函數(shù)不等式有,當且僅當時取等號;,當且僅當時取等號.解析 (1)當時,,易證,當且僅當時取等號;,當且僅當時取等號,因為,所以,當且僅當時取等號,,當且僅當時取等號,所以,得證.(2)(注:分離變量),令,則,所以,①當時,沒有極值,不合題意;②當時,,當時,,所以是的極小值,滿足題意;③當時,;令,則,所以在上遞增,則,要使有極小值,必需,即,綜上,.回爐 利用基本指、對數(shù)不等式進行放縮,需要掌握一些變形技巧;若令,,則會糾纏不清.【相似題6】已知函數(shù).(1)若是的極值點,求的值;(2)若在上為增函數(shù),求的取值范圍；(3)當時,方程有實根,求的最大值.

題目7已知函數(shù)有兩個極值點.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:;(3)若,求的最大值.審題 (1)利用導函數(shù)有兩個不同零點來求參數(shù)范圍;(2)利用得到與的關系,然后得到的單變量解析式;(3)可用比值換元將變成單變量問題.解析 (1)函數(shù)的定義域為,因為有兩個解,所以方程有兩個不同的正根,由,且,可得的取值范圍是.(2)由(1)知,不妨設時,在和上遞增,在上遞減,因為,所以, 因為,所以,故只要證.設,則,函數(shù)在上遞增,在上遞減,故,則得證.(3)根據韋達定理,,令,因為,所以令,設,其中,則,所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,當時,,則的最大值是.回爐 利用根表示系數(shù),進而轉變?yōu)閱巫兞繂栴};比值換元是處理雙變量問題的常見方法之一.【相似題7】已知函數(shù).(1)討論的單調性;(2)若存在兩個極值點,證明:.題目8已知函數(shù),其中,曲線在點處的切線方程為.(1)求的值;(2)證明:.審題 (1)直接利用導函數(shù)即可;(2)作差構造函數(shù),求導后發(fā)現(xiàn)導函數(shù)有一個零點不好求,所以虛設零點再估計的范圍求解.解析 (1)對已知函數(shù)求導,得.由題意知,解得.(2)由(1)知.令,則.再令,易知單調遞減.又所以,使得,即有.當時,單調遞增;當時,單調遞減,從而,所以.回爐 本題第2問實質上是通過隱零