促進深度理解的數(shù)學跨學科主題學習設(shè)計路向

摘要數(shù)學跨學科主題學習需要在真實情境中，圍繞數(shù)學/跨學科概念展開持續(xù)的學習實踐。數(shù)學跨學科主題學習的設(shè)計需要關(guān)注真實情境、數(shù)學概念和跨學科整合三個基本要素，從深度理解的角度去預(yù)期學習結(jié)果、確定評估證據(jù)、合理規(guī)劃學習過程，實現(xiàn)用高階帶動低階的學習實踐設(shè)計，促使學生在持續(xù)質(zhì)疑和反思中達成對數(shù)學學科本質(zhì)的深度理解。關(guān)鍵詞小學數(shù)學；數(shù)學概念；真實情境；跨學科主題學習布魯姆認為，理解是通過有效應(yīng)用、分析、綜合、評價，來明智、恰當?shù)卣硎聦嵑图记傻哪芰?。深度理解則是一種深層次的思考，即解釋、思辨、推理、驗證、應(yīng)用等更有難度、更加復(fù)雜和更具綜合性的學習結(jié)果，是學生靈活地運用所知進行思考和行動的能力[1]。夏雪梅指出，從核心知識的提出到挑戰(zhàn)性問題的解決，以及最后成果和評價的指向，都需要圍繞對學科概念的深度理解展開[2]。數(shù)學跨學科主題學習作為培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要學習方式，必定要基于數(shù)學/跨學科概念，圍繞真實情境中的挑戰(zhàn)性問題展開探究實踐，最終指向?qū)?shù)學學科本質(zhì)的深度理解。因此，數(shù)學跨學科主題學習可以圍繞基本特征和設(shè)計要素展開設(shè)計，通過解決真實情境中的數(shù)學學科問題，促進學生對數(shù)學/跨學科概念的深度理解：既指向內(nèi)容層面的理解，即知道數(shù)學知識是什么；又包括結(jié)構(gòu)層面的理解，即能形成對數(shù)學概念的結(jié)構(gòu)化認知；還包括實踐層面的理解，即能靈活應(yīng)用和創(chuàng)新。一、促進深度理解的數(shù)學跨學科主題學習的基本特征《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，在主題活動中，學生要面對現(xiàn)實的背景，從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)并提出問題，綜合運用數(shù)學和其他學科的知識與方法，分析并解決問題[3]。這里強調(diào)了三個維度：一是現(xiàn)實的背景，即主題要源自于真實情境，具有現(xiàn)實意義和價值；二是數(shù)學的角度，即要從數(shù)學學科本質(zhì)的角度去審視問題，堅持數(shù)學學科本體；三是綜合運用，即要重視數(shù)學知識與其他學科知識的結(jié)構(gòu)化整合，強調(diào)跨學科融通。由此可見，數(shù)學跨學科主題學習至少具備以下三個基本特性：一是問題的真實性。戴維·珀金斯認為，信息時代的教育是圍繞“真實生活和現(xiàn)實世界中的問題和機遇”展開的[4]。數(shù)學跨學科主題學習中學生需要面對現(xiàn)實的背景，這就強調(diào)了問題情境必須具有真實性，即指向主題場景、實施主體和學習實踐的真實性。學生在探究真實性問題的過程中，感悟數(shù)學與社會生活之間的聯(lián)系，進一步提高解決實際問題的能力，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。二是數(shù)學學科性。跨學科主題學習并不脫離學科本身，學習仍注重對學科知識的汲取和對學科的理解，并在理解基礎(chǔ)上延伸與拓展[5]。數(shù)學跨學科主題學習要解決的是從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題，因此要從數(shù)學學科的視角去提出問題和分析問題、凝練數(shù)學概念和方法，在綜合運用數(shù)學知識解決問題的過程中，學習數(shù)學知識并產(chǎn)生概念性理解，在數(shù)學知識遷移與應(yīng)用中，積累數(shù)學活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學思想方法。三是跨學科整合性。深層次的跨學科學習表現(xiàn)為多個學科知識的融合、應(yīng)用和分析，創(chuàng)造性地解決問題[6]。數(shù)學跨學科主題學習強調(diào)綜合運用數(shù)學和其他學科知識解決問題，這就需要將數(shù)學和其他學科概念進行結(jié)構(gòu)化整合，從整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的視角去審視問題，既能強化對數(shù)學概念的本質(zhì)理解，又能建立起有意義的跨學科知識結(jié)構(gòu)，形成科學的思維習慣。二、促進深度理解的數(shù)學跨學科主題學習的設(shè)計要素數(shù)學跨學科主題學習要設(shè)計情境真實、較為復(fù)雜的問題，引導學生綜合運用數(shù)學學科和跨學科的知識與方法解決問題[7]。因此，在設(shè)計時教師需要引導學生綜合運用數(shù)學學科及其他學科知識去解決真實的、高階的數(shù)學問題，圍繞數(shù)學核心素養(yǎng)進行跨學科主題學習活動設(shè)計，使學生在問題解決中進行深層次的學習，促進數(shù)學概念的深度理解、數(shù)學/跨學科核心素養(yǎng)的發(fā)展和形成。結(jié)合數(shù)學跨學科主題學習的內(nèi)涵和特征，在設(shè)計時需要關(guān)注三個基本要素：真實情境、數(shù)學概念和跨學科整合。這三者緊密聯(lián)系且內(nèi)在統(tǒng)一，依托挑戰(zhàn)性的學習實踐、結(jié)構(gòu)化的學習內(nèi)容，達成可遷移的概念理解。1.真實情境：具有挑戰(zhàn)性的學習實踐鐘啟泉教授認為真實性是核心素養(yǎng)的精髓。真實情境中的挑戰(zhàn)性問題不僅是連接學生與現(xiàn)實世界的橋梁，還是激發(fā)學生學習動機最直接、最有效的方法[8]。數(shù)學跨學科主題學習所設(shè)計的任務(wù)情境要盡可能地接近真實世界中的場景和呈現(xiàn)真正的困難，在高階學習中滲透低階學習，以促進高階思維能力的形成。學生在解決真實情境的挑戰(zhàn)性問題中，經(jīng)歷以創(chuàng)新為核心特征的專家思維，并不斷形成在具體與抽象之間相互交錯的高通路學習遷移能力。如在“校園路線設(shè)計”主題學習中，如何繪制校園平面圖是一個真實的挑戰(zhàn)性問題，學生要觀察、測量校園中各類建筑，抽象出校園平面圖的結(jié)構(gòu)布局，再結(jié)合平面圖形繪圖的特征解決問題。在這個過程中的學習實踐是豐富的、復(fù)雜的，而學生在有意義的遷移中形成對平面結(jié)構(gòu)圖的深度理解。2.數(shù)學概念：引發(fā)可遷移的深度理解托馬斯認為，高質(zhì)量的學習要聚焦于學科中的核心概念、原則等關(guān)鍵問題[9]。學生在深入主題研究、解決真實問題的同時，要實現(xiàn)對概念性知識的深度理解，即不僅要知道某個知識點，還要能解釋這個知識的意義，更重要的是能建立起概念性知識之間的關(guān)聯(lián)，從而實現(xiàn)知識的再建構(gòu)。如在“校園路線設(shè)計”主題學習中（配合六年級“比例”及“確定位置”單元），學生不僅要掌握“比例”“確定位置”的相關(guān)知識點，還要溝通知識點之間的聯(lián)系，形成對圖形的放大與縮小、比例尺等知識的結(jié)構(gòu)化認知。他們繪制的校園平面圖不僅要呈現(xiàn)出對物體放大與縮小的概念理解，還要呈現(xiàn)對比例尺的實踐性理解。在整個跨學科主題學習的過程中，學生要實現(xiàn)對“實物—平面”之間聯(lián)系的理解，并能在具體的學習活動中實現(xiàn)遷移。3.跨學科整合：形成結(jié)構(gòu)化的認知體系大概念教學追求認知的結(jié)構(gòu)化，使之成為一種反映專家思維的自然知識，在新的情境中可以被激活和運用[10]。學生在參與數(shù)學跨學科主題學習中不僅要建構(gòu)起數(shù)學學科內(nèi)的知識體系，還要打通與其他學科、學校生活、現(xiàn)實世界等的關(guān)聯(lián)，從整體的、聯(lián)系的、多元的視角審視并解決問題，在不斷形成跨學科結(jié)構(gòu)化認知的同時發(fā)展核心素養(yǎng)。如在“校園路線設(shè)計”主題學習中，就搭建了“圖形的放大與縮小”“比例的基本性質(zhì)”“解比例”等數(shù)學概念框架，統(tǒng)整美術(shù)構(gòu)圖、科學測量等多學科知識，鏈接校園實況勘察、合理評估等現(xiàn)實經(jīng)驗，將數(shù)學與其他學科，以及現(xiàn)實生活進行有機統(tǒng)整，形成解決真實問題的完整認知體系。三、促進深度理解的數(shù)學跨學科主題學習的設(shè)計邏輯學習的發(fā)生經(jīng)歷了三個階段：表層、深層和轉(zhuǎn)化[11]。良好的設(shè)計需要考量學習三階段，即不僅僅是為了使學生獲得一些新的技術(shù)技能，而且要以目標及其潛在含義為導向，產(chǎn)生更全面、更具體的學習。高質(zhì)量的數(shù)學跨學科主題學習，既要學生掌握基本的知識與技能，還要促進他們對數(shù)學概念的深度理解，更要在有效遷移中實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)和跨學科素養(yǎng)的提升。筆者結(jié)合蘇教版《數(shù)學》六年級下冊“比例”及“確定位置”單元，將美術(shù)、科學、語文等相關(guān)內(nèi)容進行統(tǒng)整，以“校園路線設(shè)計”為跨學科主題，提出真實情境中的挑戰(zhàn)性問題“學校每學期都要接待幼兒園小朋友來學校參觀，為了在‘溪水流坊幼小銜接活動中讓幼兒園小朋友更好地了解學校，請同學們像一名真正的建筑繪圖師那樣繪制出精準的校園平面圖，并以小導游的身份設(shè)計好路線進行校園文化介紹”，圍繞學習三階段，借助威金斯的逆向設(shè)計理念，從深度理解的角度進行數(shù)學跨學科主題學習設(shè)計。1.關(guān)注結(jié)果：形成對數(shù)學/跨學科概念的深度理解預(yù)測學生在跨學科主題學習結(jié)束之后應(yīng)該知道什么，能夠做什么，哪些內(nèi)容需要深入持久的理解，這些在整個逆向教學設(shè)計過程中起著至關(guān)重要的導向作用[12]。學生不僅僅是參與活動或?qū)W習知識，更重要的是在參與活動、不斷地學習有意義并且有用知識的過程中獲得新的視角和能力。數(shù)學跨學科主題學習需要圍繞學習三階段制定目標：既包括數(shù)學基本知識與技能的掌握，也包括對數(shù)學概念的意義理解，更重要的是通過學習引發(fā)對概念的有效遷移。校園平面圖的繪制是讓學生經(jīng)歷從生活實際中抽象出平面圖形的過程，不僅要學會用數(shù)學的眼光去觀察世界，還要像專業(yè)的建筑繪圖師那樣去分解與組合、測量與估算，形成對現(xiàn)實世界空間觀念的整體感知，這既是對數(shù)學概念的深度理解，更指向跨學科素養(yǎng)的形成。因此“校園路線設(shè)計”主題學習的目標確定如下。表層階段，主要是掌握基本的知識和技能。知識目標為：圖形的放大與縮小，比例的意義和基本性質(zhì)、解比例，比例尺，用方向和距離確定位置，繪圖的各項注意點（美術(shù)）；技能目標為：會測量物體的實際距離，會利用比例尺確定圖上距離，會利用方向和距離確定方位，會美化平面圖（美術(shù)），會有序介紹各類景點（語文）。深層階段，主要是理解概念之間的聯(lián)系和意義。學生需要深入持久地理解：數(shù)據(jù)的收集與整理要根據(jù)具體的需要確定，數(shù)據(jù)的變化會影響平面圖的整體結(jié)構(gòu)，好的數(shù)學方案與現(xiàn)實問題的解決方案之間可能會有誤差。相應(yīng)的基本問題包括：如何從平面圖的角度去觀察、理解并準確地刻畫現(xiàn)實事件，如何像建筑繪圖師那樣用圖形的結(jié)構(gòu)來描述周圍的物體。轉(zhuǎn)化階段，主要指向?qū)W習的遷移，即能在新情境中靈活應(yīng)用大概念：數(shù)據(jù)的變化引發(fā)平面圖的變化。學生通過學習獲得一個可遷移和應(yīng)用的觀點：每個數(shù)據(jù)的變化都會引發(fā)平面圖形的變化，而數(shù)據(jù)的變化中又蘊含著形狀的不變。學生在觀測中形成對校園平面圖的整體認知，這個過程也是發(fā)展數(shù)感、建立模型意識、豐富空間意識的過程，也同樣適用于其他平面圖。學習目標的確立可以提前預(yù)估學習結(jié)果，通過對基本問題的持續(xù)追問，促進學生深入持久地理解概念，從而引發(fā)對大概念的靈活遷移。2.基于證據(jù)：重視真實情境中的理性表達在跨學科主題學習中需要提前考慮：什么樣的證據(jù)可以證明學生已經(jīng)達到了預(yù)期的學習目標？如何證明學生已經(jīng)獲得了真正的理解？評估最為重要的并不是評估的方式，而是要發(fā)現(xiàn)什么樣的證據(jù)可以證明學生已經(jīng)真正理解并可以應(yīng)用學習內(nèi)容，以及什么樣的證據(jù)可以顯示學生還沒有獲得理解[13]。在“校園路線設(shè)計”跨學科主題學習中，學生至少需要從兩個維度來證明他們獲得了真正的理解：一是釋義，能用自己的話說明他們對繪制平面圖的理解；二是遷移，能將對平面圖繪制的理解應(yīng)用到新的情境中。真實情境任務(wù)是評估學生是否理解目標的重要方式，在“校園路線設(shè)計”評估中，設(shè)計兩大評估任務(wù)：一是真實情境任務(wù)，具體包括：組織一次“確定比例尺”的方案交流；作為一名建筑繪圖師，請你講述校園平面圖的設(shè)計、繪制經(jīng)歷；作為一名景點講解員，請你有條理地向幼兒園的小朋友們介紹美麗的校園。二是其他評估，具體包括：前測（學生已經(jīng)具備了哪些知識和技能），校園平面草圖、精修圖，校園路線設(shè)計方案。學生通過在真實情境任務(wù)中的表現(xiàn)，能相對清晰地反應(yīng)出對數(shù)學/跨學科概念的理解：在如何確定比例尺的方案交流中，學生能否圍繞“比例的基本性質(zhì)”，通過計算、調(diào)整來確定合適的比例尺；在講述繪制經(jīng)歷時，學生能否從圖形的位置、數(shù)據(jù)的變化、比例的意義以及美術(shù)的構(gòu)圖等方面講述觀點；在最終的作品展中，能否呈現(xiàn)對立體建筑與平面圖形、空間結(jié)構(gòu)與平面構(gòu)圖的個性化理解。真實的表現(xiàn)性任務(wù)指向?qū)W生思維的可視化發(fā)展，任務(wù)完成的過程就是對大概念深入理解的過程，任務(wù)的完成程度直觀反映學生對大概念的理解程度。3.規(guī)劃過程：強調(diào)學習實踐中的持續(xù)探究設(shè)計學習規(guī)劃要以實現(xiàn)意義理解和學習遷移的目標為根據(jù)。在學習規(guī)劃時，要考慮每個活動的設(shè)計能否激發(fā)學生的探究興趣并促進學生對概念的理解；每項活動需要提供怎樣的學習策略以幫助學生深入項目探究過程；教師什么時候介入并進行相關(guān)事實性知識的指導等。以下是“校園路線設(shè)計”主題的學習流程設(shè)計，包括對真實情境中不良結(jié)構(gòu)問題的討論、對基本問題持續(xù)的質(zhì)疑和反思，學生在參與多項學習實踐、多輪辯論分析中積累數(shù)學活動經(jīng)驗、增強空間觀念，形成對大概念的理解和遷移，并在與同伴的實踐探究中促進跨學科素養(yǎng)的形成。（1）剖析主題，在問題梳理中形成結(jié)構(gòu)認知。數(shù)學跨學科主題學習中的問題是基于真實情境的劣構(gòu)問題，具有挑戰(zhàn)性。這就意味著學生面對的是開放的、非常規(guī)性的問題，在學習推進中，首先要通過頭腦風暴，梳理出相關(guān)的學習實踐路徑（如圖1），學生在頭腦中初步形成完整的認知網(wǎng)絡(luò)：“校園路線設(shè)計”中涉及校園的測量、方位的確定、圖紙與校園大小關(guān)系的確定等圍繞數(shù)學概念展開的任務(wù)，還涉及構(gòu)圖、著色等美術(shù)知識，以及景點描寫等語文知識的跨學科任務(wù)。通過對主題的剖析，可以建立跨學科的聯(lián)系，幫助學生在真實的問題情境中形成跨學科的結(jié)構(gòu)認識，更加客觀、全面、多元地去審視、分析問題。（2）任務(wù)推進，在持續(xù)探究中深度理解概念。數(shù)學跨學科主題可分解成多個任務(wù)、有層次地推進，而每個子任務(wù)都要圍繞對數(shù)學概念的深度理解展開，學生要真實地參與基于證據(jù)的學習。“校園路線設(shè)計”主題學習分解為三個任務(wù)。任務(wù)一，繪制草圖。主要學習實踐：觀察校園，了解校園及各建筑的實際大?。ㄓH自測量或調(diào)查詢問），繪制校園平面草圖。涉及的相關(guān)知識：用方向和距離確定位置，測量（科學）。任務(wù)二，精致化平面圖。主要學習實踐：測量圖紙的大小，商定合適的比例尺并進行方案可行性討論，了解平面圖的繪制要求，繪制精準的平面圖。涉及的相關(guān)知識：圖像的放大與縮小，比例的意義和基本性質(zhì)、解比例，比例尺的意義和應(yīng)用，構(gòu)圖的要素（美術(shù)）。任務(wù)三，路線介紹。主要學習實踐：設(shè)計參觀路線，現(xiàn)場講解。涉及的相關(guān)知識：用方向和距離描述簡單的行走路線，描述景點要素（語文）。每一項任務(wù)都需要指向?qū)?shù)學概念的深度理解。以任務(wù)二中“商定合適的比例尺”為例，學生需要通過校園實際長度與圖紙長度之間的關(guān)系，結(jié)合“長與寬的比”或“長的比與寬的比”確定比例尺，學生將圍繞“如何判定比例尺是合適的”“你們?nèi)绾握{(diào)整比例尺的大小”等問題展開方案的可行性討論，從而促進每一位同伴在不斷的思考中形成對核心概念的深度理解。（3）定制支架，在評價調(diào)控中提升學習技能。學習技能是一系列的能力，使學生能夠獲得、組織、綜合和使用信息，可轉(zhuǎn)化并在新的情境下應(yīng)用，包括認知學習技能、元認知學習技能和情感學習技能[14]。定制適切的學習支架可以有效提升相應(yīng)的學習技能，在數(shù)學跨學科主題學習深入推進中具有不可或缺的重要價值。在“校園路線設(shè)計”中至少需要定制四類學習支架：KWL圖表，幫助學生思考與校園路線相關(guān)的數(shù)學概念及跨學科概念；問題梳理單，幫助學生梳理并記錄路線探究中出現(xiàn)的問題及主要的解決方案；小組分工單，幫