2021-2022版老教材數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：2 .1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第二章數(shù)列

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.（數(shù)學(xué)抽象）

學(xué)

2.學(xué)會(huì)用列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法表示數(shù)列.（數(shù)學(xué)抽象、

習(xí)

直觀想象）

目

3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列.（數(shù)

標(biāo)

學(xué)抽象）

必備知識(shí)?自主學(xué)習(xí)

項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)

無(wú)窮數(shù)列

列

從第2項(xiàng)起,每

一項(xiàng)都大于它

遞增數(shù)列

的前一項(xiàng)的數(shù)

列

從第2項(xiàng)起,每

一項(xiàng)都小于它

遞減數(shù)列

的前一項(xiàng)的數(shù)

按項(xiàng)的

列

變化趨勢(shì)

各項(xiàng)相等的數(shù)

常數(shù)列

列

從第2項(xiàng)起,有

些項(xiàng)大于它的

擺動(dòng)數(shù)列前一項(xiàng)，有些項(xiàng)

小于它的前一

項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),關(guān)系如表:

定義正整數(shù)集N*（或它的有限

域子集｛1,2,3,???,n｝）

解析數(shù)列的通項(xiàng)公式

式

由自變量從小到大依次取

值域值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)

成

⑴通項(xiàng)公式（解析

表示

法）；（2）列表法；（3）圖象

方法

法

思考？

數(shù)列的圖象有什么特點(diǎn)？

提示：數(shù)歹”的圖象是一系列孤立的點(diǎn).

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式

⑴定義:如果數(shù)列｛4｝的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)

表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

⑵本質(zhì)：數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際就是數(shù)列的函數(shù)解析式.

⑶作用：①寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng);②判斷一個(gè)數(shù)是否是數(shù)列的項(xiàng);③分

析數(shù)列的性質(zhì).

卜基礎(chǔ)小測(cè)

1.辨析記憶（對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”）.

（1）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的數(shù)列.

⑵所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式且一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的.

⑶數(shù)列3,1,-1,-3,-5,-10的通項(xiàng)公式為an=5-2n.

提示：⑴X.兩個(gè)數(shù)列相同，每一項(xiàng)都必須相同，而且數(shù)列具有順序性.

⑵X.有的數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式,而且有的數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一.

（3）X.第六項(xiàng)為-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此數(shù)列的通項(xiàng)公

式.

2

2.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=n+l,則122是該數(shù)列的（）

A.第9項(xiàng)B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第12項(xiàng)

【解析】選C.令n2+l=122,貝"n=121,

所以n=ll或n=Tl（舍去）.

3.（教材二次開(kāi)發(fā):例題改編）數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)

公式為an=.

【解析】因?yàn)閍i=l=Vl,a2=2^V4,

a3=V7,a4=V10,a5=V13,所以an=J3n-2.

答案:^3n-2

關(guān)鍵能力-合作學(xué)習(xí)

類型一數(shù)列的概念以及分類（數(shù)學(xué)抽象）

。題組訓(xùn)練、

1.（2020?蘭州高二檢測(cè)）下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列

的是

ill

A.-1,-2,-3,-4,B.-1,一,一,一,???

234

C.-1,-2,-4,-8,D.1,V2,V3,V4

n

2.若數(shù)列｛aj滿足an=2,則數(shù)列｛aj是

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)

列

3.已知下列數(shù)列:

①2011,2012,2013,2014,2015,2016;

②冊(cè)1

2n-1

/.xn-1

-23(T)?九

③「差

2n-l

⑤2,4,8,16,32,??-;

⑥T,-1,-1,-1.

其中，有窮數(shù)列是,無(wú)窮數(shù)列是,遞增數(shù)列

是,遞減數(shù)列是,常數(shù)列是，擺動(dòng)數(shù)列是

（填序號(hào)）.

【解析】1.選B.A,B,C中的數(shù)列都是無(wú)窮數(shù)列，但是A,C中的數(shù)列都是

遞減數(shù)列.

n+1nn

2.選A.an+1-an=2-2=2>0,所以an+1>an,即｛an｝是遞增數(shù)歹%

3.①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無(wú)窮數(shù)列、遞減數(shù)列；③為無(wú)窮數(shù)

列、擺動(dòng)數(shù)列；④為擺動(dòng)數(shù)列，也是無(wú)窮數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無(wú)窮

數(shù)歹4;⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列.

答案:①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

■解題策略I

理解數(shù)列概念要注意的三點(diǎn)

(1)區(qū)分集合:數(shù)列｛aj表示數(shù)列aba2,a3,?-?,a2…不是表示一個(gè)集合,

與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別.

⑵項(xiàng)的理解:從數(shù)列的定義可以看出，如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列

次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；在定義中，并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的

數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).

⑶規(guī)律性:數(shù)列中各項(xiàng)的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性,是理解、把握數(shù)列

的關(guān)鍵.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.下列數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是

111

AA.1,,???

33233

c.71.2加.37r.47r

D.sin—,sin—,sm—,sin—,

13131313

111

c.-i,—,--,-—,???

41664

D.1,2,3,4,30

ill

【解析】選C.數(shù)列1,-，r，F(xiàn)，…是無(wú)窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列，而是

33233

遞減數(shù)列；數(shù)列sin—,sin—,sin—,

131313

477

sin一,…是無(wú)窮數(shù)列，但它既不是遞增數(shù)列，又不是遞減數(shù)列；數(shù)列

13

ill

-1,--,-一，-一,…是無(wú)窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列；數(shù)列1,2,3,4,…，30是

41664

遞增數(shù)列，但不是無(wú)窮數(shù)列.

2.下列數(shù)列

(1)1,2,22,23,-,263;

(2)0,10,20,30,1000;

(3)2,4,6,8,10,??-;

(4)-1,1,-1,1,-1,?-?;

(5)7,7,7,7,???;

(6)-,

392781

其中有窮數(shù)列是,無(wú)窮數(shù)列是,遞增數(shù)列是:

遞減數(shù)列是，擺動(dòng)數(shù)列是,常數(shù)列是.(填序

號(hào))

【解析】根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是(1)(2),無(wú)窮數(shù)列是

(3)(4)(5)(6),遞增數(shù)列是⑴(2)⑶，遞減數(shù)列是(6),擺動(dòng)數(shù)列是

(4),常數(shù)列是(5).

答案：⑴⑵(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(6)(4)(5)

類型二歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(邏輯推理)

一…角.度工…根根數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式一

【典例】寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(D-.2,-,8,

222

(2)1,-3,5,-7,9,?-?;

(3)9,99,999,9999,…；

22-l32-242-352-4

(4)————-：

(5)—,—,—,名…；

1X22X33X44X5

(6)4,0,4,0,4,0,

【思路導(dǎo)引】首先要熟悉一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后對(duì)于復(fù)雜數(shù)列

的通項(xiàng)公式,其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn),要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)

形式加以變形，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見(jiàn)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的

“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納.

【解析】(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分

149162，T12

數(shù)再觀察…，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為a=—.

22222n2

⑵數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù)，其通項(xiàng)公

式為2n-1;考慮(7),具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

n+1

為an=(-1)(2n-1).

⑶各項(xiàng)加1后，分別變?yōu)?0,100,1000,10000,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為

n

10；可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10-1.

(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成，分母是從1開(kāi)始的奇數(shù)列，其通項(xiàng)公

式為2n-1;分子的前一部分是從2開(kāi)始的自然數(shù)的平方，其通項(xiàng)公式為

(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，其通項(xiàng)公式為n,綜合得原

2

(n+1)-n_n2+n+l

數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為a=i

n2n-l2n-l

⑸這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且

奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是劣=(7”.赤?

(6)由于該數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因此可用分段

4,n為奇數(shù),

函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式，即an=

0,n為偶數(shù).

又因?yàn)閿?shù)列可改寫(xiě)為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通項(xiàng)公式

n+1

又可表示為an=2+2X(-1).

?變式探究I

將本例(6)的數(shù)列改為“3,5,3,5,3,5,…”,如何寫(xiě)出其通項(xiàng)公式？

【解析】此數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為5,故通項(xiàng)公式可寫(xiě)

3(九為奇數(shù))，，，，」『「一

此數(shù)列兩項(xiàng)與的平均數(shù)為——二奇數(shù)項(xiàng)為

為an=354,

5(n為偶數(shù)).2

n

4-1,偶數(shù)項(xiàng)為4+1,故通項(xiàng)公式還可寫(xiě)為an=4+(-l).

一…角一度2—根據(jù)圖形歸納通項(xiàng)公式…一

【典例】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),例如:

他們研究過(guò)圖⑴中的1,3,6,10,-,由于這些數(shù)能表示成三角形,將其

稱為三角形數(shù);與之類似，稱圖⑵中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)稱為正方

形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是

13610

(1)

I4916

(2)

A.289B.1024C.1225D.1378

【思路導(dǎo)引】首先確定兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證哪個(gè)選項(xiàng)符合要

求.

【解析】選C.由題圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)公式為=也上上,

2

同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)公式加二I?,而所給的選項(xiàng)中只有1

49x50

2

225滿足a49=----=b35=35=l225.

2

，解例略|

1.依項(xiàng)的特征求通項(xiàng)公式

⑴分式中分子、分母的特征；

⑵相鄰項(xiàng)的變化特征；

⑶拆項(xiàng)后的特征；

⑷各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想,從而求出通項(xiàng)公式.

2.轉(zhuǎn)化到基本數(shù)列

觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律，通

過(guò)對(duì)項(xiàng)的適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化到我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶

數(shù)列等)對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化,可用(-IL或(-1)用來(lái)調(diào)整.

題組訓(xùn)練、

1.根據(jù)如圖所示的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通

項(xiàng)公式an=.

161116

【解析】由ai=l=5Xl-4,a2=6=5X2-4,23=11=5X3-4,…，歸納an=5n-4.

答案：5n-4

2.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)0,3,8,15,24,???;

(3)1,11,111,1111,

【解析】⑴觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到

0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是

2

an=n-1(n￡N*).

⑵此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,…恰好是序號(hào)n,分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的

關(guān)系為‘一,故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+-^-="+2"(n￡N*).

n+1n+1n+1

(3)原數(shù)歹U的各項(xiàng)可變?yōu)椤x9,-X99,-X999,-X9999,易知數(shù)列

9999

9,99,999,9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為aklCT-l,所以原數(shù)列的一個(gè)通

1

項(xiàng)公式為a=-(10n-1)(n￡N*).

n9

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.圖中由火柴棒拼成的一列圖形中,第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組

成:

□m□□□

w=ln=2w=3

w=4

通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn):在第n個(gè)圖形中，火柴棒有根.

【解析】第1個(gè)圖形中，火柴棒有4根；

第2個(gè)圖形中，火柴棒有4+3根；

第3個(gè)圖形中，火柴棒有4+3+3=4+3X2根；

第4個(gè)圖形中，火柴棒有4+3+3+34+3X3根；

第n個(gè)圖形中，火柴棒有4+3(nT)=3n+1根.

答案：3n+1

2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1)3,5,7,9,11,13,-;

⑵....

,3,15,35,63,995'

(3)0,1,0,1,0,1,??-;

(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,--?;

(5)2,-6,12,-20,30,-42,….

【解析】(1)從3開(kāi)始的奇數(shù)列，an=2n+1.

⑵分子為偶數(shù)，分母為相鄰兩奇數(shù)的積

_2n

3n=~~7

(2n-l)(2n+l)

⑶二二」-或二.n-1

anansin——n

22

(4)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,

1+(T)

所以a=n+

n2

(5)將數(shù)列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,

n+1

所以an=(-1)n(n+1).

類型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象)

［典例】已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a=—.

n3n+l

⑴求ai0;

⑵判斷乙是否為該數(shù)列中的項(xiàng).若是，它為第幾項(xiàng)？若不是,請(qǐng)說(shuō)明理

10

由；

(3)求證:O〈aWL

3X10-228

【解析】(1)根據(jù)題意可得aw=---------=—

3X10+131

73n-2_7

(2)令a--,即

n3n+l10'

解得n=3,

7

所以行為數(shù)列｛aj中的項(xiàng),為第3項(xiàng).

⑶由題意知a喏H島，

因?yàn)閚￡N*,所以3n+1>3,

3

所以0<——<1,

371+1

3

所以0<1--------<1,即0<an<1.

3n+l

，解的略|

1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法

數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)也與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用

序號(hào)代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).

2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法

先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng),然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整

數(shù)則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一

項(xiàng).

跟蹤訓(xùn)練、

在數(shù)列｛aj中，ai=2,ai7=66,通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求&2017；

(3)2018是否為數(shù)列｛aj中的項(xiàng)？

【解析】⑴設(shè)akkn+b(kH0),則有｛'

117k+b=66,

解得k=4,b=-2.

所以an=4n-2.

(2)a2017=4X2017-2=8066.

⑶令2018=4n-2,解得n=505eN*,

所以2018是數(shù)列｛aj的第505項(xiàng).

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

4

已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=-^—.

n2+3n

⑴寫(xiě)出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng).

⑵試問(wèn)工是該數(shù)列的項(xiàng)嗎?若是,是第幾項(xiàng)?若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

10

4

【解析】(1)因?yàn)閍0二F-，

n2+3n

所”以,a=---4--1

442+3X47

42

a=-----=—.

662+3X627

41

(2)令-----=—,貝“n2+3n-40=0,

n2+3n10

解得n=5或n=-8,注意到nEN*,

故將n=-8舍去，所以一是該數(shù)列的第5項(xiàng).

10

課堂檢測(cè)-素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

1.有下列命題：

①數(shù)列三,之；,三,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=—;

3456n+1

②數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；

③數(shù)列1,T,1,T,…與數(shù)列T,1,-1,1,…是同一數(shù)列；

④數(shù)列工,工,…，工是遞增數(shù)列.

242n

其中正確命題的個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.0

i2

【解析】選A.由通項(xiàng)公式知ai=-W二,故①不正確；易知②正確；由于兩

23

數(shù)列中數(shù)的排列次序不同，因此不是同一數(shù)列，故③不正確；④中的數(shù)

列為遞減數(shù)歹J,所以④不正確.

2.600是數(shù)列1X2,2X3,3X4,4X5,…的

A.第23項(xiàng)B.第24項(xiàng)

C.第25項(xiàng)D.第26項(xiàng)

【解析】選B.an=n（n+1）=600=24X25,所以n=24.

3.在數(shù)列｛aj中，an=5T則23等于.

【解析】由已知得a3=5"=一.

25

答案」

25

4.（教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式填表：

n12???5??????n

??